特殊函數(1)

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特殊函數(1)

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Gamma函數

稱 $Gamma(z)=int_0^{infty}e^{-t}t^{z-1}dt$ ( $mathrm{Re} z>0$ )是復變數的第二類Euler積分，或稱Gamma函數。由分部積分可得遞推式 $Gamma(z+1)=int_0^infty e^{-t}t^zdt=(-e^{-t}t^z)|_{t=0}^{t=infty}$ $+zint_0^infty e^{-t}t^{z-1}dt=zGamma(z)$ ，而 $Gamma(1)=int_0^{infty}e^{-t}=1$ ，這說明 $z=ninmathbb{N}$ 時 $Gamma(n+1)=n!$ 。遞推式還能被推廣 $Gamma(z+n)=(z+n-1)(z+n-2)cdots(z+1)zGamma(z)$ ，或寫作 $Gamma(z)=frac{Gamma(z+n)}{(z+n-1)(z+n-2)cdots(z+1)z}$ ，這樣就能把Gamma函數的定義推廣到 $mathrm{Re}z>-n$ 。從這個定義式還能看出 $z=0,-1,-2,cdots,-n,cdots$ 都是一階極點，在 $z=-n$ 處留數為 $mathrm{res}Gamma(-n)=frac{(-1)^n}{n!(z+n)}$ 。除去這些負整數一階極點外，Gamma函數在複平面上處處解析。

例現取 $ninmathbb{N}$ 。 $Gamma(n+1)=int_0^infty e^{-t}t^ndt=int_0^infty e^{nln x-x}dt$ $=e^{-n}int_{-n}^infty e^{nln (n+y)-y}dy=n^ne^{-n}int_{-n}^infty e^{nln (1+frac{y}{n})-y}dy$ ，由 $ln(1+z)=z-frac{z^2}{2}+frac{z^3}{3}-cdots$ ( $z=0$ )得 $Gamma(n+1)=n^ne^{-n}int_{-n}^infty e^{-frac{y^2}{2n}+frac{y^3}{3n^2}-cdots}dy$ $=n^ne^{-n}sqrt{n}int_{-sqrt{n}}^infty e^{-frac{u^2}{2}+frac{u^3}{3sqrt{n}}-cdots}du$
， $n oinfty$ 時 $int_{-sqrt{n}}^infty e^{-frac{u^2}{2}+frac{u^3}{3sqrt{n}}-cdots}du oint_{-infty}^infty e^{-frac{u^2}{2}}du=sqrt{2pi}$ ，即 $n!=n^ne^{-n}sqrt{2pi n}$ 。這是所謂Stirling公式。

定理(Euler-Gauss) $0<x<1$ ，則 $Gamma(x)Gamma(1-x)=frac{pi}{sin pi x}$ 。

有時會用到第一類Euler積分 $mathrm{B}(alpha,eta)=int_0^1t^{alpha-1}(1-t)^{eta-1}dt$ ( $mathrm{Re}alpha>0,mathrm{Re}eta>0$ )，或稱Beta函數。

命題 $mathrm{B}(alpha,eta)=frac{Gamma(alpha)Gamma(eta)}{Gamma(alpha+eta)}$ 。

Legendre多項式

稱 $(1-x^2)y-2xy+l(l+1)y=0$ 是Legendre方程，它有Sturm-Liouville形式 $-frac{d}{dx}((1-x^2)frac{d}{dx})y=l(l+1)y$ 。設在 $x=0$ 有冪級數解 $y=sum_{k=0}^infty c_kx^k$ ，代入方程得遞推式 $(k+2)(k+1)c_{k+2}-(k-l)(k+l+1)c_k=0$ 。假設 $c_0$ 和 $c_1$ 給定，則其餘係數全部可從遞推式得到，並且解有 $y=c_0y_0+c_1y_1$ 的形式，其中 $y_0=1-frac{l(l+1)}{2!}x^2+frac{(l-2)l(l+1)(l+3)}{4!}x^4-frac{(l-4)(l-2)l(l+1)(l+3)(l+5)}{6!}x^6+cdots$ ， $y_1=x-frac{(l-1)(l+2)}{3!}x^3+frac{(l-3)(l-1)(l+2)(l+4)}{5!}x^5-frac{(l-5)(l-3)(l-1)(l+2)(l+4)(l+6)}{7!}x^7+cdots$ ，兩者的收斂半徑均為1。觀察可發現當取 $l=0,2,4,dots$ 時 $y_0$ 變成多項式， $l=1,3,5,dots$ 時 $y_1$ 變成多項式。

