1.3 歐氏空間的微分形式（未完成）

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1.3 歐氏空間的微分形式（未完成）

來自專欄拓撲學及微分幾何筆記11 人贊了文章

前言

Loring W. Tu的《An Introduction to Manifolds》一書極好，閱讀此書需要的基礎有：數學分析（高數也一樣）、線性代數（涉及線性空間和線性變換）、抽象代數（一點點概念就行），很容易入門。本文是此書的抄書筆記，另外對一些初學者（比如我）難以理解的地方，本文加了個人的注釋（能力有限，望指教）和增加了例子，力求零基礎能夠讀懂。

第一章歐幾里得空間

1.1 光滑函數、函數芽、導數、切向量、向量場

1.2 外代數

1.3 歐氏空間的微分形式（Differential Form on $mathbb{R}^n$ ）

向量場賦予 $mathbb{R}^n$ 中的開集 $U$ 的每一點一個切向量，對偶地，微分 $k ext{-}$ 形式賦予 $U$ 中的每一點一個 $k$ 階余向量

Section 1 微分 $1$ -形式和函數的微分

$mathbb{R}^n$ 里點 $p$ 處的切空間記做 $T_p(mathbb{R}^n)$ 或者 $T_pmathbb{R}^n$ 。

定義1.1 餘切空間（cotangent space）

$mathbb{R}^n$ 里點 $p$ 處的餘切空間記做 $T_p^*(mathbb{R}^n)$ 或者 $T_p^*mathbb{R}^n$ ,定義為切空間 $T_pmathbb{R}^n$ 的對偶空間 $(T_pmathbb{R}^n)^vee$ .

因此餘切空間 $T_p^*(mathbb{R}^n)$ 的元素就是切空間 $T_pmathbb{R}^n$ 的線性函數（或叫余向量、1階余向量）

與向量場類似，開集 $U$ 上的余向量場（或者叫微分 $1$ 形式）可以看做一個映射 $omega$ ， $omega$ 賦予 $U$ 上每一個點 $p$ 一個余向量 $omega_p in T_p^*(mathbb{R}^n)$ ,即 $egin{cases} omega:&U o igcup_{pin U}T^*_p(mathbb{R}^n)\ &pmapsto omega_pin T^*_p(mathbb{R}^n) end{cases}$ ,注意到並集 $igcup_{pin U}T^*_p(mathbb{R}^n)$ 里的每一個集合 $T^*_p(mathbb{R}^n)$ 都是不相交的（無交集的）。我們將「微分 $1 ext{-}$ 形式」簡稱為「 $1 ext{-}$ 形式」。

也就是說，某一點 $p$ 處的微分 $1 ext{-}$ 形式是對偶向量（余向量）。某個開集 $U$ 上的微分 $1 ext{-}$ 形式是對偶向量場（余向量場）。

$Delta$ 對任意 $C^infty$ 函數 $f:U o mathbb{R}$ ,我們可以構造 $1$ -形式 $df$ ,叫做 $f$ 的微分，定義如下：

對任意 $pin U,X_pin T_p U$ ,定義 $(df)_p(X_p)=X_pf$ 。

$X_pf$ 是 $f$ 在 $p$ 點處沿向量 $X_p$ 的方嚮導數，它是一個實數。對 $X_pf$ 的一種理解是向量 $X_p$ 作用到 $f$ 上；還有一種理解是 $f$ 作用到 $X_p$ 上，我們將這種作用就命名為 $df$ ，得到 $(df)_p(X_p)=X_pf$ 。

設 $x^1,...,x^n$ 是 $mathbb{R}^n$ 的標準坐標系，在1.1節S4我們已經知道集合 ${frac{partial}{partial x^1}igg|_p,...,frac{partial}{partial x^n}igg|_p}$ 是切空間 $T_pmathbb{R}^n$ 的基。接下來的命題要來找出餘切空間 $T_p^*(mathbb{R}^n)$ 的基。

命題1.1

設 $x^1,...,x^n$ 是 $mathbb{R}^n$ 的標準坐標系,對於 $mathbb{R}^n$ 的每一點 $p$ ，集合 ${(dx^1)_p,...,(dx^n)_p}$ 是餘切空間 $T_p^*(mathbb{R}^n)$ 的(對偶)基，且關於切空間 $T_pmathbb{R}^n$ 的基 ${frac{partial}{partial x^1}igg|_p,...,frac{partial}{partial x^n}igg|_p}$ 對偶。

