【CFT02】R^d上的共形群

08-25

【CFT02】R^d上的共形群

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上一篇：【CFT01】度規初步

本文主要參考Paul Ginsparg的應用共形場論教材[1]和Plauschinn的共形場論教材[2]。

我們先對上一篇【CFT01】度規初步做一些補充說明。在上一篇中對符號 $mathrm dx$ 的理解我們僅限於物理上的微元 $Delta x$ ，現在需要一個數學上的嚴格定義——這需要引入餘切空間的定義。

考慮線性空間 $V$ （和度規 $G$ ），定義其對偶空間（dual space） $V^*$ 為 $V$ 到 $mathbb R$ 的所有線性泛函，其也是一個線性空間，運算定義為 $(f+g)(x)=f(x)+g(x), (kf)(x)=kf(x)$ 。我們考慮有限維的情形，對於 $V$ 上有一組基 ${e_1,cdots, e_n}$ ，則定義 $V^*$ 上的一組基 ${ e^1,cdots, e^n}$ 滿足：

$e^i(e_j):=delta^i_j$

（線性泛函只取決於基的取值，即 $e^ileft(sum_{j=1}^nc_je_j ight)=c_i$ ）。另外由於 $V$ 和 $V^*$ 是同構的，我們希望找到 $xin V$ 與 $e^iin V^*$ 對應，即 $e^i(cdot)=langle x,cdot angle$ ，這裡雙線性型有定義 $langle x, y angle:=x^ op Gy$ ，其中 $G$ 是度規矩陣。易知考慮基即可，對於 $x=sum_ka_ke_k$ ，有 $langlesum_ka_ke_k,e_j angle=sum_ka_ke_k^ op Ge_j=sum a_k g_{kj}$ ，又由於 $G^{-1}G=1$ 寫成元素形式為 $g^{ik}g_{kj}=delta^i_j$ 故

$e^i=x=g^{ik}e_k ag{*}$

注意到若度規為單位矩陣，有 $e_i$ 和 $e^i$ 一一對應，我們可以把 $e^i$ 看成行向量 ${e_i}^ op$ 且 $e^i(y)=langle e^i,y angle=e_i^ op y$ ；更一般地對於非單位陣的 $G$ 可以把 $e^i$ 看成 $x^ op$ ，即 $e^i(y)=langle x,y angle=x^ op G y$ 。

若對 $V^*$ 再做對偶我們有 $V^{**}$ ，且我們知道 $V$ 和 $V^{**}$ 有典範同構 $au$ ，即 $V^{**}$ 上有一組基 ${ au(e_j)}$ ，其定義為 $au(e_j): V^{**} ightarrow mathbb R, ( au(e_j))(e^i)=e^i(e_j)$ 。仿照上述討論，我們希望將 $au(e_j)$ 寫成 $e^i$ 的一個線性組合——實際上由於典範同構的存在，我們直接將 $au(e_j)$ 視為 $e_j$ ，從而有等式 $e_j=g_{ij}e^i$ 成立（(*)的逆變換）。

考慮流形 $M$ 上每一點 $x$ 有切空間 $mathrm T_xM$ ，其對偶為餘切空間（cotangent space） $mathrm T_x^*(M)$ ，即 $Phiinmathrm T^*_xM$ 其中 $Phi: mathrm T_xM ightarrowmathbb R$ 是線性泛函。由上述討論我們有切空間和餘切空間的一個典範同構，具體為定義餘切空間上的一組基 ${Phi^i}$ 滿足：

P hi^i(partial_j):=delta^i_j ag{2}

我們把 $Phi^i$ 記成 $mathrm dx^i$ ，即 ${mathrm dx^i}$ 為餘切空間上的、和切空間上的由歐氏空間誘導出來的基典範同構的一組基。另外，對於所有流形上在 $p$ 有定義的函數 $f$ 組成的空間，我們考慮其等價類，模掉所有在 $p$ 處一階導相等的函數構成的商空間。對於該空間上的元素 $f$ ，我們用切空間上的元素 $sum_i a_ipartial_i$ 作用（輸入），得到其導數值 $sum_i a_ifrac{partial}{partial x^i}fBig|_x$ （輸出），且此作用是線性的，故這也構成餘切空間的一個定義。我們注意到該商空間可以由函數的一階全微分等價描述，即 $sum_i a_imathrm dx^i$ ，這裡 ${mathrm dx^i}$ 也構成一組基，注意到它們的函數形式可以寫成 $x^j$ ，則代入(**)得

