最小作用量原理-講給你聽

08-26

最小作用量原理-講給你聽

來自專欄為中學生打造數理讀本1 人贊了文章

內容主要來自R.P.Feynman的一次專題演講。我非常歡迎有興趣的同學在http://www.feynmanlectures.caltech.edu/了解更多。

我就是想通過這個例子，來展示物理的一種特性：物理學不是關於力學/電學/光學/熱學的學科，儘管高中物理力圖想要展示一副圖景，告訴我們物理學是關於世界的各個方面最基本規律的學科，告訴我們物理學的分支之間的連通性，但它做的不夠好。我想通過一個例子，叫做最小作用量原理，展示這一點。

我在初一的時候，聽過童哲的一次講座，他假設了一個特殊的量：質點在它的運動路徑上某一時刻的動能減去勢能。（這當然不是他的原創）

這個量有什麼用？

在我上初中的時候，我接受的物理教育是，計算重力，計算路程，計算功，計算各種各樣的量。那次講座帶給我最深的印象就是，一定要搞明白，我們為什麼要定義這些量。

假如引力場中有一個質點，它通過自由運動從A位置移動到B位置——比如說把它扔出去，先上升再下降，它會有一個確定的路徑（這是由牛頓第二定律決定的）。但是，假設我們沒有牛頓第二定律，那麼我們就可以認為，這個質點有許多可能的路徑。現在我們再做這樣一個假設，不管它走哪一個路徑，使用的時間總是相同的。（這是我們的直覺，後面我們會看到這個直覺很重要而且正確）

現在我們比較一下(a)真實的路徑和(b)假想的隨便一條路徑。我們計算剛開始假設的那個量，每一時刻上的動能減去勢能，在整個過程中對時間的積分，將會得到：(a)的結果總是比(b)要小。

換句話說，我們可以把牛頓第二定律換成：物體從一點走到另一點所走的路徑其平均動能減去平均勢能應儘可能的小。

如果我們考慮一維的情況，粒子的路徑為 $x(t)$ ， $x$ 是地面以上的高度，在任意時刻的動能是 $frac{1}{2}m(frac{mathrm dx}{mathrm dt})^2$ ，而勢能為 $mgx$ ，假設在 $t_{1}$ 時刻出發，在 $t_{2}$ 時刻到達終點結束。這個積分就是 $int_{t_{1}}^{t_{2}} left[ frac{1}{2}m(frac{mathrm dx}{mathrm dt})^2 -mgx ight]mathrm dt$ 。

嘗試思考一下，如果我們考慮零勢能的情況，也就是 $g=0$ （還記得嗎，項越少越簡單）。比如，我們在規定的時間內需要從家開車去學校，我們可以盡情的變化車子的速度，為了滿足「平均動能儘可能小」的條件，我們必須勻速行駛（這就是牛頓第一定律）。如果我們在平均值上有一個偏差，這個值的平方的平均必然大於平均值的平方（即，均方根必然大於平均值）。

我們把這個積分兩叫做 $S$ 好了，它是動能減去勢能對時間的積分，而動能和勢能都是對時間的函數。對於不同的路徑我們會得到不同的 $S$ 的值，而我們的任務就是找到最小的 $S$ 對應的路徑。

但是這不是我們在高中處理過的極值問題，因為我們處理的不是某個變數的一個函數，而是許多不同的路徑。這是一個完全不同的領域。

類似的問題還有，具有一定周長的面積最大的圖形是什麼？（等周不等式）這其實是一個不太簡單的問題。這個問題有一個很好的解答

平面曲線周長一定，圓的面積是否最大？為什麼？?

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然後我不想在這裡討論變分法。但是我願意簡述這個思路，我們可以把真正的路徑稱為 $underline {x}(t)$ ，然後令 $x(t)=underline {x}(t)+eta(t)$ ，其中的 $eta(t)$ 是我們計算的路徑偏離真正路徑的成分。然後把 $x(t)$ 計算得出的 $S$ 和 $underline{x}(t)$ 計算得出的 $underline{S}$ 作差，得到

$delta S = int ^ {t_2} _ {t_1} left[m frac {mathrm{d}underline{x}}{mathrm{d}t} frac {mathrm{d}eta}{mathrm{d}t} - eta V^{}(underline{x}) ight]mathrm{d}t$ ，其中的 $V^{}(underline{x})$ 是勢能函數對 $x$ 的導函數在 $underline{x}$ 處的值，這一項是由泰勒展開產生的。

這裡已經使用了很多高中生不掌握的技巧，下面還要使用分部積分，然後我們得到

$delta S = int ^ {t_2} _ {t_1} left[-m frac {mathrm{d^2}underline{x}}{mathrm{d}t^{2}} - V^{}(underline{x}) ight] eta(t) mathrm{d}t ag{1}$ 重新說一下，我們做了什麼：首先，假設真實的路徑和一個偏差，然後，計算含偏差的路徑和不含偏差的路徑的 $S$ 並比較，得到 $delta S$ 。雖然我們既不知道真實的路徑也不知道偏差，但是可以肯定 $delta S$ 必然為零，因為真實的路徑意味著 $S$ 取極小值，如果我對 $x$ 引起一個偏差，那麼對 $S$ 的引起的偏差必然為零。這時我把它化為這種形式

