數學分析筆記（六）——多變數函數的極限與連續

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前言

多變數函數的極限與連續的結論與單變數的情形是類似的，幾乎是直觀的推廣.

引入度量空間，緊集等拓撲學中的概念會更清晰、方便地描述 $mathbb R^n$ 中的情況.在這裡，很多證明甚至只需把單變數情形中的 $|x_1-x_2|$ 和 $|f(x_1)-f(x_2)|$

改寫為 $d(x_1,x_2)$ 和 $d(f(x_1),f(x_2))$ 即可，因此在證明上會做適當省略.

除定義部分外，本文的命題、定理主要分為兩部分

第一部分作為鋪墊，主要介紹度量空間、開集/閉集、緊集相關的性質和一些命題.
第二部分正式介紹多變數函數的極限與連續：

極限部分包括和振幅相關的極限存在的一個充要條件，再就是複合映射的極限.
連續函數部分包括連續函數的局部性質和整體性質.

1. 定義

用 $mathbb R^m$ 表示由 $m$ 個實數 $x^iinmathbb R (i=1,cdots,m)$ 組成的所有有序數組的集合.
每個這樣的有序數組用 $x$ 表示，即 $x=(x^1,cdots,x^m)$ ，稱它為 $mathbb R^m$ 中的點.其中的 $x^i$ 稱為 $x$ 的第 $i$ 個坐標.

若定義在集合 $X$ 的元素對 $(x_1,x_2)$ 上的函數 $d$ 具有如下性質，

$d(x_1,x_2)geqslant 0$
$d(x_1,x_2)=d(x_2,x_1)$
$d(x_1,x_3)leqslant d(x_1,x_2)+d(x_2,x_3)$

則稱它為 $X$ 中的度量或距離.（最常用的就是：按 $d(x_1,x_2)=sqrt{sum_{i=1}^m(x_1^i-x_2^i)^2}$ 定義函數 $d:mathbb R^m imesmathbb R^m ightarrowmathbb R$ ）

集合 $X$ 連同其確定的距離共同被稱為度量空間.
設 $delta>0$ ，稱集合 $B(a;delta):={xinmathbb R^m|d(a,x)<delta}$ 為以 $a$ 為中心， $delta$ 為半徑的球，或點 $ainmathbb R^m$ 的 $delta$ 鄰域.
$mathbb R^m$ 中，包含給定點的開集，稱為這個點在 $mathbb R^m$ 中的鄰域.
對於集合 $Gsubsetmathbb R^m$ ，如果對於任一點 $xin G$ ，存在一個球 $B(a;delta)$ ，使得 $B(a;delta)subset G$ ，則稱 $G$ 為 $mathbb R^m$ 中的開集.
對於集合 $Fsubsetmathbb R^m$ ，如果它在 $mathbb R^m$ 中的余集 $G=mathbb R^msetminus F$ 是 $mathbb R^m$ 中的開集，則稱 $F$ 為 $mathbb R^m$ 中的閉集.

設點 $xinmathbb R^m,Esubsetmathbb R^m.$

如果點 $x$ 連同它的某個鄰域都含在 $E$ 中，則稱 $x$ 是 $E$ 的內點.
如果點 $x$ 是 $E$ 在 $mathbb R^m$ 中的余集的內點，則稱 $x$ 是 $E$ 的外點.
如果 $x$ 既不是 $E$ 的內點也不是 $E$ 的外點，則稱 $x$ 是 $E$ 的邊界點.
如果點 $ainmathbb R^m$ 的任一鄰域 $O(a)$ 與 $Esubsetmathbb R^m$ 的交集 $Ecap O(a)$ 都是無限集，則稱點 $a$ 為集合 $E$ 的極限點.