若取 $x^l$ 的係數為 $c_l=frac{(2l)!}{2^l(l!)^2}$ ，遞推得 $c^{l-2m}=(-1)^mfrac{(2l-2m)!}{m!(l-m)!(l-2m)!}$ ，從而當 $linmathbb{N}$ 時， $y=P_l(x)=frac{1}{2^l}sum_{m=0}^{mathbb{N} i mleqslantfrac{l}{2}}(-1)^mfrac{(2l-2m)!}{m!(l-m)!(l-2m)!}x^{l-2m}$ ，稱 $P_l(x)$ 是 $l$ 階Legendre多項式，而這多項式在 $x=pm 1$ 是收斂的。然而在收斂部分之外，方程的通解還包含在 $x=pm 1$ 發散的部分。記方程的通解為 $y=C_1P_l(x)+C_2Q_l(x)$ ，稱 $Q_l(x)$ 為第二類Legendre函數，它是在 $x=pm 1$ 處發散的解。

定理(Neumann) $linmathbb{N}$ 時 $Q_l(x)=frac{1}{2}int_{-1}^1frac{P_l(t)}{x-t}dt$ 。

前幾階Legendre函數列舉如下：

$P_0(x)=1$

$P_1(x)=x$

$P_2(x)=frac{1}{2}(3x^2-1)$

$P_3(x)=frac{1}{2}(5x^3-3x)$

$P_4(x)=frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)$

$P_5(x)=frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)$

$cdots$

其中 $l$ 是偶數時 $P_l(x)$ 是偶函數， $l$ 是奇數時 $P_l(x)$ 是奇函數。

例1 求 $(1-x^2)y-2xy+12y=0$ 的通解。
顯然它的通解就是 $y=C_1P_3(x)+C_2Q_3(x)=C_1(frac{1}{2}(5x^3-3x))+C_2(1-6x^2+3x^4+cdots)$

Legendre多項式有微分和積分形式如下：

定理(Rodrigues) $P_l(x)=frac{1}{2^ll!}frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l$ 。

定理(Schl?fli) $P_l(x)=frac{1}{2^l2pi mathrm{i}}int_C frac{(zeta^2-1)^l}{(zeta-x)^{l+1}}dzeta$ ，其中 $C$ 是繞 $x$ 的閉合迴路且 $mathrm{Ind}_C(z)=1$ 。

例2 求 $P_l(1)$ 。
在積分表達式中取積分路徑 $C$ 是圓 $zeta-x=sqrt{x^2-1}e^{mathrm{i}phi}$ ，得 $P_l(x)=frac{1}{pi}int_0^{pi}(x+sqrt{x^2-1}cosphi)^ldphi$ 。代入 $x=1$ 得 $P_l(1)=1$ 。

除此之外還有生成函數，或稱作母函數：

命題 $frac{1}{sqrt{1-2rx+r^2}}=sum_{l=0}^infty P_l(x)r^l$ ，其中 $-1leqslant xleqslant1$ ， $|r|<1$ 。

例3 設電量 $q=4pivarepsilon$ 的電荷在 $mathbb{R}^3$ 中 $z=1$ 處。Gauss定理給出空間中任意點的電勢 $u(r, heta)=frac{1}{sqrt{1-2rcos heta+r^2}}$ 其中 $r^2=x^2+y^2+z^2$ ， $r=zcos heta$ ，從而 $u(r, heta)=left{ egin{matrix} sum_{l=0}^{infty}A_lr^lP_l(cos heta)&(r<1)\ sum_{l=0}^{infty}frac{B_l}{r^{l+1}}P_l(cos heta)&(r>1) end{matrix} ight.$ ，又 $u(r,0)=left{ egin{matrix} frac{1}{1-r}&(r<1)\frac{1}{r-1}&(r>1) end{matrix} ight.=left{ egin{matrix} sum_{l=0}^{infty}A_lr^l&(r<1)\sum_{l=0}^{infty}frac{B_l}{r^{l+1}}&(r>1) end{matrix} ight.$ 同時 $sum_{l=0}^{infty}r^l=frac{1}{1-r}(r<1)$ ， $sum_{l=0}^infty frac{1}{r^{l+1}}=frac{1}{r-1}(r>1)$ ，即 $A_l=B_l=1$ ，從而 $frac{1}{sqrt{1-2rx+r^2}}=left{ egin{matrix} sum_{l=0}^{infty}r^lP_l(x)&(r<1)\sum_{l=0}^{infty}frac{1}{r^{l+1}}P_l(x)&(r>1) end{matrix} ight.$ 。