$mathrm dx^i(partial_j)=frac{partial}{partial x^j}x^i=delta^i_j$

這與第一個定義相符。

我們把上述討論限制在流形上，考慮流形上有度量 $G$ ，則(*)可以寫成：

$partial^alpha=g^{alphaeta}partial_eta$

等式的左邊實際上是 $mathrm dx^alpha$ ，這是愛因斯坦求和約定中乘以協變度規上升指標。同理下降指標為逆變換 $partial_alpha=g_{alphaeta}partial^eta$ ，上兩式和 $g^{ik}g_{kj}=delta^i_j$ 是在張量分析中是十分常用的。

現在把流形限制為 $mathbb R^d$ ，則每一點的切空間也都是 $mathbb R^d$ ，切向量也是 $mathbb R^d$ 上的向量。度規簡化為歐幾里得空間中的二次型（quadratic form），即一個二元函數 $g(u,u)=u^ op Gu$ ，其中 $G$ 為非退化的對稱矩陣。我們考慮兩個向量 $v$ 和 $w$ ，則可以定義它們的夾角為

$cos heta=frac{vcdot w}{|v|,|w|}$

這裡內積由度規由二次型定義： $vcdot w=g_{mu u} v^mu w^ u$ ，而長度由對應的線元定義： $|v|=sqrt{g_{mu u} v^mu v^ u}$ 。

在共形場論中，我們現在主要考慮的是 $mathbb R^d$ 和平直度規 $g=eta$ （其特徵向量為 $pm 1$ ），即偽歐幾里得空間 $mathbb R^{p,q}$ （pseudo-Euclidean space）， $(p,q)$ 為度規 $g$ 的符號數，其一個特殊情況 $mathbb R^{3,1}$ 為閔科夫斯基時空（Minkowski space-time）。由於這裡微分流形到歐氏空間的（局部）映射都是 $mathrm{id}$ ，若 $x=(x^mu)$ 是流形的一組（全局）基，則切空間的（全局）基可以被表示為 $(partial_{x^mu})$ ，其中 $partial_{x^mu}(f)Big|_{x}:=partial_{x^mu}f(x)$ ，即沿 $x^mu$ 的方嚮導數，這裡我們為了方便起見考慮 $mathbb R^d$ 上的一組基作為所有鄰域坐標系的局部基。

共形（conformal）也稱保角，共形變換（conformal map）的一個定義就是一些保持角度不變的空間變換：

【共形變換】（全局）共形變換是一個可逆變換 $mathbb R^{p,q} ightarrow mathbb R^{p,q}$ （和 $x ightarrow x$ ），滿足 $g_{mu u}(x) ightarrow g_{mu u}(x)=Omega(x)g_{mu u}(x)$ 。共形變換構成的群叫共形群（conformal group）。

放縮函數 $Omega(x)$ 可以根據點 $x$ 的變化而變化。我們知道對於坐標變換 $x ightarrow x$ 有全微分公式 $mathrm dx^mu=mathrm d(x^mu(x^alpha))=frac{partial x^mu}{{partial x^alpha}}mathrm dx^alpha$ 。那麼對於線元素代入上式我們有：

$mathrm ds^2=g_{alphaeta}mathrm dx^alphamathrm dx^eta=g_{mu u}mathrm dx^mumathrm dx^ u=g_{mu u}frac{partial x^mu}{partial x^alpha}frac{partial x^ u}{partial x^eta}mathrm dx^alphamathrm dx^eta$ 即共形變換滿足

$g_{mu u}frac{partial x^mu}{partial x^alpha}frac{partial x^ u}{partial x^eta}=Omega(x)g_{alphaeta}(x) ag{1}$

實際上，這是我們上一篇推過的度規的坐標變換 $left[frac{partial (x)}{partial (x)} ight]^ op G[x]left[frac{partial (x)}{partial (x)} ight]=G[x]$ 的元素形式，再代入共形變換得共形變換的矩陣描述：

$left[frac{partial (x)}{partial (x)} ight]^ op G[x]left[frac{partial (x)}{partial (x)} ight]=Omega(x)G[x] ag{2}$

