數學隨想——光滑流形

08-25

數學隨想——光滑流形

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最近開始系統的看光滑流形，對於一個初學者來說，對概念的理解相當困難。故寫下這篇文章，嘗試去解釋光滑流形的一些概念。

建立光滑流形的初衷當然是為了研究更一般微積分，首先來看看光滑流形的定義

定義1.設 $M$ 為一個拓撲空間，並且有一個可數的拓撲基。對於任意點 $pin M$ ，存在 $p$ 的鄰域 $U$ 和同構 $varphi:U o V$ ，其中 $V$ 是 $mathbb{R}^n$ 中的開集。則稱 $M$ 為一個 $n$ 維流形。

其中 $(U,varphi)$ 叫做一個包含 $p$ 的坐標卡。

定義2.設M為一個n維流形，如果 $mathcal{A}={(U_{alpha},varphi_{alpha}):alphain I}$ 滿足：

（1） ${U_{alpha}:alphain I}$ 構成M的一個開覆蓋；

（2） $mathcal{A}$ 中的坐標卡互相之間是相容的，也就是說，任意 $(U,varphi),(V,psi)inmathcal{A}$ ,要麼 $Ucap V=emptyset$ ，要麼 $psicirc varphi^{-1}$ 是一個光滑同構，

那麼稱 $mathcal{A}$ 為一個圖冊。

定義3.一個圖冊 $mathcal{A}$ 為極大的，當所有與 $mathcal{A}$ 中坐標卡都相容的坐標卡都在 $mathcal{A}$ 中。一個極大坐標卡稱為M的光滑結構，此時稱 $(M，mathcal{A})$ 為一個光滑流形，簡記為 $M$ 。光滑流形的極大圖冊里的坐標卡又叫容許坐標卡，如不特別說明，坐標卡就特指容許坐標卡。

直接描述極大圖冊是十分困難的，因為它可能異常的大。下面命題給了一個描述極大圖冊的辦法。

命題4.任意一個圖冊唯一的包含在一個極大圖冊中。

證明大概是將與圖冊 $mathcal{A}$ 中所有坐標卡相容的坐標卡放在 $overline{mathcal{A}}$ 中，之後證明 $overline{mathcal{A}}$ 就是我們找的極大圖冊，這裡不再贅述。

這裡問題來了，似乎一個流形能不能給予光滑結構和它看起來光不光滑沒什麼關係，比如我們考慮 $y=|x|$ 的圖像，我們都知道這個函數在 $(0,0)$ 這個地方是不光滑的。但如果我們考慮從圖像直接投影到x軸，這無疑是一個整體上的坐標卡，所以是構成一個圖冊，進而誘導一個極大圖冊，進而是一個光滑流形！其實仔細想來，我們所說的拓撲空間往往也長得不像什麼空間，關鍵不在它長什麼樣，而是它的開集的結構怎麼樣。 $y=|x|$ 的圖像從拓撲上看和 $mathbb{R}$ 沒什麼區別，而現在賦予了一個和 $mathbb{R}$ 一樣的光滑結構（當我們將 $mathbb{R}^n$ 看做光滑流行時，總是默認是由恆等映射誘導的光滑結構），實際上這兩個從光滑流形上看也是一樣的。

現在著力於建立光滑流形間的態射。

定義5. $M，N$ 是兩個光滑流形， $F：M o N$ 叫做一個光滑映射如果對於任意 $pin M$ ，包含 $p$ 的坐標卡 $(U,varphi)$ 和包含 $F(p)$ 的坐標卡 $(V,psi)$ ，我們有 $psicirc Fcircvarphi^{-1}$ 在 $varphi(p)$ 處光滑。特別的， $N$ 為 $mathbb{R}$ 時 $F$ 又叫光滑函數。

定義6.如果存在光滑映射 $F:M o N$ 和 $G:N o M$ 使得 $Gcirc F$ 和 $Fcirc G$ 均為恆等映射，那麼稱 $F$ 為微分同胚， $M$ 和 $N$ 為微分同胚的，並記 $G$ 為 $F^{-1}$ 。

若兩個空間為同胚的，那麼這個同胚映射自然的誘導了兩個空間開集之間的一一對應。對於微分同胚，從定義6很難看出是否誘導了容許坐標卡之間的對應，因此有下面命題來驗證我們的想法。

命題7.（原創，雖然比較平凡）一個微分同胚誘導了容許坐標卡的一一對應。

證明：沿用定義6的符號。對於 $M$ 的一個容許坐標卡 $(U,varphi)$ ，自然想到對應於 $(F(U)，varphicirc F^{-1})$ ,我們只需證這是 $N$ 的一個容許坐標卡即可，這等價於證明這個坐標卡和 $N$ 的容許坐標卡都是相容的。設 $(V,psi)$ 為 $N$ 的任一容許坐標卡，由定義知 $varphicirc F^{-1}circpsi^{-1}$ 和 $psicirc Fcircvarphi^{-1}$ 均為光滑的，而他們又互為逆映射，故 $varphicirc F^{-1}circpsi^{-1}$ 為一個光滑同胚，故 $(F(U)，varphicirc F^{-1})$ 和 $(V,psi)$ 是相容的，從而得到了 $M$ 的容許坐標卡到 $N$ 的容許坐標卡的映射。從 $N$ 到 $M$ 同樣處理，我們就得到了容許坐標卡之間的一一對應。證畢。