(i)先證明 ${(dx^1)_p,...,(dx^n)_p}$ 關於基 ${frac{partial}{partial x^1}igg|_p,...,frac{partial}{partial x^n}igg|_p}$ 對偶。
$(dx^i)_pigg(frac{partial}{partial x^j}igg|_pigg)=frac{partial}{partial x^j}igg|_px^i=delta^i_j$ 。因此兩組基對偶。
(ii)再證明 ${(dx^1)_p,...,(dx^n)_p}$ 線性無關。
令 $sum c_i (d x^i)_p=0,c_i in mathbb{R}^n$ ,將此式兩邊作用到向量 $frac{partial}{partial x^j}igg|_p$ ，得 $0=sum c_i (d x^i)_pigg(frac{partial}{partial x^j}igg|_pigg)=sum c_idelta^i_j=c_j$ .因此 ${(dx^1)_p,...,(dx^n)_p}$ 線性無關。
(iii)再證明 ${(dx^1)_p,...,(dx^n)_p}$ 可以張成餘切空間 $T_p^*(mathbb{R}^n)$ 。
任取 $omega_p in T_p^*(mathbb{R}^n)$ ，設 $omega_p=sum a_i(p)(dx^i)_p$ 其中係數 $a_i(p)$ 是實數，接下來算出這些係數。將上式兩邊作用於 $frac{partial}{partial x^j}igg|_p$ ，得 $(w)_pigg(frac{partial}{partial x^j}igg|_pigg)=sum a_i(p)igg(frac{partial}{partial x^j}igg|_pigg)(dx^i)_p=a_j(p)$
即係數 $a_j(p)$ 是實數 $(w)_pigg(frac{partial}{partial x^j}igg|_pigg)$ .這就證明了 ${(dx^1)_p,...,(dx^n)_p}$ 可以張成餘切空間 $T_p^*(mathbb{R}^n)$

上面命題1.1(iii)的證明中 $omega$ 是一般的 $1 ext{-}$ 形式，若 $omega$ 可以寫成某個函數 $f$ 的微分，即是 $omega=df$ ,則展開係數恰好是 $f$ 的偏導數，見命題1.2.

命題1.2

設 $f:U o mathbb{R}$ 是 $mathbb{R}^n$ 里開集 $U$ 上的 $C^infty$ 函數, $pin U$ ,則 $(df)_p=sum frac{partial f}{partial x^i}igg|_p(dx^i)_p$

註： $p$ 在 $U$ 里變化，就得到 $df=sum frac{partial f}{partial x^i}dx^i$

任給 $mathbb{R}^n$ 里開集 $U$ 上光滑函數 $f$ ，則 $(df)_pin T_p^*(mathbb{R}^n)$ 。
設 $(df)_p=sum a_i(p)(dx^i)_p$ ,其中 $a_i(p)$ 是實數，接下來來算出這些係數。
將上式兩邊作用於 $frac{partial}{partial x^j}igg|_p$ ，得 $(df)_pigg(frac{partial}{partial x^j}igg|_pigg)=sum a_i(p)igg(frac{partial}{partial x^j}igg|_pigg)(dx^i)_p=a_j(p)$ .
因此係數 $a_j(p)=(df)_pigg(frac{partial}{partial x^j}igg|_pigg)=frac{partial f}{partial x^j}$ .

如果 $omega$ 是 $mathbb{R}^n$ 開集 $U$ 上的 $1 ext{-}$ 形式，根據命題1.1，對於每一點 $pin U$ , $omega$ 可以寫成線性組合 $omega_p=sum a_i(p)(dx^i)_p, a_i(p)in mathbb{R}$ 。當 $p$ 取遍 $U$ 中的點時，係數 $a_i$ 就成了 $U$ 上的實函數。因此可以將 $omega$ 寫成 $omega=sum a_idx^i$ 。余向量場 $omega$ 稱作在 $U$ 上是 $C^infty$ (光滑的），如果它所有的係數函數 $a_i$ 在 $U$ 上都是 $C^infty$ (光滑的）。

如果 $x,y,z$ 是 $mathbb{R}^3$ 的坐標系，那麼 $dx,dy,dz$ 就是 $mathbb{R}^3$ 上的 $1 ext{-}$ 形式。這樣，在微積分中，原本只是作為記號的 $dx,dy,dz$ 就有了確切的意義—— $1 ext{-}$ 形式。

Section 2 微分 $k ext{-}$ 形式（Differential k-forms）

定義2.1 （微分 $k ext{-}$ 形式）

$mathbb{R}^n$ 開集 $U$ 上的微分 $k ext{-}$ 形式（簡稱 $k ext{-}$ 形式）是一個映射 $omega$ ，它將 $U$ 里的每一點 $p$ 賦予一個切空間 $T_pmathbb{R}^n$ 上的交錯 $k$ 重線性函數（ $k$ 階余向量），即 $omega_pin A_k(T_pmathbb{R}^n)$ 。

