0.999......是否真的等於1？

08-26

0.999......是否真的等於1？

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最近又在網上看到很多爭論這個問題的。對於這個問題，我之前一直持有深信不疑的態度。直到我前兩天看一本俄羅斯數學教材時，我才有了一個更為全新的認識。

先說結論：在十進位計數系統下，不會生成形如0.99999999......這樣的數，換言之，當你想用十進位表示一個數時，是不可能用到類似0.99999999.......這類數的。因此這個命題從表述上就存在問題。

想必關於極限，或者等比數列求和這些東西很多人都是很清楚的，所以我在這裡想寫一些關於 $q$ 進位背後的相關原理。

好了，正文開始。

我們知道，對於任何一個大於1的整數 $q$ ， $q^{k}(kin Z)$ 是沒有上界的，先固定這樣的數 $q$ ，給定任何正數 $x$ ，都存在 $pin Z$ ，使 $q^{p}leq x<q^{p+1}$ 。現在正數 $x$ 最粗略的範圍已經定下來了。（相當於一個數的位數）

那麼存在唯一的自然數 $alpha _{p}in N$ 使得 $alpha _{p}q^{p}leq x<(alpha _{p}+1)q^{p}$ （這是阿基米德原理）。很容易得到， $alpha _{p}$ 為 $1,2,...,q-1$ 中的一個數，第一位的數定下來了。

重複上述步驟，可以得到存在唯一的自然數 $alpha _{p-1}in N$ ，使 $alpha _{p}q^{p}+alpha _{p-1}q^{p-1}leq x<alpha _{p}q^{p}+alpha _{p-1}q^{p-1}+q^{p-1}$

其中 $alpha _{p-1}$ 為 $0,1,2,...,q-1$ 中的一個數。

如此重複 $n$ 次以後，有 $alpha _{p}q^{p}+alpha _{p-1}q^{p-1}+...+alpha _{p-n}q^{p-n}leq x<alpha _{p}q^{p}+alpha _{p-1}q^{p-1}+...+alpha _{p-n}q^{p-n}+q^{p-n}$

構建序列 $r_{n}=alpha _{p}q^{p}+alpha _{p-1}q^{p-1}+...+alpha _{p-n}q^{p-n}$

那麼根據之前的結論，有 $r_{n}leq x<r_{n}+frac{1}{q^{n-p}}$ （這是個很重要的不等式）

這樣， $q$ 進位計數法就已經建立起來了，對於任何一個數，我們都可以通過這種方式知道它任何一位的數碼是多少。

那麼，會不會有一個數，從某一位開始以後的數碼全部為 $q-1$ ？換個說法，是否存在一個正數 $k$ ， $forall n>k$ , $alpha_{p-n}=q-1$ ?

先假設會這樣， $forall n>k$ ， $r_{n}=alpha _{p}q^{p}+alpha _{p-1}q^{p-1}+...+alpha _{p-k}q^{p-k}+(q-1)alpha _{p-k-1}q^{p-k-1}+...+(q-1)alpha _{p-n}q^{p-n}$

由等比數列求和公式， $r_{n}=r_{k}+frac{1}{q^{k-p}}-frac{1}{q^{n-p}}$

根據上文說的不等式， $r_{n}=r_{k}+frac{1}{q^{k-p}}-frac{1}{q^{n-p}}leq x<r_{k}+frac{1}{q^{k-p}}$

調整一下， $0<r_{k}+frac{1}{q^{k-p}}-xleq frac{1}{q^{n-p}}$ ,注意，這是對 $forall n>k$ 都要成立，所以這個不等式是矛盾的（對於給定的正數，選取合適的 $n$ ，可以使 $frac{1}{q^{n-p}}$ 小於該數）。

所以，這就說明了從十進位的生成機制來看，不會出現某一位以後全是9這樣的情況。數學有的時候很矯情也很嚴謹，它不允許這樣的情況出現，但同時也避開了一些小瑕疵。當然在二進位中也是一個道理，不能用0.111111......來表示1，在三進位中，不能用0.222222......表示1，依此類推。

我們可以用0.9,0.99,0.999,...這樣的序列去逼近1，可以用等比數列求和外加極限來說明。但是，q進位是一個比較特殊的機制，在這樣的機制里，你是不能這樣寫的。嗯，就是這樣。

所以我想，這個問題其實應該早就終結了。