Legendre多項式有這些常用遞推式：

命題 $l=1,2,3,cdots$

(1) $(l+1)P_{l+1}(x)=(2l+1)xP_l(x)-lP_{l-1}(x)$

(2) $P_l(x)=P_{l+1}(x)-2xP_{l}x+P_{l-1}(x)$

(3) $xP_l(x)-P_{l-1}(x)=lP_l(x)$

(4) $P_{l+1}(x)-P_{l-1}(x)=(2l+1)P_l(x)$

(5) $lP_{l+1}(x)+(l+1)P_{l-1}(x)=(2l+1)xP_l(x)$

$l=0,1,2,cdots$

(6) $P_{l+1}(x)=(l+1)P_l(x)+xP_l(x)$

命題 Legendre多項式是 $L^2([-1,1])$ 上的完備正交系。

其正交性由 $int_{-1}^1 P_l(x)P_m(x)dx=0$ 給出( $l e m$ )，模由 $int_{-1}^1 P_l^2(x)dx=frac{2}{2l+1}$ 給出，Fourier係數由 $c_l=frac{2l+1}{2}int_{-1}^1 P_l(x)f(x)dx$ 給出。

最後來看，Legendre多項式的高階導數滿足怎樣的方程。由 $(1-x^2)P_l(x)-2xP_l(x)+l(l+1)P_l(x)=0$ ，兩邊 $m$ 次微分得 $(1-x^2)P_l^{(m+2)}(x)-2(m+1)xP_l^{(m+1)}(x)+(l(l+1)-m(m+1))P_l^{(m)}(x)=0$ ，由於 $x^2P_l,xP_l,P_l$ 都是 $l$ 階多項式，所以 $m$ 不能大於 $l$ ，否則方程變為 $0=0$ 。因此 $m=0,1,cdots,l$ 。令 $P_l^m(x)=(-1)^m(1-x^2)^{frac{m}{2}}P_l^{(m)}(x)$ ，得 $(1-x^2)frac{d^2}{dx^2}P^m_l(x)-2xfrac{d}{dx}P_l^m(x)+(l(l+1)-frac{m^2}{1-x^2})P^m_l(x)=0$ 。稱 $P_l^m(x)$ 是 $m$ 階連帶Legendre函數。

球諧函數

稱 $-(frac{1}{sin heta}frac{partial}{partial heta}(sin heta frac{partial Y}{partial heta})+frac{1}{sin^2 heta}frac{partial^2Y}{partial phi^2})=l(l+1)Y$ 是球諧函數方程，其中 $Y=Y( heta,phi)$ 是球諧函數。分離變數 $Y( heta,phi)=Theta( heta)Phi(phi)$ 可得 $Phi+lambdaPhi=0$ ， $sin heta(sin hetaTheta)+(l(l+1)sin^2 heta-lambda)Theta=0$ 。一般，邊界條件是自然周期條件 $Phi(phi+2pi)=Phi(phi)$ ，求得本徵值為 $lambda=m^2$ ( $m=0,1,2,cdots$ )，本徵函數為 $Phi(phi)=C_1cos mphi+C_2sin mphi$ 。令 $x=cos heta$ ， $y(x)=Theta( heta)$ ，得 $(1-x^2)y-2xy+(l(l+1)-frac{m^2}{1-x^2})y=0$ ，剛好就是連帶Legendre函數滿足的方程。於是球諧函數 $Y_{lm}( heta,phi)=P_l^m(cos heta)(C_1cos mphi+C_2sin mphi)$ ( $mgeqslant0$ )，寫成復形式有 $Y_{lm}( heta,phi)=A_{lm}P_l^m(cos heta)e^{imphi}$ ，但這裡需要 $m=0,pm1,cdots,pm l$ 才能使 $e^{imphi}$ 與 $C_1cos mphi+C_2sin mphi$ 完全對應。並且在方程中把 $m$ 換成 $-m$ 得到完全相同的方程，從而 $P^{-m}_l(x)$ 應該是有定義的。由Rodrigues公式 $P^{-m}_l(x)=frac{(-1)^m}{2^ll!}(1-x^2)^{-frac{m}{2}}frac{d^{l-m}}{dx^{l-m}}(x^2-1)^l$ ，從而 $frac{P_l^m(x)}{P_l^{-m}(x)}=frac{(1-x^2)^mfrac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^2-1)^l}{frac{d^{l-m}}{dx^{l-m}}(x^2-1)^l}=(-1)^mfrac{(l+m)!}{(l-m)!}$ ，即 $P^{m}_l(x)=(-1)^mfrac{(l+m)!}{(l-m)!}P^{-m}_l(x)$ 。下面列出前幾階的連帶Legendre函數：