因為餘切空間 $T_p^*mathbb{R}^n$ 可以看成是 $A_1(T_pmathbb{R}^n)$ ，即 $T_p^*mathbb{R}^n=A_1(T_pmathbb{R}^n)$ ，因此此定義可以看成是微分1-形式的推廣。

根據1.2節S10的命題10.1 , $A_k(T_pmathbb{R}^n)$ 的一個基是 $dx^I_p=dx^{i_1}_pwedgecdotswedge dx^{i_k}_p$ ,其中 $1leq i_1<cdots<i_kleq n$ .（這裡下標 $p$ 表示在 $p$ 點）

因此對 $U$ 中每一點 $p$ , $omega_p$ 可以寫成線性組合的形式： $omega_p=sum a_I(p) dx^I_p,quad 1leq i_1<cdots<i_kleq n$

$U$ 上的 $k ext{-}$ 形式 $omega$ 也可以寫成線性組合的形式：

$omega=sum a_I dx^I, quad a_I:U o mathbb{R}$

$k ext{-}$ 形式 $omega$ 稱作在 $U$ 上是 $C^infty$ (光滑的），如果它所有的係數函數 $a_I$ 在 $U$ 上都是 $C^infty$ (光滑的）

例子2.1

設 $x^1,x^2,x^3,x^4$ 是 $mathbb{R}^4$ 的坐標系， $p$ 是 $mathbb{R}^4$ 里的一點。請寫出向量空間 $A_3(T_pmathbb{R}^4)$ 里的基。

$A_3(T_pmathbb{R}^4)$ 的基是 $dx^I_p=dx^{i_1}_pwedge dx^{i_2}_pwedge dx^{i_3}_p$ ,其中 $1leq i_1<i_2<i_3leq 4$ .
因此基向量有： $dx^{1}_pwedge dx^{2}_pwedge dx^{3}_p$ 、 $dx^{1}_pwedge dx^{2}_pwedge dx^{4}_p$ 、 $dx^{2}_pwedge dx^{3}_pwedge dx^{4}_p$ 、 $dx^{1}_pwedge dx^{3}_pwedge dx^{4}_p$

例子2.2

對任意點 $pin mathbb{R}^3$ 定義切空間 $T_pmathbb{R}^3$ 上的雙線性函數為 $omega_p( extbf{a}, extbf{b})=omega_pleft( {left[ {egin{array}{*{20}{c}} a^1\ a^2\ a^3 end{array}} ight],left[ {egin{array}{*{20}{c}} b^1\ b^2\ b^3 end{array}} ight]} ight)=p^3detleft[ {egin{array}{*{20}{c}} a^1&b^1\ a^2&b^2 end{array}} ight]$ ,其中切向量 $extbf{a}, extbf{b}in T_pmathbb{R}^n$ , $p^3$ 是點 $p=(p^1,p^2,p^3)$ 的第3個分量。根據 $omega_p$ 的定義，可驗證 $omega_p$ 是交錯的，因此 $omega_p$ 是 $mathbb{R}^3$ 上的交錯雙線性函數，因此 $omega$ 是 $mathbb{R}^3$ 上的2-形式。請將 $omega$ 在每點 $p$ 處用標準基 ${dx^iwedge dx^j}$ 表示。

（解法來自1.2節S10命題10.1的證明(ii)）
設 $omega_p=c_{12} dx^1wedge d x^2+c_{13} dx^1wedge d x^3+c_{23} dx^2wedge d x^3$ ,將此式兩邊作用於 $frac{partial}{partial x^1},frac{partial}{partial x^2}$ 可求得 $c_{12}$ .注意到 $frac{partial}{partial x^1}=langle1,0,0 angle,frac{partial}{partial x^2}=langle0,1,0 angle$ ,則左邊 $omega_p(frac{partial}{partial x^1},frac{partial}{partial x^2})=omega_pleft( {left[ {egin{array}{*{20}{c}} 1\ 0\ 0 end{array}} ight],left[ {egin{array}{*{20}{c}} 0\ 1\ 0 end{array}} ight]} ight)=p^3detleft[ {egin{array}{*{20}{c}} 1&0\ 0&1 end{array}} ight]=p^3$ ，右邊 $c_{12} dx^1wedge d x^2(frac{partial}{partial x^1},frac{partial}{partial x^2})=c_{12}$ ,因此 $c_{12}=p^3$ .
同理，作用於 $frac{partial}{partial x^1},frac{partial}{partial x^3}$ 可求得 $c_{13}=0$ ；作用於 $frac{partial}{partial x^2},frac{partial}{partial x^3}$ 可求得 $c_{23}=0$
於是， $omega_p=p^3 dx^1wedge d x^2$ .