集合 $Esubsetmathbb R^m$ 和它所有極限點組成的集合的並集，稱為 $E$ 在 $mathbb R^m$ 中的閉包，記作 $ar E.$
對於 $Ksubsetmathbb R^m$ ，如果從任意由 $mathbb R^m$ 中的開集構成K的覆蓋當中，總能選出有限覆蓋，則稱 $K$ 為緊集.
$mathbb R^m$ 中的區間是指集合 $I={xinmathbb R^m|a^ileqslant x^ileqslant b^i,i=1,cdots,m}$ ，也叫做 $m$ 維區間， $m$ 維長方體， $m$ 維平行多面體.
對於集合 $Esubsetmathbb R^m$ ，量 $d(E):=sup_{x_1,x_2in E}d(x_1,x_2)$ 稱為集合 $E$ 的直徑.
如果集合 $Esubsetmathbb R^m$ 的直徑是有限數，則稱 $E$ 為有界集.

如果對於點 $Ainmathbb R^n$ 的任一鄰域 $V(A)$ ， $X$ 中的基 $mathcal B$ 以及映射 $f:X ightarrowmathbb R^n$ ：存在 $Binmathcal B$ 使得 $f(B)subset V(A)$ ，則點 $A$ 稱為映射 $f$ 關於基 $mathcal B$ 的極限.

即 $(lim_{mathcal B}f(x)=A):=(forall V(A)exists Binmathcal B(f(B)subset V(A))).$
也可寫成 $(lim_{mathcal B}f(x)=Ainmathbb R^n):=(forallvarepsilon>0exists Binmathcal Bforall xin B(d(f(x),A)<varepsilon)).$
或 $(lim_{mathcal B}f(x)=Ainmathbb R^n):=(lim_{mathcal B}d(f(x),A)=0).$

對於映射 $f:X ightarrowmathbb R^n$ ，如果集合 $f(X)subsetmathbb R^m$ 在 $mathbb R^m$ 中有界，則稱 $f$ 為有界映射.
對於映射 $f:X ightarrowmathbb R^n$ 以及 $X$ 中的基 $mathcal B$ ，如果存在 $Binmathcal B$ 使得 $f$ 在 $B$ 中有界，則 $f$ 被稱為對基 $mathcal B$ 最終有界映射.
對於點列 ${y_k}$ ，其中 $kinmathbb N，y_kinmathbb R^n$ ，如果對任意的 $varepsilon>0$ ，存在 $Ninmathbb N$ ，使對任意的 $k_1,k_2>N$ 有 $d(y_{k_1},y_{k_2})<varepsilon$ ，則稱 ${y_k}$ 是基本點列.
對於一個度量空間，如果其中的每個基本列都有極限，則稱它為完備度量空間.
設 $Esubset X$ ，那麼量 $omega(f;E):=d(f(E))$ 稱為函數 $f:X ightarrowmathbb R^n$ 在 $E$ 上的振幅.其中 $d(f(E))$ 為集合 $f(E)subsetmathbb R^n$ 的直徑.

對於函數 $f:E ightarrowmathbb R^n$ ，以及點 $ain E$ ，如果對於函數值 $f(a)$ 的任意鄰域 $V(f(a))$ ，存在點 $a$ 在 $E$ 中的鄰域 $U_E(a)$ ，使得 $f(U_E(a))subset V(f(a))$ ，就稱 $f$ 在點 $a$ 處連續.

即 $(f:E ightarrowmathbb R^n在ain E連續):=forall V(f(a))exists U_E(a)(f(U_E(a))subset V(f(a))).$
也可寫成 $(f:E ightarrowmathbb R^n在ain E連續):=(forallvarepsilon>0existsdelta>0forall xin E (d(x,a)<deltaRightarrow d(f(x),f(a))<varepsilon)).$
或 $(f:E ightarrowmathbb R^n在ain E連續):=(lim_{E i x ightarrow a}f(x)=f(a)).$