$P^0_0(x)=1$

$P^0_1(x)=1$ ， $P_1^1(x)=-sqrt{1-x^2}$

$P_2^0(x)=frac{1}{2}(3x^2-1)$ ， $P_2^1(x)=-3xsqrt{1-x^2}$ , $P_2^2(x)=3(1-x^2)$

命題 $P_l^m(x)$ 是 $L^2([-1,1])$ 的完備正交系。

其中正交性由 $int_{-1}^1P_l^m(x)P_k^m(x)dx=0$ ( $l e k$ )給出，模由 $int_{-1}^1(P_l^m(x))^2dx=frac{2}{2l+1}frac{(l+m)!}{(l-m)!}$ ( $mleqslant l$ )給出，Fourier係數由 $C_l=frac{2l+1}{2}frac{(l+m)!}{(l-m)!}int_{-1}^1f(x)P^m_l(x)dx$ 或者 $C_l=frac{2l+1}{2}frac{(l+m)!}{(l-m)!}int_{-1}^1f(cos heta)P^m_l(cos heta)sin heta d heta$ 給出。Fourier級數是 $f(x)=sum_{l=m}^{infty}c_lP^m_l(x)$ 從第 $m$ 項開始，因為 $lleqslant m$ 時 $P^m_l(x)=0$ 。

當然也有第二類Legendre函數 $Q_l^m(x)$ ，但一般考慮到邊界上不發散到無窮，在通解中捨棄這一項。

命題 $Y_{lm}( heta,phi)$ 是 $L^2([0,pi] imes [0,2pi]_{T=2pi})$ 的完備正交系，其中 $T=2pi$ 表示 $f( heta,phi)in L^2([0,pi] imes [0,2pi]_{T=2pi})$ 滿足 $f( heta,phi+2pi)=f( heta,phi)$ 。

正交性 $int_0^{pi}int_0^{2pi} Y^*_{lm}Y_{lm}sin heta d heta dphi=0$ 其中 $Y^*_{lm}$ 是 $Y_{lm}$ 的復共軛，若取 $A_{lm}=sqrt{frac{2l+1}{4pi}frac{(l-m)!}{(l+m)!}}$ 則模 $int_0^{pi}int_0^{2pi}|Y_{lm}( heta,phi)|^2sin heta d heta dphi=1$ 是歸一化的，二重Fourier級數 $f( heta,phi)=sum_{l=0}^inftysum_{m=-l}^{l}c_{lm}Y_{lm}( heta,phi)$ ，Fourier係數 $c_{lm}=int_0^{pi}int_0^{2pi}Y^*_{lm}( heta,phi)f( heta,phi)sin heta d heta dphi$ 。

設球坐標下兩點 $x=(r, heta,phi)$ 和 $x=(r, heta,phi)$ 有夾角 $gamma$ （即， $cosgamma=cos hetacos heta+sin hetasin hetacos(phi-phi)$ ），那麼 $P_l(cosgamma)=P_l(cos heta)P_l(cos heta)+2sum_{m=1}^l frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_l^m(cos heta)P_l^m(cos heta)cos m(phi-phi)$ ，這被稱作球諧函數的加法公式。