將 $U$ 上的所有 $k ext{-}$ 形式組成的集合（也是一個向量空間）記做 $Omega^k(U)$ . $U$ 上的 $0 ext{-}$ 形式給 $U$ 里每一點 $p$ 賦予一個實數 $fin A_0(T_pmathbb{R}^n)=mathbb{R}$ ,因此， $U$ 上的 $0 ext{-}$ 形式就是 $U$ 上的一個函數，因此 $Omega^0(U)=C^infty(U)$ . 此外， $mathbb{R}^n$ 空間上不存在階數大於 $n$ 的非零微分形式，原因見1.2節S10的推論10.2。

$U$ 上 $k ext{-}$ 形式 $omega$ 和 $l ext{-}$ 形式 $au$ 的楔積的定義是逐點的（pointwise）： $(omegawedge au)_p=omega_pwedge au_p,quad pin U$

可用線性組合（分量）表示為：設 $omega=sum_Ia_Idx^I$ , $au=sum_Jb_Jdx^J$ ,則 $omegawedge au=sum_{I,J}(a_Ib_J)dx^Iwedge dx^J$

在上面求和式中，如果 $I$ 和 $J$ 有相同的元素，則 $dx^Iwedge dx^J=0$ .因此，上式又可以寫成： $omegawedge au=sum_{I,J ext{ disjoint}}(a_Ib_J)dx^Iwedge dx^J$ .

這表明兩個 $C^infty$ 形式的楔積仍是 $C^infty$ 的。由上可知，楔積是一個雙線性映射 $wedge:Omega^k(U) imes Omega^l(U) oOmega^{k+l}(U)$ .根據1.2節S8和S9 ,兩個微分形式的楔積是反交換和滿足結合律的。有一種特殊情形，其中一個微分形式的階為零，比如 $k=0$ ，那麼楔積 $wedge:Omega^0(U) imes Omega^l(U) oOmega^{l}(U)$ 就變成了一個 $l ext{-}$ 形式和一個 $C^infty$ 函數逐點相乘： $(fwedge au)_p=f(p)wedge au_p=f(p) au_p$ (楔積的運算規則已在1.2節S7說明）

例子2.3

（a）設 $x,y,z$ 是 $mathbb{R}^3$ 的坐標系。則 $mathbb{R}^3$ 上的 $C^infty$ $1 ext{-}$ 形式可表示為 $f dx+g d y+h dz$ ，其中 $f,g,h$ 都是 $mathbb{R}^3$ 上 $C^infty$ 函數。 $C^infty$ $2 ext{-}$ 形式可表示為 $f dywedge dz+g d xwedge dz+h dxwedge dy$ 。 $C^infty$ $3 ext{-}$ 形式可表示為 $f dxwedge dywedge dz$ .

（b）設 $omega=f dx+g d y+h dz$ ， $au=g dx+h d y$ ，求 $omegawedge au$

$egin{align} omegawedge au&=(f dx+g d y+h dz)wedge(g dx+h d y)\ &= fg dxwedge dx+g^2dywedge dx+hg dzwedge dx\ &+fh dxwedge dy+gh dywedge dy+h^2 dzwedge dy\ &=(fh-g^2) dxwedge dy-hg dxwedge dz-h^2 dywedge dz end{align}$

$Omega^k(U)$ 是域 $mathbb{R}$ 上的向量空間，令 $Omega^*(U)=oplus_{k=0}^nOmega^k(U)$ ,在 $Omega^*(U)$ 定義楔積 $wedge$ 作為乘法，微分形式的階數作為分級代數的級數，則 $Omega^*(U)$ 成為 $mathbb{R}$ 上的反交換分級代數（證明類似1.2節S9定理9.1）。另外光滑k-形式可以和光滑函數作(標量)乘法，因此 $Omega^k(U)$ 也是環 $C^infty(U)$ 上的模，故而直和 $Omega^*(U)=oplus_{k=0}^nOmega^k(U)$ 也是環 $C^infty(U)$ 上的模。

Section 3 微分形式作為向量場上的線性函數

在 $mathbb{R}^n$ 的開集 $U$ 上， $omega$ 是一個光滑的( $C^infty$ )1-形式， $X$ 是光滑的向量場, 定義 $U$ 上的函數如下：