我們現在證明共形變換保持角度不變。下面考慮兩條相交的曲線 $x_1(t)$ 和 $x_2(t)$ ，在交點處分別有切向量 $v_i^mu=frac{mathrm dx_i^mu}{dt}, iin{1,2}$ ，它們經過變換 $x ightarrow x$ 之後得到兩個新的向量 $v_i^mu=frac{mathrm dx^mu(x_i)}{dt}=frac{partial x^mu(x_i)}{partial x^gamma}frac{mathrm dx_i^gamma}{mathrm dt}=frac{partial x^mu}{partial x^gamma}v_i^gamma$ ，則可求得它們的內積為 $v_1cdot v_2= g_{mu u}v_1^mu v_2^ u=g_{mu u}frac{partial x^mu}{partial x^alpha}v_1^alphafrac{partial x^ u}{partial x^eta}v_2^eta=Omega(x)g_{alphaeta}v_1^alpha v_2^eta=Omega(x)v_1cdot v_2$ ，故角度 $vcdot w/|v|,|w|$ 在此變換下保持不變。反之，保角的變換一定是共形變換。我們總可以選擇正交規範基 $mathbf e$ （或 $mathbf e$ ）使得度規 $G[mathbf e]$ （或 $G[mathbf e]$ ）是對角陣，則問題變成了找保角的對角陣——即單位陣的倍數，否則考慮兩個正交規範基向量 $mathbf e_1,mathbf e_2$ ，用一個非單位陣的對角陣作用於它們，即將它們拉伸不同的倍數得 $amathbf e_1$ 和 $bmathbf e_2$ ，則 $frac{amathbf e_1cdot(amathbf e_1+bmathbf e_2)}{|amathbf e_1|,|amathbf e_1+bmathbf e_2|}=frac{1}{sqrt{1+(b/a)^2}} e frac{1}{sqrt{2}}=frac{mathbf e_1cdot(mathbf e_1+mathbf e_2)}{|mathbf e_1|,|mathbf e_1+mathbf e_2|}$ 。據此我們可以很方便地驗證共形變換構成群：易知存在單位元與逆元，映射的複合符合結合律，又知兩個共形變換的複合仍然保持角度不變，故運算封閉

洛倫茲群（Lorentz group）就是一個特殊的共形群，其定義是閔氏空間上保持原點不變的等距同構，即 $mathrm O(3,1)$ ；若考慮一般的等距同構，龐加萊群（Poincare group），即洛倫茲群和平移群的一個半直積 $mathbb R^{3,1} timesmathrm{O}(3,1)$ ，也是 $mathbb R^{3,1}$ 上的一個共形群，由於它們都保持了度規不變 $G=G$ 。

接下來我們考慮一個特殊情況：光滑（至少是一階可微）的、「相似」於單位變換的共形變換（即單位變換加上一個微擾），寫成無窮小坐標變換 $x^ ho=x^ ho+epsilon^ ho(x)+O(epsilon^2)$ ，其中 $epsilon(x)ll1$ 。考慮平直度規 $g=eta$ ，注意到 $epsilon_mu=eta_{mu u}epsilon^ u$ ，代入(1)左邊得

$egin{align} eta_{alphaeta}frac{partial x^alpha}{partial x^mu}frac{partial x^eta}{partial x^{ u}}&=eta_{alphaeta}left(delta^alpha_mu+frac{partialepsilon^alpha}{partial x^mu}+mathrm O(epsilon^2) ight)left(delta_ u^eta+frac{partialepsilon^eta}{partial x^ u}+mathcal O(epsilon^2) ight)\ &=eta_{mu u}+eta_{mueta}frac{partial epsilon^eta}{partial x^ u}+eta_{eta u}frac{partial epsilon^eta}{partial x^mu}+mathcal O(epsilon^2)\ &=eta_{mu u}+left(frac{partial epsilon_mu}{partial x^ u}+frac{partial epsilon_ u}{partial x^mu} ight)+mathcal O(epsilon^2) end{align}$

採用記號 $partial_{mu}:=partial/partial_{x^mu}$ ，則(1)化簡得 $partial_muepsilon_ u+partial_ uepsilon_mu=(Omega(x)-1)eta_{mu u}$ 。對上式兩邊乘以 $eta^{mu u}$

再求跡（即 $sum_{mu= u}$ ，這個步驟又叫收縮 $mu$ 和 $u$ ）得

$eta^{mu u}(partial_muepsilon_ u+partial_ uepsilon_mu)=(Omega(x)-1)eta^{mu u}eta_{mu u}Rightarrow 2(partialcdotepsilon)=(Omega(x)-1)d$

其中 $d=p+q$ 為偽歐幾里得空間的維度。故放縮係數為 $Omega(x)=1+frac{2}{d}(partialcdotepsilon)+mathcal O(epsilon^2)$ ，代入原式得

$partial_muepsilon_ u+partial_ uepsilon_mu=frac{2}{d}(partialcdotepsilon)eta_{mu u} ag{3}$

下面我們稍微處理一下上式。對(3)兩邊用 $partial_ ho$ 作用並置換標號得

$partial_ hopartial_muepsilon_ u+partial_ hopartial_ uepsilon_mu=partial_ hofrac{2}{d}(partialcdotepsilon)eta_{mu u}\ partial_ hopartial_ uepsilon_mu+partial_ upartial_muepsilon_ ho=partial_ ufrac{2}{d}(partialcdotepsilon)eta_{mu ho}\ partial_ hopartial_muepsilon_ u+partial_ upartial_muepsilon_ ho=partial_mufrac{2}{d}(partialcdotepsilon)eta_{ u ho}$