若函數 $f:E ightarrowmathbb R^n$ 在集合 $E$ 的每一點連續，則稱 $f$ 在 $E$ 上連續.
集合 $E$ 上的連續函數 $f:E ightarrowmathbb R^n$ 的集合記作 $color{red}{C(E;mathbb R^n)}$ ，若無歧義，簡記為 $color{red}{C(E)}$ .
$omega(f;a):=lim_{r ightarrow+0}omega(f;B_E(a;r))$ 被稱為函數 $f:E ightarrowmathbb R^n$ 在點 $ain E$ 處的振幅.
$Isubsetmathbb R$ 是一個區間，函數 $f^1(x),cdots,f^n(x)$ 在 $I$ 上連續，則稱由 $xmapsto y=(y^1,cdots,y^n)=(f^1(x),cdots,f^n(x))$ 定義的映射 $f:I ightarrowmathbb R^n$ 為 $mathbb R^n$ 中的道路.
對於從集合 $Esubsetmathbb R^m$ 到 $mathbb R^n$ 中的映射 $f$ ，如果對任意的 $varepsilon>0$ 存在 $delta>0$ ，對任意使 $d(x_1,x_2)<delta$ 的 $x_1,x_2in E$ ，有 $d(f(x_1),f(x_2))<varepsilon$ ，則稱 $f$ 是 $E$ 上的一致連續映射.
如果對於 $Esubsetmathbb R^m$ 中任意一對點 $x_0,x_1$ ，總存在一條以 $x_0,x_1$ 為端點的道路 $Gamma:I ightarrow E$ ，且它的承載子在 $E$ 中，就說集合 $E$ 是道路連通的.（暫時稱道路連通集為連通集）
空間 $mathbb R^m$ 中的開連通集為 $mathbb R^m$ 中的區域.

2. 重要的結論和定理

2.1 關於空間 $mathbb R^m$

命題 1

設 ${G_alpha,alphain A}$ 是 $mathbb R^m$ 中任意多個開集構成的集族，則它的並集 $igcup_{alphain A}G_alpha$ 是 $mathbb R^m$ 中的開集.

$xinigcup_{alphain A}G_alpha$ 意味著存在 $alpha_0in A$ 使 $xin G_{alpha_0}$ ，那麼就有 $B(x;delta)subset G_{alpha_0}$ ，即 $B(x;delta)subsetigcup_{alphain A}G_alpha$ .

$mathbb R^m$ 中有限多個開集的交集 $igcap_{i=1}^nG_i$ 是 $mathbb R^m$ 中的開集.

設 $delta_1,cdots,delta_n$ 都可使 $B(x;delta_i)subset G_i(i=1,cdots,n)$ ，那麼令 $delta=min{delta_1,cdots,delta_n}$ 即可滿足 $delta>0$ 且 $B(x,delta)subsetigcap_{i=1}^n G_i$ .

設 ${F_alpha,alphain A}$ 是 $mathbb R^m$ 中任意多個閉集構成的集族，則它的交集 $igcap_{alphain A}F_alpha$ 是 $mathbb R^m$ 中的閉集.

$igcap_{alphain A}F_alpha$ 的余集 $CBig(igcap_{alphain A}F_alphaBig)=igcup_{alphain A}(CF_alpha)=igcup_{alphain A}G_alpha$ .其中 $G_alpha=CF_alpha$ ，那麼由本系列命題的第一個斷語即可得結論.

$mathbb R^m$ 中有限多個閉集的並集 $igcap_{i=1}^nF_i$ 是 $mathbb R^m$ 中的閉集.

注意到 $CBig(igcup_{i=1}^nF_iBig)=igcap_{i=1}^n(CF_i)=igcap_{i=1}^nG_i$ .由第二個斷語即可得結論.

命題 2

（ $F$ 是 $mathbb R^m$ 中的閉集） $Leftrightarrow$ （在 $mathbb R^m$ 中有 $F=ar F$ ）.

即 $F$ 是 $mathbb R^m$ 中的閉集當且僅當 $F$ 含有其所有的極限點

證
充分性
設 $F$ 是 $mathbb R^m$ 中的閉集，並設 $xinmathbb R^m,x otin F$ .這時，開集 $G=mathbb R^msetminus F$ 是 $x$ 的鄰域，但它不含 $F$ 的點.即：若 $x otin F$ 則 $x$ 不是 $F$ 的極限點.