$omega(X)_p=omega_p(X_p), quad pin U$

寫成分量的形式， $omega=sum a_i dx^i,quad X=sum b^jfrac{partial}{partial x^j}$ ,這裡 $a_i,b^j in C^infty(U)$

則 $omega(X)=(sum a_i dx^i)igg(b^jfrac{partial}{partial x^j}igg)=sum a_ib^i in C^infty(U)$

即表明 $omega(X)$ 是開集 $U$ 上的 $C^infty$ 函數。因此， $U$ 上的一個 $C^infty$ 的1-形式可以看成是從 $mathfrak{X}(U)$ 到 $C^infty(U)$ 的映射。

這個函數 $omega(X)$ 實際上是環 $C^infty(U)=mathcal{F}(U)$ 上的線性函數，即，若 $fin C^infty(U)$ ,則 $omega(fX)=fomega(X)$ . 要證明這個式子在 $U$ 上成立，只需證明在每一點 $p$ 上成立：

$egin{align} (omega(fX))_p&=omega_p(f(p)X_p)quad (omega(fX)的定義)\ &=f(p)omega_p(X_p)quad (omega_p 是 mathbb{R-}線性的)\ &=(fomega(X))_p quad (fomega(X)的定義) end{align}$

因此， $U$ 上 $C^infty$ 的1-形式給出一個 $mathcal{F}(U)$ -線性函數 $mathfrak{X}(U) o mathcal{F}(U)$ , $X mapsto omega(X)$ 。同樣的， $U$ 上 $C^infty$ 的k-形式給出一個環 $mathcal{F}(U)$ 上的k重線性函數，

$underbrace{mathfrak{X}(U) imescdots imesmathfrak{X}(U)}_{k個} o mathcal{F}(U)\ (X_1,cdots,X_k) mapsto omega(X_1,..,X_k)$

例子3.1

$mathbb{R}^3$ 里的 $1 ext{-}$ 形式 $omega=z dx-dz$ ，向量場 $X=yfrac{partial}{partial x}+xfrac{partial}{partial y}$ .試計算 $omega(X)$ .

(利用 $omega$ 對 $X$ 的作用是線性的和 $w$ 是一個余向量)
$egin{align} omega(X)&=(z dx-dz)(yfrac{partial}{partial x}+xfrac{partial} {partial y})\ &=z dx(yfrac{partial}{partial x})-dz(yfrac{partial}{partial x})+z dx(xfrac{partial}{partial y})-dz(xfrac{partial}{partial y})\ &=z dx(yfrac{partial}{partial x})=zy dx(frac{partial}{partial x})=zy end{align}$

Section 4 外導數（The Exterior Derivative）

定義4.1 外導數/外微分(運算元）

外導數運算元(exterior derivative),或叫外微分運算元(exterior differentiation)是一個映射，記作 $d$ ,它將一個k-形式映射成一個(k+1)-形式，即 $d:Omega^k(U) oOmega^{k+1}(U)$ 。

在定義 $mathbb{R}^n$ 開集 $U$ 上的任意k-形式的外導數之前，要定義0-形式（光滑函數）的外導數，接著再定義 $kgeq1$ 形式的外導數，見定義4.1和定義4.2

註：今後將混用外導數和外微分，它們都記做 $d$

在定義 $mathbb{R}^n$ 開集 $U$ 上的光滑k-形式的外導數之前，先來定義0-形式（光滑函數）的外導數。

定義4.2 （0-形式的外導數）

設 $fin C^infty(U)$ ,則 $f$ 的外導數(exterior derivative)或叫外微分(exterior differentiation)定義為它的微分 $dfin Omega^1(U)$ ,寫成分量形式即是， $df=sumfrac{partial f}{partial x^i}dx^i$

定義4.3 （k-形式的外導數）

設 $kgeq1$ ,若 $omega=sum_I a_Idx^Iin Omega^k(U)$ ,則 $omega$ 的外導數或外微分定義為

$d omega=sum_Id a_Iwedge dx^I=sum_Iigg(sum_jfrac{partial a_I}{partial x^j}dx^jigg)wedge dx^I in Omega^{k+1}(U)$

注1：因為係數函數 $a_I$ 是0-形式，因此 $d a_I=sum_jfrac{partial a_I}{partial x^j}dx^j$
注2：外導數或者外微分是一個映射，是一個過程，我們可以說「對 $omega$ 取外微分/外導數」

例子4.1

設 $mathbb{R}^2$ 上的1-形式 $omega=f dx+g dy$ ，這裡 $f,g in C^infty(mathbb{R}^n)$ . 記 $frac{partial f}{partial x}=f_x,frac{partial f}{partial y}=f_y$ ，求 $domega$ .

