耦合模理論

08-26

耦合模理論

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好久沒更新過了，這次寫一個篇幅不太長，但在很多領域很重要的理論-耦合模理論。下面這些內容主要來自於

H. A. Haus, Waves and Fields in Optoelectronics. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1984.

一個具有耗散的模式，描述其動力學的方程應該寫為

$[frac{{da}}{{dt}} = j{omega _0}a - left( {frac{1}{{{ au _0}}} + frac{1}{{{ au _e}}}} ight)a]$

其中 $a$ 是我們考慮的模式， $[{omega _0}]$ 是其本徵頻率， $[{1/{ au _0}}]$ 是模式內部耗散掉的，比如材料自身的損耗。而 $[{1/{ au _e}}]$ 描述的是模式的能量向外耗散，比如能量耗散到了與模式耦合的波導中，或者以平面波的形式直接耗散到了自由空間，我們這裡的下標 $e$ 就代表「外部」。那麼我們來看一下模式中能量隨時間的動力學演化，應該有

$[frac{{dW}}{{dt}} = frac{{dleft( {a * a} ight)}}{{dt}} = a * frac{{da}}{{dt}} + afrac{{da * }}{{dt}} = - 2left( {frac{1}{{{ au _0}}} + frac{1}{{{ au _e}}}} ight)W]$

那麼向外部耗散的功率可以寫為

$[{P_e} = frac{2}{{{ au _e}}}W]$

那麼按照品質因子Q的定義，我們可以定義出一個「外部」Q為

$[frac{{{P_e}}}{{{omega _0}W}} = frac{2}{{{omega _0}{ au _e}}} = frac{1}{{{Q_{ext}}}}]$

波導可以攜帶著行波向模式中注入能量，相當於一個驅動。那麼加入這個驅動 $[{s_ + }]$ 後，模式的動力學就寫為

$[frac{{da}}{{dt}} = j{omega _0}a - left( {frac{1}{{{ au _0}}} + frac{1}{{{ au _e}}}} ight)a + kappa {s_ + }]$

其中 $[kappa ]$ 就衡量了入射波與諧振模式的耦合程度。我們將 $[{s_ + }]$ 歸一化，使得 $[{left| {{s_ + }} ight|^2}]$ 恰為入射波所輸入進來的功率。如果這個輸入源的頻率是 $omega$ ，也即 $[{s_ + } propto exp left( {jomega t} ight)]$ ，那麼我們考慮的諧振模式最終應該也會達到相同的頻率，那麼我們可以解出a

$[a = frac{{kappa {s_ + }}}{{jleft( {omega - {omega _0}} ight) + left[ {left( {1/{ au _0}} ight) + (1/{ au _e})} ight]}}]$

我們下面來看一下 $[kappa ]$ 和 $au _e$ 的關係。我們使用麥克斯韋方程組的一個一般性質，即系統的解在時間反演變換下是仍是解，這就意味著在時間反演變換下系統的能量流反著流動。我們這裡先假設內部耗散 $[{1/{ au _0}}=0]$ 。如果沒有輸入源，模式就會以 $[{1/{ au _e}}]$ 的速度衰減，在沒有內部耗散的情況下，這種耗散這是因為能量隨著通道 $[{{s_ - }}]$ 向外傳播，那麼由能量守恆的關係就有 $[frac{d}{{dt}}{left| a ight|^2} = - frac{2}{{{ au _e}}}{left| a ight|^2} = - {left| {{s_ - }} ight|^2}]$

在時間反演的操作下，這個向外傳播的波會轉換為向內傳播，即從 $[{{s_ - }}]$ 轉換為 $[{{s_ + }}]$ ，與之相應的，系統的能量也不是衰減的，而是按照 $[exp left[ { + (2/{ au _e})t} ight]]$ 的規律指數增加的。那麼時間反演下的模式就從正比於 $[exp left( {+jomega t} ight)]$ 的正頻率變成了正比於 $[exp left( {-jomega t} ight)]$ 的負頻率。為了保證我們只處理正頻率振幅的約定，我們將模式 $a_+$ 換成反演時間點前的模式 $a_-$ （或 $[{a^ * }]$ ）（這裡其實我搞得不是特別明白，希望有大神指教）。那麼這個模式依然滿足我們上面的方程。那麼我們可以得到這個模式的能量是增加的，即

$[frac{d}{{dt}}{left| { ilde a} ight|^2} = frac{2}{{{ au _e}}}{left| { ilde a} ight|^2}]$

那麼這個時間反演的解是被一個入射波所驅動的，它的頻率是 $[{omega _0}]$ ，並且按照 $[1/{ au _e}]$ 的能量增長，所以等效於復頻率

$[omega = {omega _0} - frac{j}{{{ au _e}}}]$

那麼我們就有

$[ ilde a = frac{{kappa {{ ilde s}_ + }}}{{2/{ au _e}}}]$

這樣我們就可以得到

$[{left| {{{ ilde s}_ + }} ight|^2} = frac{2}{{{ au _e}}}{left| a ight|^2} = frac{2}{{{ au _e}}}{left| { ilde a} ight|^2}]$

選擇恰當的相位使得 $[kappa ]$ 為實數，就有

$[kappa = sqrt {frac{2}{{{ au _e}}}} ]$

那麼完全的方程應該寫成

$[frac{{da}}{{dt}} = j{omega _0}a - left( {frac{1}{{{ au _0}}} + frac{1}{{{ au _e}}}} ight)a + sqrt {frac{2}{{{ au _e}}}} {s_ + }]$

我們下面考慮 $[{s_ - }]$ 。由於系統是線性的，所以 $[{s_ - }]$ 應該同時正比於 $[{s_ + }]$ 和 $a$ ，那麼可以寫成

$[{s_ - } = {c_s}{s_ + } + {c_a}a]$

我們剛剛討論過沒有輸入源的情況，有

$c_a=sqrt{2/ au_e}$

根據能量守恆的原理，輸入源輸入的能量減去輸出源耗散的能量，應該等於模式能量的靜增加加上內部的耗散，也即

$[{left| {{s_ + }} ight|^2} - {left| {{s_ - }} ight|^2} = frac{d}{{dt}}{left| a ight|^2} + 2left( {frac{1}{{{ au _0}}}} ight){left| a ight|^2}]$

而從另一方面，我們從模式的動力學可以得到

$[frac{d}{{dt}}{left| a ight|^2} = - 2left( {frac{1}{{{ au _0}}} + frac{1}{{{ au _e}}}} ight){left| a ight|^2} + sqrt {frac{2}{{{ au _e}}}} left( {{a^ * }{s_ + } + as_ + ^ * } ight)]$

所以就有

$[{left| {{s_ + }} ight|^2} - {left| {{s_ - }} ight|^2} = - 2frac{1}{{{ au _e}}}{left| a ight|^2} + sqrt {frac{2}{{{ au _e}}}} left( {{a^ * }{s_ + } + as_ + ^ * } ight)]$

代入 $[{s_ - } = {c_s}{s_ + } + {c_a}a]$ 我們可以得到解 $[{c_s} = - 1]$ ，即

$[{s_ - } = - {s_ + } + sqrt {frac{2}{{{ au _e}}}} a]$

這樣我們就得到了一埠的耦合模理論，我們可以計算很多物理量，比如反射係數

$[Gamma = frac{{{s_ - }}}{{{s_ + }}} = frac{{left( {1/{ au _e}} ight) - left( {1/{ au _0}} ight) - jleft( {omega - {omega _0}} ight)}}{{left( {1/{ au _e}} ight) + left( {1/{ au _0}} ight) + jleft( {omega - {omega _0}} ight)}}]$