Bessel函數

稱 $x^2y+xy+(x^2- u^2)y=0$ 是 $u$ 階Bessel方程， $u$ 是實數。除去 $x=0$ 處的解，方程等價於 $y+frac{1}{x}y+frac{x^2- u^2}{x^2}y=0$ ，顯然 $x=0$ 是方程的正則奇點。設 $x=0$ 附近有解 $y=(x-x_0)^{s_1}sum_{n=-N}^infty c_nx^n=sum_{n=0}^infty c_nx^{s+n}$ ，代入方程得 $c_0(s^2- u^2)=0$ ， $c_1((s+1)^2- u^2)=0$ ， $c_n((c+n)^2- u^2)+c_{n-2}=0$ ( $ngeqslant2$ )，顯然雙間隔遞推式給出了兩個解，而 $c_0 e0$ 給出 $s=pm u$ 對應了兩個解。假設 $ugeqslant0$ 。

先考慮 $s= u$ ，此時 $c_1=0$ ，從而奇數項全為0，而偶數項的遞推公式給出 $c_{2m}=frac{(-1)^m}{2^{2m}m!( u+1)( u+2)cdots( u+m)}c_0$ ，從而方程的一個特解為 $y=c_0sum_{m=0}^infty frac{(-1)^m}{2^{2m}m!( u+1)( u+2)cdots( u+m)}x^{2m+ u}$ 。若令 $c_0=frac{1}{2^{ u}Gamma( u+1)}$ ，由於 $Gamma( u+1)( u+1)( u+2)cdots( u+m)$ $=Gamma( u+2)( u+2)( u+3)cdots( u+m)=cdots=Gamma(m+ u+1)$ ，得特解 $J_ u(x)=sum_{m=0}^infty frac{(-1)^m}{m!Gamma(m+ u+1)}(frac{x}{2})^{2m+ u}$ ，稱其為 $u$ 階Bessel函數，收斂半徑是 $infty$ 。若 $u=n$ 是自然數，就有整數階的Bessel函數 $J_n(x)=sum_{m=0}^infty frac{(-1)^m}{m!(m+n)!}(frac{x}{2})^{2m+n}$ 。方程的第二個特解對應於 $s=- u$ ，從而 $J_{- u}(x)=sum_{m=0}^infty frac{(-1)^m}{m!Gamma(m- u+1)}(frac{x}{2})^{2m- u}$ 就是第二個特解。從定義可看出 $J_{- u}(0+) oinfty$ 。

命題 Bessel函數的生成函數是 $e^{frac{x}{2}(r-frac{1}{r})}=sum_{n=-infty}^{infty}J_n(x)r^n$ ，其中 $ninmathbb{Z}$ 。

命題 $forall uinmathbb{R}$ ，

(1) $frac{d}{dx}(x^ u J_ u(x))=x^ u J_{ u-1}(x)$

(2) $frac{d}{dx}(x^{- u} J_ u(x))=-x^{- u} J_{ u+1}(x)$

(3) $J_ u(x)=frac{1}{2}(J_{ u-1}(x)-J_{ u+1}(x))$

(4) $J_{ u-1}(x)+J_{ u+1}(x)=frac{2 u}{x}J_ u(x)$

(5) $xJ_{ u-1}(x)= u J_{ u}(x)+xJ_ u(x)$

(6) $xJ_{ u+1}(x)= u J_{ u}(x)-xJ_ u(x)$

稱同時滿足(1)和(2)的函數是柱函數。

例1 用整數階Bessel函數表示 $int xJ_2(x)dx$ 。
由遞推式(4)得 $J_2(x)=-J_0(x)+frac{2}{x}J_1(x)$ ，由遞推式(1)得 $int xJ_0(x)dx=xJ_1(x)$ 和 $int J_1(x)dx=-J_0(x)$ ，從而 $int xJ_2(x)dx=-xJ_1(x)-2J_0(x)$ 。
例2 半奇數階的Bessel函數都是初等函數。用生成函數計算可得 $J_{frac{1}{2}}(x)=sqrt{frac{2}{pi x}}sin x$ ， $J_{-frac{1}{2}}(x)=sqrt{frac{2}{pi x}}cos x$ 。由遞推式(1)(2)可得 $J_{frac{1}{2}+n}(x)=(-1)^nsqrt{frac{2}{pi }}x^{n+frac{1}{2}}(frac{1}{x}frac{d}{dx})^nfrac{sin x}{x}$ ， $J_{-frac{1}{2}-n}(x)=sqrt{frac{2}{pi }}x^{n+frac{1}{2}}(frac{1}{x}frac{d}{dx})^nfrac{cos x}{x}$ 。