下兩式相加減去第一式得

$2partial_mupartial_ uepsilon_ ho=frac{2}{d}(-eta_{mu u}partial_ ho+eta_{ homu}partial_ u+eta_{ u ho}partial_mu)(partialcdotepsilon) ag{4}$

收縮 $mu$ 和 $u$ 得

$2squareepsilon_ ho=(2-d)partial_ hofrac{2}{d}(partialcdotepsilon) ag{5}$

其中 $square:=partial^mupartial_mu$ 是達朗貝爾運算元（dAlembert operator）。再者，我們對(4)兩邊用 $partial_ u$ 作用得

$2squarepartial_ uepsilon_ ho=(2-d)partial_ upartial_ hofrac{2}{d}(partialcdotepsilon) ag{6}$

對(3)兩邊用達朗貝爾運算元作用並聯立(6)得

$(eta_{ u ho}square+(d-2)partial_ upartial_ ho)(partialcdotepsilon)=0$

最後收縮 $u$ 和 $ho$ 得

$(d-1)square(partialcdotepsilon)=0 ag{8}$

我們分析不同的維度 $d$ 。當 $d=1$ 時，所有變換都是平凡的（因為沒有角度）。考慮 $dge 3$ ，對(4)用 $partial_lambda$ 作用並聯立(8)得 $partial_lambdapartial_mupartial_ uepsilon_ ho=0$ ，故 $epsilon$ 是一個關於 $x$ 的、最高為二次的多項式，即可以寫出擬設（ansatz）：

$epsilon_mu=a_mu+b_{mu u}x^ u+c_{mu u ho}x^ u x^ ho$

下面分情況討論：

$epsilon_mu=a_mu$ 。這時共形變換為一個無窮小的平移（translation） $x^mu=x^mu+a^mu=(1+ia^ ho P_ ho)x^mu$ ，其中 $P_ ho=-ipartial_mu$ 是量子力學中的動量運算元（momentum operator）。
$epsilon_mu=b_{mu u}x^ u$ 。我們把擬設代入(3)得 $b_{ umu}+b_{mu u}=2b^ ho_{ ho}eta_{mu u}/d$ ，觀察得 $b$ 可以分成對稱和反對稱兩部分即 $b_{mu u}=alphaeta_{mu u}+m_{mu u}$ ，其中 $alpha=2b^ ho_ ho/d$ 和 $m_{mu u}=-m_{mu u}$ 。對於對稱得部分我們說這是一個擴張（dilatation） $x^mu=(1+alpha)x^mu$ ，而反對稱部分我們說這是一個旋轉（rotation） $x^mu=x^mu+m_{mu u}x^ u=(delta^mu_ u+m^mu_ u)x^ u$ 。若定義生成元 $D=-ix^mupartial_mu$ 和角動量運算元（angular momentum operator） $L_{ hosigma}=i(x_ hopartial_sigma-x_sigmapartial_ ho)$ 則變換可以寫成 $x^mu=(1+ialpha D+frac{i}{2}m_{ hosigma}L^{ hosigma})x^mu$ 。
$epsilon_mu$ 只有二次項。將擬設代入(4)得 $c_{mu u ho}=eta_{mu ho}h_{ u}+eta_{mu u}h_{ ho}-eta_{ u ho}h_mu$ 其中 $h_mu=c^ ho_{, homu}/d$ 。容易驗證， $epsilon$ 能夠表示為 $epsilon^ ho=2x^ ho(hcdot x)-h^ ho(xcdot x)$ ，故 $x^mu=x^mu+2(xcdot h)x^mu-(xcdot x)h^mu=(1+ih^ ho K_ ho)x^mu$ ，對應的生成元為 $K_mu=-i(2x_mu x^ upartial_mu-(xcdot x)partial_mu)$ ，我們稱這個變換為特殊共形變換（Special Conformal Transformation）。另外注意到這個變換也可以寫成 $frac{x^mu}{xcdot x}=frac{x^mu}{xcdot x}-h^mu$ ，故SCT也可以被看成是先求逆再平移再求逆。

對以上的所有變換求積分我們得到三種有限共形變換：

龐加萊群，此時 $Omega=1$ ： $x ightarrow x+a, x ightarrow Lambda x, Lambdainmathrm{O}(p,q)$ ；
擴張，此時 $Omega =lambda^{-2}$ ： $x ightarrow lambda x$
和SCT，此時 $Omega = (1+2hcdot x+h^2x^2)^2$ ： $x ightarrow frac{x+hx^2}{1+2hcdot x+h^2x^2}$

參考文獻：

[1]: Ginsparg, Paul. "Applied conformal field theory."arXiv preprint hep-th/9108028(1988).

[2]: Plauschinn, Erik. "Introduction to conformal field theory: with applications to string theory." (2009).