$egin{align} domega&=dfwedge dx+dgwedge dy\ &=(f_x dx+f_y dy)wedge dx+(g_x dx+g_y dy)wedge dy\ &=(g_x-f_x)dxwedge dy end{align}$

註： $dywedge dx=-dx wedge dy,quad dxwedge dx= dy wedge dy=0$ (見1.2節交錯線性函數楔積的運算規則）

接下來先介紹一般分級代數的反導子

定義 4.4 (分級代數的反導子 )

設 $A=oplus_{k=0}^infty A^k$ 是域 $mathbb{K}$ 上的分級代數（graded algebra）. 則 $A$ 的反導子(antiderivation)是一個 $mathbb{K}$ -線性映射 $D:A o A$ 滿足：對任意 $ain A^k,bin A^l$ ,有 $D(ab)=(Da)b+(-1)^kaDb$

如果存在整數 $m$ ,使得對任意的 $k$ ,反導子 $D$ 將 $A^k$ 映到 $A^{k+m}$ ,則稱 $D$ 的階（degree）為 $m$ , 或稱 $D$ 是一個 $m$ 階的反導子。

注1： $A=oplus_{k=0}^infty A^k$ 中 $A^k$ 的 $k$ 代表"級數"，也就是說 $A^k$ 是由所有"k級"元素組成的集合，這是一個抽象的概念，具體的"級"的定義要看研究的背景。舉個具體的例子，k重交錯線性函數空間 $A_k(V)$ ，這裡的重數k就是分級代數 $A_*(V)=oplus_{k=0}^n A_k(V)$ 的"級數"。
注2：一個m階反導子,為何叫m階？就是被m階反導子作用後升了m級（將 $A^k$ 映到 $A^{k+m}$ ）

命題4.1

(i) 外微分(運算元) $d:Omega^*(U) oOmega^*(U)$ 是一個 $1$ 階的反導子，即：

$d(omegawedge au)=(d omega)wedge au+(-1)^{omega 階數}omegawedge d au$

(ii) $d^2=0$

(iii) 如果 $fin C^infty(U)$ , $Xin mathfrak{X}(U)$ ,則 $(df)(X)=Xf$

(i)令 $omega=sum_I f_I dx^I, au=sum _J g_J dx^J$ 然後計算 $d(omegawedge au)$ ，但這樣做寫出來太麻煩，因為 $d$ 的作用是線性的，因此我們只需計算 $omega= f dx^I, au= g dx^J$ 的情況即可。
$egin{align} d(omegawedge au)&=d(fg dx^Iwedge dx^J)\ &=(sum frac{partial (fg)}{partial x^i}dx^i)wedge dx^Iwedge dx^J\ &=(sum frac{partial f}{partial x^i}g dx^i)wedge dx^Iwedge dx^J +(sum f frac{partial g}{partial x^i}dx^i)wedge dx^Iwedge dx^J \ end{align}$
然後將第一項的 $g$ (與求和指標無關可以拿出來)移動到 $dx^J$ 的前面，第二項將1-形式 $sum frac{partial g}{partial x^i}dx^i$ 移動到 $dx^I$ 的前面（設 $dx^I$ 是k-形式(即是 $omega$ 的階)，則要交換k次位置，故符號改變k次）得到
$egin{align} d(omegawedge au)&=sumfrac{partial f}{partial x^i}dx^iwedge dx^Iwedge g dx^J+(-1)^k f dx^Iwedgesumfrac{partial g}{partial x^i}dx^iwedge dx^J\ &=domegawedge au+(-1)^komegawedge d au end{align}$
(ii)同樣因為 $d$ 線性的原因，只需對 $omega= f dx^I$ 驗證有 $d^2omega=0$ 。
$d^2( f dx^I)=digg(sum frac{partial f}{partial x^i}dx^iwedge dx^Iigg)=sum_{j,i} frac{partial^2 f}{partial x^jpartial x^i}dx^jwedge dx^iwedge dx^I$
在上面和式各項中，如果 $i=j$ ,則 $dx^jwedge dx^i=0$ ;如果 $i ot=j$ 則因為光滑函數的二階偏導數與求導次序無關，即 $frac{partial^2 f}{partial x^ipartial x^j}=frac{partial^2 f}{partial x^jpartial x^i}$ ,以及 $dx^jwedge dx^i$ 是交錯的。故和式中必然可以兩兩配對，使得和為0，即是： $frac{partial^2 f}{partial x^jpartial x^i}dx^jwedge dx^iwedge dx^I+frac{partial^2 f}{partial x^ipartial x^j}dx^iwedge dx^jwedge dx^I\=frac{partial^2 f}{partial x^jpartial x^i}dx^jwedge dx^iwedge dx^I-frac{partial^2 f}{partial x^ipartial x^j}dx^jwedge dx^iwedge dx^I=0$
綜上， $d^2( f dx^I)=0$ ，即是 $d^2=0$
(iii)這正是函數的外導數的定義，見Section1