$uinmathbb{Z}$ 是整數的時候， $u=-n$ 階Bessel函數變成 $J_{-n}(x)=sum_{m=0}^infty frac{(-1)^m}{m!(m-n)!}(frac{x}{2})^{2m-n}=sum_{m=n}^infty frac{(-1)^m}{m!(m-n)!}(frac{x}{2})^{2m-n}$ ，由於 $m-n+1leqslant 0$ 時 $Gamma(m-n+1)=infty$ 。令 $m=k+n$ ，得 $J_{-n}(x)=(-1)^nsum_{k=0}^infty frac{(-1)^k}{k!(k+n)!}(frac{x}{2})^{2k+n}=(-1)^nJ_n(x)$ ，即兩個特解是線性相關的。我們引入Wronskian行列式 $W(f,g)=fg-fg$ 。

命題 可微函數 $f$ 和 $g$ 使 $W(f,g)$ 在某區間上恆不為零，則 $f$ 和 $g$ 線性無關。

設兩個Bessel函數的線性組合 $N_ u(x)=aJ_ u(x)+bJ_{- u}(x)$ 在 $u o n$ 時與 $J_ u(x)$ 線性無關。代入定義式得 $W(N_ u,J_ u)=bfrac{2sin upi}{pi x}$ ， $W(N_ u,J_{- u})=-afrac{2sin upi}{pi x}$ ，若 $a$ 和 $b$ 都不含因子 $(sin upi)^{-1}$ ，那麼 $u= n$ 時 $W(N_ u,J_ u)=W(N_ u,J_{- u})=0$ ，因此 $a$ 和 $b$ 都必須含因子 $(sin upi)^{-1}$ 。令 $N_ u(x)=frac{1}{sin upi}(alpha( u)J_{ u}(x)+eta( u)J_{- u}(x))$ ( $alpha(n) e0,eta(n) e 0$ )，要使 $u=n$ 時有意義必須 $lim_{ u o n}(alpha( u)J_ u(x)+eta( u)J_{- u}(x))=0$ ，即 $alpha(n)J_n(x)+eta(n)J_{-n}(x)=0$ 。同時 $J_{-n}(x)=(-1)^nJ_n(x)$ ，因而 $alpha(n)+(-1)^neta(n)=0$ 。最常用的是 $eta(n)=-1$ ，從而 $alpha(n)=(-1)^n$ ，取 $alpha( u)=cos upi$ 可使其成立。此時 $N_ u(x)=frac{J_ u(x)cos upi-J_{- u}(x)}{sin upi}$ ，稱它是Neumann函數。因而方程的通解是 $y=C_1J_ u(x)+C_2N_ u(x)$ 。

命題柱函數是Bessel方程的解。

稱 $x o a$ 時 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的漸近估計，若 $f(x)=g(x)+o(g(x))$ 其中 $lim_{x o a}frac{o(g(x))}{g(x)}=0$ ，記作 $fasymp g$ 。由定義直接得到：

命題 $x o0+$ 時 $J_ u(x)asymp frac{1}{Gamma( u+1)}(frac{x}{2})^ u$ 。

這說明 $J_ u(0+)=0$ 若 $u e 0$ 。

命題 $x o+infty$ 時 $J_ u(x)asymp sqrt{frac{2}{pi x}}cos (x-frac{ upi}{2}-frac{pi}{4})$ ， $N_ u(x)asymp sqrt{frac{2}{pi x}}sin (x-frac{ upi}{2}-frac{pi}{4})$ 。

這兩個漸近估計說明 $x o+infty$ 時 $J_ u(x) o0$ ， $N_ u(x) o0$ 並且它們有無窮多個零點。更具體的，我們有：

命題 $J_ u(x)$ 的零點有可數多個，並且 $x o+infty$ 時 $mu_{ u m}simeq(m+frac{ u}{2}-frac{1}{4})pi$ ，其中 $mu_{ u m}$ 表示 $J_ u(x)$ 的第 $m$ 個零點。