必要性
設 $F=ar F$ .只需證 $G=mathbb R^msetminusar F$ 是開集.如果 $xin G$ ，則 $x otinar F$ ，那麼 $x$ 既不是 $F$ 的極限點也不是 $F$ 的點.那麼就存在 $x$ 的一個鄰域 $O (x)$ 不含 $F$ 的點，即 $O(x)subsetmathbb R^msetminus F$ （注意這對每一個 $xin G$ 都適用），意味著 $R^msetminus F=mathbb R^msetminusar F=G$ 是開集，由定義， $F$ 是 $mathbb R^m$ 中的閉集.

命題 3

$m$ 維區間是 $mathbb R^m$ 中的緊集.

證明的手段和有限覆蓋定理如出一轍.

命題 4

若 $K$ 是 $mathbb R^m$ 中的緊集，則

$K$ 是 $mathbb R^m$ 中的閉集.

即證明 $K$ 的任一極限點 $ainmathbb R^m$ 都屬於 $K$ .利用反證法，假設 $a otin K$ ，那麼對每個點 $xin K$ 可對 $x,a$ 分別取一鄰域 $G_i(x),O_i(a)$ ，且二者不相交.注意到 $K$ 是緊集，那麼可以找到有限個 $x$ ，它們鄰域之並覆蓋 $K$ ，那麼相應地，可以找到相同數目的 $O_i(a)$ 分別與這些 $G_i(x)$ 不交，設 $O(a)=igcap_{i=1}^nO_i(a)$ 是這些鄰域的並，那麼有 $Kcap O(a)=varnothing$ .這意味著 $a$ 不是 $K$ 的極限點，與假設矛盾.

$K$ 的任何閉子集都是緊集.

設 $F$ 是 $K$ 中的閉集，設 ${G_alpha}$ 是覆蓋 $F$ 的開集族，它與 $G=mathbb R^msetminus F$ 構成了 $mathbb R^m$ 的覆蓋，當然也覆蓋著 $K$ ，那麼就可以選出 $K$ 的有限覆蓋，這個有限覆蓋當然也覆蓋著 $F$ .因為 $Gcap F=varnothing$ ，所以 $G$ 屬於 $K$ 的有限覆蓋，那麼去掉 $G$ 之後，這個有限依然可以覆蓋 $F$ .

命題 5

如果 $K$ 是 $mathbb R^m$ 中的緊集，則 $K$ 是 $mathbb R^m$ 中的有界集.

對於 $ainmathbb R^m$ ，考察度量空間中的球 $B(a;n)$ ，若 $K$ 無界，則無法覆蓋 $K$ .

命題 6

集合 $Ksubsetmathbb R^m$ 是緊集，當且僅當 $K$ 是 $mathbb R^m$ 中的有界閉集.

證明提要：
必要性前述已證.
至於充分性，由於 $K$ 是有界集，則可找到一個 $m$ 維區間 $I$ 來包含 $K$ ，由於已證明 $m$ 維空間 $I$ 是緊集，根據命題 4的第二個斷語， $K$ 是緊集.

2.2 關於極限與連續

定理 1

設 $X$ 是一個集合， $mathcal B$ 是 $X$ 中的基，函數 $f:X ightarrowmathbb R^n$ 關於基 $mathcal B$ 有極限，當且僅當對於任意的 $varepsilon>0$ ，存在 $Binmathcal B$ 使 $f$ 在 $B$ 上的振幅小於 $varepsilon$ .

