PBRT-E2.1-坐標系統

08-24

PBRT-E2.1-坐標系統

來自專欄 Way On PBRT1 人贊了文章

在PBRT中出現的三維的點，向量以及法向量都可以用三個坐標值進行表示： $x$ 、 $y$ 和 $z$ 。坐標值只有在一個坐標系統（Coordinate system）下才有意義，一個坐標系統是由原點以及三個線性獨立的向量構成。原點以及這三個線性獨立的向量稱作是這個坐標系統的標架（Frame），也就是我們所說的坐標軸。

一般在 $n$ 維的情況下，一個標架的原點和 $n$ 個線性無關的基向量定義了一個 $n$ 維的仿射空間（Affine space）。

給定一組基向量 $mathbf{v}_{i}$ ，則該空間內所有的向量 $mathbf{v}$ 都能表示為基向量的線性組合，線性組合的係數為 $s_{i}$ ：

$mathbf{v} = s_{1}mathbf{v}_{1} + dots + s_{n}mathbf{v}_{n}$

係數 $s_{i}$ 則為向量 $mathbf{v}$ 的每一個分量，即 $mathbf{v} = (s_{1},...,s_{n})$ 。

而該空間內的所有頂點 $mathbf{p}$ 則是通過原點 $mathbf{p}_{0}$ 和基向量 $mathbf{v}_{i}$ 的線性組合進行表示的：

$mathbf{p} =mathbf{p}_{0}+ s_{1}mathbf{v}_{1} + dots + s_{n}mathbf{v}_{n}$

係數 $s_{i}$ 則為頂點 $mathbf{p}$ 的每一個分量，即 $mathbf{p} = (s_{1},...,s_{n})$ 。

這樣看來雖然三維空間內的點和向量都能夠由 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 進行表示，但是其在數學上是不同的實體，並不能夠自由地相互轉換。

一個矛盾之處在於：為了定義一個標架我們需要點和一系列地向量，而它們又只在特定的標架下才有意義。因此我們定義了一個標準標架（Standard frame），其原點的坐標為 $(0,...,0)_{n}$ ， $n$ 個基向量為 $(1,0,0,...,0)_{n}$ 、 $(0,1,0,...,0)_{n}$ 、 $(0,0,1,...,0)_{n}$ 和 $(0,0,0,...,1)_{n}$ 。其它的標架都會定義在典範坐標系統（Canonical coordinate system）下，這就是所謂的世界空間（World space）。

坐標系的手性

在三維空間下，坐標軸有以下兩種排布方式：

（左圖）左手系 Left-handed；（右圖）右手系 Right-handed

PBRT中使用的是左手系。