命題4.2 （外微分/外導數的特徵）

命題4.1的三個性質唯一確定了 $mathbb{R}^n$ 開集 $U$ 上的外微分(外導數）;即：如果映射 $D:Omega^*(U) oOmega^*(U)$ 滿足：(i) $D$ 是一個1階的反導子(ii) $D^2=0$ (iii) 對任意 $fin C^infty(U),Xin mathfrak{X}(U)$ 有 $(Df)(X)=Xf$ ，那麼 $D=d$

$D$ 是作用於k-形式的映射，因此要證明 $D=d$ ，只需證明它們作用於同一k-形式的結果相等即可。此外，由於 $D$ 和 $d$ 的作用是線性的，只需驗證作用於 $f dx^I$ 即可。
根據(iii) $(Df)(X)=Xf=(df)(X)$ ,因此 $Df=df$ ;
根據(ii)和(iii) $Ddx^i=DDx^i=D^2x^i=0$ ,根據 $Ddx^i=0$ 和(i) $D(dx^iwedge dx^j)=(Ddx^i)wedge dx^j+(-1)dx^iwedge Dd x^j=0$
同理遞推下去證明 $D(dx^I)=D(dx^{i_1}wedgecdotswedge dx^{i_k})=0$ .
最後，對任意的k-形式 $f dx^I$ ，
$egin{align} D(f dx^I)&=(Df)wedge dx^I+fD(dx^I)quad(根據( ext{i}))\ &=(df)wedge dx^Iquad (根據Df=df和D(dx^I)=0)\ &=d(fdx^I) quad(根據d的定義) end{align}$
因此 $D=d$

Section 5 閉形式和恰當形式（Closed form and Exact form）

定義5.2 （閉形式和恰當形式）

$U$ 上的k-形式 $omega$ 稱為是閉形式（closed form），當且僅當 $d omega=0$ ;

$U$ 上的k-形式 $omega$ 稱為是恰當形式（exact formm），當且僅當，存在(k-1)-形式 $au$ ，使得 $omega=d au$ ;

註：閉形式也就是外微分 $d$ 的核(kernel)里的一個元素，恰當形式是 $d$ 的像(image)里的一個元素

例子5.1 （帶洞的平面上的閉1-形式）

定義 $mathbb R^2ackslash{0}$ 上的 1-形式 $omega=frac{1}{x^2+y^2}(-y dx+x dy)$ ,證明 $omega$ 是閉形式.

直接計算 $d omega=0$ 即可

根據 $d^2=0$ ,可知對於恰當形式 $omega=d au$ ,有 $d omega=d(d au)=d^2 au=0$ .

因此每一個恰當形式都是閉形式。

更一般的，設 ${V^k}^infty_{k=0}$ 為向量空間組成的集合,如果在 ${V^k}^infty_{k=0}$ 上定義的線性映射 $d_k:V^k o V^{k+1}$ 滿足 $d_{k+1}circ d_k=0$ ,則稱 ${V^k}^infty_{k=0}$ 是一個微分復形(differential complex)或上鏈復形(cochain complex). 按照這樣的定義，對 $mathbb R^n$ 上任一開集 $U$ ，外微分 $d$ 使得向量空間 $Omega^*(U)$ 成一個上鏈復形，也叫 $U$ 的de Rham復形(de Rham complex of U): $0 mathop o limits^d Omega^0(U) mathop o limits^d Omega^1(U) mathop o limits^d Omega^2(U) mathop o limits^d cdots$

因此，閉形式也就是 $d$ 的核(kernel)里的一個元素，恰當形式是 $d$ 的像(image)里的一個元素

Section 6 微分形式在向量計算的應用

微分形式理論可以統一 $mathbb R^n$ 里的一些定理。以下分析都 $mathbb R^n$ 在進行。

$mathbb R^3$ 里開集 $U$ 上的向量函數(vector-valued function)是指一個映射 $extbf{F}=langle P,Q,R angle:U o mathbb R^3$ .函數 $extbf{F}$ 給 $U$ 里的每一點 $p$ 賦予了一個向量 $extbf{F}_pin mathbb R^3simeq T_p(mathbb R^3)$ . 因此 $U$ 上的向量函數實際上就是 $U$ 上的向量場。