即 $existslim_mathcal Bf(x)Leftrightarrowforallvarepsilon>0exists Binmathcal B(omega(f;B)<varepsilon).$

定理 2

設 $Y$ 是集合， $mathcal B_Y$ 是Y中的基，映射 $g:Y ightarrowmathbb R^n$ 關於基 $mathcal B_Y$ 有極限.
設 $X$ 是集合， $mathcal B_X$ 是 $X$ 中的基， $f:X ightarrow Y$ 是從 $X$ 到 $Y$ 的映射，且對於任意的 $B_Yinmathcal B_Y$ ，存在 $B_Xinmathcal B_X$ ，使得 $f(B_X)subset B_Y$ .

在這些條件下，映射 $f$ 與 $g$ 的複合映射 $gcirc f:X ightarrowmathbb R^n$ 關於基 $mathcal B_X$ 有極限，且 $lim_{mathcal B_X}(gcirc f)(x)= lim_{mathcal B_Y}g(y)$ .

這兩個定理就是 $mathbb R$ 情形的直接推廣.

連續函數局部性質

映射 $f:E ightarrowmathbb R^n$ 在點 $ain Esubsetmathbb R^n$ 連續當且僅當 $omega(f;a)=0$ .
在點 $ain E$ 連續的映射 $f:E ightarrowmathbb R^n$ 在此點的某個鄰域 $U_E(a)$ 內有界.
若集合 $Ysubsetmathbb R^n$ 上的映射 $g:Y ightarrowmathbb R^k$ 在點 $y_0in Y$ 連續；集合 $Xsubset mathbb R^m$ 上的映射 $f:X ightarrow Y$ 在點 $x_0in X$ 連續，且 $f(x_0)=y_0$ .則映射 $gcirc f:X ightarrowmathbb R^k$ 存在，且在 $x_0$ 連續.

對於實值函數，還有

若函數 $f:E ightarrowmathbb R$ 在點 $ain E$ 連續，且 $f(a)>0(f(a)<0)$ ，則存在點 $a$ 在 $E$ 中的鄰域 $U_E(a)$ 使得對一切 $xin U_E(a)$ 有 $f(x)>0(f(x)<0)$ .
若函數 $f:E ightarrowmathbb R$ 和函數 $g: E ightarrowmathbb R$ 在點 $ain E$ 連續，則它們的

線性組合 $(alpha f+eta g):E ightarrowmathbb R$ （其中 $alpha,etainmathbb R$ ）
乘積 $(fcdot g):E ightarrowmathbb R$
商 $Big(frac{f}{g}Big):E ightarrowmathbb R$ （其中 $g(x) e 0,xin E$ ）

都在點 $a$ 處連續.

連續函數整體性質

若映射 $f:K ightarrowmathbb R^n$ 在緊集 $Ksubsetmathbb R^m$ 上連續，則它在 $K$ 上一致連續.
若映射 $f:K ightarrowmathbb R^n$ 在緊集 $Ksubsetmathbb R^m$ 上連續，則它在 $K$ 上有界.
若函數 $f:K ightarrowmathbb R$ 在緊集 $Ksubsetmathbb R^m$ 上連續，則它在 $K$ 上具有最大、最小值.
若函數 $f:E ightarrowmathbb R$ 在連通集 $E$ 上連續，且 $f$ 在 $a,bin E$ 處有 $f(a)=A,f(b)=B$ ，則對於 $A,B$ 之間任意的數 $C$ ，存在點 $cin E$ ，使 $f(c)=C$ .

對於前三者的證明，引入度量空間的理論即可類似於單變數數值函數的情形來完成.
對於4.
證
設 $Gamma:I ightarrow E$ 是 $E$ 中的道路， $I=[alpha,eta]subsetmathbb R$ ，設 $Gamma(alpha)=a，Gamma(eta)=b$ ,並且 $Gamma$ 是 $I$ 上的連續映射.
由於 $E$ 是連通集，該道路存在，那麼函數 $fcircGamma:I ightarrowmathbb R$ 也是連續的，因此存在 $gammain[alpha,eta]$ ，可使 $fcircGamma(gamma)=C$ .現只需令 $c=Gamma(gamma)$ 即符合結論要求.