我們來看Bessel方程的Sturm-Liouville形式。由於 $r^2y(r)+r y(r)+(r^2- u^2)y(r)=0$ ，令 $x=sqrt{lambda} r$ ，得 $x^2y+xy+(lambda x^2- u^2)y=0$ ，或者 $frac{d}{dx}(xfrac{dy}{dx})-frac{ u^2}{x}y+lambda xy=0$ ，即 $k(x)= ho(x)=x$ 。因此內積取 $int_0^{x_0} xJ_ u(sqrt{lambda_m}x)J_ u(sqrt{lambda_n}x)dx$ ，計算Q因子： $Q=-k(x_0)(J_ u(sqrt{lambda_m}x_0)J_ u(sqrt{lambda_n}x_0)-J_ u(sqrt{lambda_m}x_0)J_ u(sqrt{lambda_n}x_0))$ ，要使 $Q=0$ ，只需取 $sqrt{lambda_m}=mu_{ u m}$ 同時 $x_0=1$ 。

命題 $J_ u(mu_{ u m}x)$ 是 $L^2((0,1))$ 的完備正交系。

如果令 $lambda_{ u m}=frac{mu_{ u m}}{a}$ ，就得到

命題 $J_ u(lambda_{ u m}x)$ 是 $L^2((0,a))$ 的完備正交系。

模由 $int_0^axJ_ u^2(lambda_{ u m} x)dx=frac{a^2}{2}J_{ u+1}^2(mu_{ u m})$ 給出。它的Fourier係數 $c_m=frac{2}{a^2J^2_{ u+1}(mu_{ u m})}int_0^a xJ_ u(lambda_{ u m}x)f(x)dx$ ，所謂Fourier-Bessel級數 $f(x)=sum_{m=1}^infty c_mJ_{ u}(lambda_{ u m}x)$ 。但這級數在端點 $x=0,a$ 處並不一定收斂。

此外，還有所謂的修正Bessel函數和球Bessel函數。

對於方程 $r^2y(r)+r y(r)-(r^2+ u^2)y(r)=0$ ，令 $x=mathrm{i}r$ ，方程就變回Bessel方程。因此方程的解是 $y=C_1J_ u(mathrm{i}r)+C_2N_ u(mathrm{i}r)$ 。為使方程的解是實數，引入第一類修正Bessel函數或第一類虛宗量Bessel函數 $I_ u(x)=sum_{m=0}^infty frac{1}{m!Gamma(m+ u+1)}(frac{x}{2})^{2m+ u}$ ，和第二類修正Bessel函數 $K_ u(x)=frac{pi}{2sin upi}(I_{- u}(x)-I_ u(x))$ ，當 $u=n$ 是整數時改用極限的定義。它們有漸進估計 $I_0(0+)=1$ ， $I_ u(0+)=0space( u e0)$ ， $K_ u(0+)=infty$ ， $I_ u(x)xrightarrow{x oinfty}frac{1}{2sqrt{x}}e^x$ ， $K_ u(x)xrightarrow{x oinfty}frac{pi}{2sqrt{x}}e^{-x}$ 。因而方程的通解是 $y=C_1I_ u(x)+C_2K_ u(x)$ ，若邊界條件給出 $x=0$ 時解不發散到無窮，則捨棄 $K_ u(x)$ 。

對於方程 $r^2w(r)+2x w(r)+(k^2r^2-l(l+1))w(r)=0$ ，令 $w(r)=sqrt{frac{pi}{2x}}y(x)$ 和 $x=kr$ 就把方程化為 $x^2y+xy+(x^2-(l+frac{1}{2})^2)y=0$ 。當 $k=0$ 就變為Euler方程。定義球Bessel函數 $mathrm{j}_l(x)=sqrt{frac{pi}{2x}}J_{l+frac{1}{2}}(x)$ 和球Neumann函數 $mathrm{n}_l(x)=sqrt{frac{pi}{2x}}N_{l+frac{1}{2}}(x)$ 。球Bessel方程的Sturm-Liouville形式是 $frac{d}{dr}(r^2frac{dw}{dr})-l(l+1)w+k^2r^2w=0$ ，因而 $ho(r)=r^2$ ，正交性和模 $int_0^ax^2mathrm{j}_l(lambda_{lm}x)mathrm{j}_l(lambda_{ln}x)dx=frac{a^3}{2}mathrm{j}^2_{l+1}(mu_{l+frac{1}{2},m})delta_{mn}$ 。