回憶一下微積分的三個運算元：梯度(grad)、旋度(curl)和散度(div)的定義：

${標量函數}mathop longrightarrow limits^{ ext{grad}} {向量函數}mathop longrightarrow limits^{ ext{curl}} {向量函數}mathop longrightarrow limits^{ ext{div}} {標量函數}$

$ext{grad} f=left[ {egin{array}{*{20}{c}} frac{partial f}{partial x}\ frac{partial f}{partial y}\ frac{partial f}{partial z} end{array}} ight]=left[ {egin{array}{*{20}{c}} f_x\ f_y\ f_z end{array}} ight]$ , $ext{curl}left[ {egin{array}{*{20}{c}} P\ Q\ R end{array}} ight]=left[ {egin{array}{*{20}{c}} frac{partial f}{partial x}\ frac{partial f}{partial y}\ frac{partial f}{partial z} end{array}} ight] imes left[ {egin{array}{*{20}{c}} P\ Q\ R end{array}} ight] =left[ {egin{array}{*{20}{c}} R_y-Q_z\ -(R_x-P_z)\ Q_x-P_y end{array}} ight]$

$ext{div}left[ {egin{array}{*{20}{c}} P\ Q\ R end{array}} ight]=left[ {egin{array}{*{20}{c}} frac{partial f}{partial x}\ frac{partial f}{partial y}\ frac{partial f}{partial z} end{array}} ight]cdot left[ {egin{array}{*{20}{c}} P\ Q\ R end{array}} ight] =left[ {egin{array}{*{20}{c}} P_x\ Q_y\ R_z end{array}} ight]$

因為 $U$ 上的每一個1-形式是 $dx,dy,dz$ 和係數函數的線性組合，因此我們可以將1-形式和 $U$ 上的向量場等同起來，即

$P dx+Q dy+R dz leftrightarrow left[ {egin{array}{*{20}{c}} P\ Q\ R end{array}} ight]$ .

同理， $U$ 上的2-形式也可以和 $U$ 上的向量場等同起來：

$P dywedge dz+Q dzwedge dx+R dxwedge dy leftrightarrow left[ {egin{array}{*{20}{c}} P\ Q\ R end{array}} ight]$

$U$ 上的3-形式可以和 $U$ 上的函數等同起來：

$f dxwedge dywedge dz leftrightarrow f$

按照上面三個等同原則，

（i) 0-形式(光滑函數) $f$ 的外微分就等同於 $f$ 的梯度：

$df=frac{partial f}{partial x}dx+frac{partial f}{partial y}dy+frac{partial f}{partial z}dz longleftrightarrow left[ {egin{array}{*{20}{c}} f_x\ f_y\ f_z end{array}} ight]= ext{grad} f$

（ii）而1-形式的外微分是：

$d(P dx+Q dy+R dz)=(R_y-Q_z)dywedge dz-(R_x-P_z)dzwedge dx+(Q_x-P_y)dxwedge dz$

它等同於 $ext{curl}left[ {egin{array}{*{20}{c}} P\ Q\ R end{array}} ight] =left[ {egin{array}{*{20}{c}} R_y-Q_z\ -(R_x-P_z)\ Q_x-P_y end{array}} ight]$

(iii)2-形式的外微分是： $d(P dywedge dz+Q dzwedge dx+R dxwedge dy)=(P_x+Q_y+R_z) dxwedge dy wedge dz$

它等同於 $ext{div}left[ {egin{array}{*{20}{c}} P\ Q\ R end{array}} ight] =left[ {egin{array}{*{20}{c}} P_x\ Q_y\ R_z end{array}} ight]$

綜上，0-形式、1-形式、2-形式的外微分 $d$ 分別對應於三個運算元 $ext{grad}$ 、 $ext{curl}$ 、 $ext{div}$ ，如下面交換圖所示：

$egin{CD} Omega^0(U) @>d>>Omega^1(U) @>d>>Omega^2(U) @>d>>Omega^3(U) \ @Vsimeq VV@Vsimeq VV@Vsimeq VV@Vsimeq VV\ C^infty(U)@> ext{grad}>>mathfrak X(U)@> ext{curl}>>mathfrak X(U)@> ext{div}>>C^infty(U) end{CD}$