$int F(t)eta(t)mathrm{d}t =0 ag{2}$

注意，在這裡，無論 $eta$ 是一個什麼樣的函數，這個式子總應該是成立的。這也就是說

$-m frac { mathrm{d^2} underline{x}} { mathrm{d} t^2 } - V^{}( underline{x}) = 0 ag{3}$

如果把對 $x$ 的二階導換成加速度，把勢能函數對 $x$ 的導函數換成 $mg$ ，這就是我們熟悉的牛頓第二定律。

好了，我不想引入更多的數學了。

我們的討論中其實沒有提到 $S$ 應當是一個極小值，事實上，這個量可能是極大值，可能是極小值，也可能是常數。

在推廣方面，現在我們都局限在一維上討論，事實上我們可以推廣到三維的情況上；我們現在只分析單粒子的情況，其實我們可以引入相互作用勢能討論多粒子的情況。

現在我們討論的力都對應著一個勢能，這樣的力有一個這樣的特徵：我們沿著不同的路徑做的功都是相等的，這時我們就可以定義一種只和位置有關的能量（勢能）來使用我們的理論。但是事實上，很多的力，比如摩擦力，並不具備這樣的特徵。這是因為我們忽略了微觀情況的複雜性，如果我們分析足夠多的粒子，所有的力都滿足這個特徵。

所有的基本定律都可以寫進最小作用量原理的形式中，哪怕是電磁場中的情況或者相對論性情況，只不過我們要使用更完備的 $S$ 的形式。

當我們讓A和B離得足夠近的時候，這個規律仍然是成立的：粒子選擇的路徑將使 $S$ 最小。可以這麼理解：粒子在每一個時刻，都選擇了在那個極小的時間段內使 $S$ 最小的路徑，結果就是，在足夠長的一段時間內粒子走的仍然是使 $S$ 最小的路徑。可是如果你這麼理解，那麼因果就發生了混亂，粒子是怎麼知道所有的路徑的 $S$ 的？它怎麼知道應該選擇哪一條路徑？

在光學裡，我們也遇到過這樣的問題。我介紹一些背景知識。在均勻介質里，光在兩個定點之間傳播時選擇走兩點之間的直線，在非均勻的介質里（我們有一個物理量來量化這種情況，叫做折射率 $n$ ，我們定義光在真空中的傳播速度除以光在某種介質中的傳播速度為這種介質的折射率），光走的是光走的路徑長乘以折射率的積分的一階變分為零的路徑。

在光學裡，當我們在光子的路徑上放一些光學器件，使得它們不能檢查所有的路經時，它們就不再能選擇應該走那一種的路徑，於是便發生了衍射。

在力學中可能發生這樣的事情嗎？我們設置一些東西防止粒子四處張望，於是粒子表現出像衍射一樣的行為？恰恰如此。這是量子力學定律的正確結果。所以我們的最小作用量原理還不夠準確。並非粒子選擇了作用量最小的路徑，而是像光（還記得嗎，光是一種電磁波）一樣：

要是光遵循一條需要不同時間的路徑，它到達時就會有不同的相位，而在某一點上的總振幅等於光能到達的所有不同路徑的振幅貢獻的總和。所有那些振幅相差很大的路徑將不會合成任何東西。而如果你能找到一條個序列的路徑，它們幾乎具有相同的相位，那麼這些貢獻將合成一個足夠大的振幅。我們觀測起來，就好像光選擇走了一條這樣的路徑。

對於量子力學，事情完全相同，（非相對論情況且忽略電子自旋）一個粒子在 $t_1$ 時刻從點1出發，將在 $t_2$ 時刻到達點2的概率等於概率幅的平方。總概率幅可以寫成每一可能路徑的概率幅的和。對於每條路徑，概率幅意味著什麼呢？概率幅等於某個常數乘 $mathrm{e}^{mathrm{i}S/hbar}$ ，其中 $S$ 就是那條路徑的作用量， $hbar$ 是普朗克常量。

假設對於 $S$ 遠大於 $hbar$ 的情況， $S$ 一個小小的變化就會產生相位很大的變化，所以只有 $S$ 很接近的時候，概率才會足夠大。因此在普朗克常量近似為零的情況下，我們說，粒子的路徑就是一級近似下 $S$ 不發生變化的路徑。

（量子力學本來是通過給出概率幅的微分方程以及某種矩陣數學表達的）

這就是最小作用量原理，我想用我的物理啟蒙老師Feynman的一段話結束。

A poet once said, 「The whole universe is in a glass of wine.」 We will probably never know in what sense he meant that, for poets do not write to be understood. But it is true that if we look at a glass of wine closely enough we see the entire universe. There are the things of physics: the twisting liquid which evaporates depending on the wind and weather, the reflections in the glass, and our imagination adds the atoms. The glass is a distillation of the earth』s rocks, and in its composition we see the secrets of the universe』s age, and the evolution of stars. What strange array of chemicals are in the wine? How did they come to be? There are the ferments, the enzymes, the substrates, and the products. There in wine is found the great generalization: all life is fermentation. Nobody can discover the chemistry of wine without discovering, as did Louis Pasteur, the cause of much disease. How vivid is the claret, pressing its existence into the consciousness that watches it! If our small minds, for some convenience, divide this glass of wine, this universe, into parts—physics, biology, geology, astronomy, psychology, and so on—remember that nature does not know it! So let us put it all back together, not forgetting ultimately what it is for. Let it give us one more final pleasure: drink it and forget it all!