[計組]原碼、補碼及背後的數學原理

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有個梗叫做

PHP是最好的語言

我現在想說，二進位是世界上最完美的進位！

因為人類長著10個手指頭，所以自然的我們熟悉的生活就是10進位的。我們用了幾萬年的時間學會了表示數，學會了加減乘除，學會了各種運算規律。是前人不斷的發現和我們不斷的學習，讓我們掌握了10進位這種複雜的表達

但是學計算機的人都知道計算機其實是二進位的。事實上，生活中更普遍的都是二進位，電子元件的開與關，正與反，對與錯，二進位才是這個世界上應用最廣泛最簡潔完美的進位。至於為什麼最完美，以及更深刻的了解二進位，有興趣的童鞋可以看看這本查爾斯?佩措爾德《編碼》

接下來我想寫一下二進位的運算規律

以下所有的內容都以一個位元組（8-bit）為對象進行研究的，就是假設我們現在用的計算機都非常簡陋，儲存單元裡面就只能儲存一個位元組。並且都是定點數

1. 無符號數和有符號數

無符號數可以表示從0到255總共256個數

因為計算機大部分都是有符號數，所以我們只看有符號數，有符號數可以表示-127到+127（注意：0有+0和-0）總共256個數。

2.小數和整數

順便說一嘴小數和整數，需要注意的是，整數我們可以表示從0到127中間的每一個整數，但是小數不行。從絕對值來看，小數最小是 ,就是0.0078125，接下來就是2個 ，也就是0.015625，所以說小數部分在十進位看來是有空隙的，想表示0.009，暫時用這種表示方法和這個簡陋的計算機是不可以的。

接下來就是重點部分

原碼：

其實就是上面的那種表示方法就是原碼了，最高位0/1是符號位，後面的是絕對值的數值

補碼：

補碼的出現大家都知道是為了計算減法而來的，那我們先從十進位的減法運算來一窺裡面的思想

十進位加法：

現在假設我們就是長著10個指頭的人，我們是小孩子要學算術，那麼3+4，就是數到第三個指頭，然後往右再數4個，就是7

更多位數的計算就是更多的小朋友

十進位減法：

7-4，小朋友先數到第7根指頭，然後減4就是往左邊數四個

假設你是一個只會往右邊數數的小朋友，往左邊數數對你來說很難，那麼你想要計算7-4的時候，可以7+6-10

同樣的，7-14的話，就7+6-20，往前走6個指頭，最後後退20步。

這樣做的好處就是，我們只用往前走就好了，往後退這個有難度的操作我們就10格10格的退

那麼這裡的6-10，其實就是-4的補碼

總結一下：

往前進，加法，不需要補碼

往後退，減法，需要補碼

補碼跟進位有關，10進位，就 的補

二進位補碼：

同樣的

往前進，加法，不需要補碼

往後退，減法，需要補碼

補碼跟進位有關，2進位，就 的補

因為我們研究的是8-bit的有符號數，所以我們就 的補

在計算整數的補碼的時候

比方說25-13，就是25+115-128

體現在運算上，就是取反+1，（因為13和114（13+114=127）是剛好相反的，然後再加上1）

小數同樣的道理，但是小數裡面，我們要用1來補

只要你理解了十進位在做減法的時候的補碼，二進位就能理解了

反碼：

反碼就是在求補碼的過程當中的中間的一步

總結感想：

奧卡姆剃刀原理告訴我們「如無必要，勿增實體」，這個世界的法則越簡單越好，補碼恰恰就是一個讓計算機簡單化的發明，計算機學會了加法，那麼就不要再教它減法了，只要告訴它減法就是另一種變形的加法就好了