傅里葉系列（二）傅里葉變換的推導

08-24

傅里葉系列（二）傅里葉變換的推導

來自專欄遊戲編程隨筆6 人贊了文章

關於傅里葉級數的推導詳見：

ElPsyConGree：傅里葉級數的數學推導

我們先把傅里葉級數轉換為指數形式：

三角函數形式：

$egin{equation} egin{split} f(t) &=frac{a_{0}}{2}+sum_{n=1}^{infty}{[a_{n}cos(nomega t)+b_{n}sin(nomega t)]} end{split} end{equation} ag{1}$

$egin{align} &a_{0}=frac{2}{T}int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt ag{2} \ &a_{n}=frac{2}{T}int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)cos(nomega t)dt ag{3} \ &b_{n}=frac{2}{T}int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)sin(nomega t)dt ag{4}\ end{align}$ 代入歐拉公式：

$e^{i heta}=cos( heta)+isin( heta)$

可以變形為：

$cos( heta)=frac{e^{i heta}+e^{-i heta}}{2}$

$sin( heta)=frac{e^{i heta}-e^{-i heta}}{2i}=-icdot frac{e^{i heta}-e^{-i heta}}{2}$

將 $sin( heta)$ 、 $cos( heta)$ 代入傅里葉級數求得：

$egin{align} f(t)&=frac{a_{0}}{2}+sum_{n=1}^{infty}{[a_{n}frac{e^{inomega t}+e^{-inomega t}}{2}-ib_{n}frac{e^{inomega t}-e^{-inomega t}}{2}]} \ &=frac{a_{0}}{2}+sum_{n=1}^{infty}{[frac{a_{n}-ib_{n}}{2}e^{inomega t}+frac{a_{n}+ib_{n}}{2}e^{-inomega t}]} ag{5}\end{align}$

將(2)、(3)、(4)代入得：

$egin{align} frac{a_{n}-ib_{n}}{2}&=frac{1}{T}[int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)cos(nomega t)dt-iint_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)sin(nomega t)dt]\ &=frac{1}{T}int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)[cos(nomega t)-isin(nomega t)]dt\ &=frac{1}{T}int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)[frac{e^{inomega t}+e^{-inomega t}}{2}-icdot (-i)cdot frac{e^{inomega t}-e^{-inomega t}}{2}]dt\ &=frac{1}{T}int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-inwt}dt\ end{align}$

同理可得： $frac{a_{n}+ib_{n}}{2}=frac{1}{T}int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{inwt}dt$

將兩式代入到(5)中解得：

$egin{align} f(t)&=frac{1}{T}int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt+frac{1}{T}sum_{n=1}^{infty}{[int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-inwt}dtcdot e^{inomega t}+int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{inwt}dtcdot e^{-inomega t}]}\ &=frac{1}{T}int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt+frac{1}{T}sum_{n=1}^{infty}{int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-inwt}dtcdot e^{inomega t}}+ frac{1}{T}sum_{n=-infty}^{-1}int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-inwt}dtcdot e^{inomega t}\ &=frac{1}{T}sum_{n=-infty}^{+infty}int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-inwt}dtcdot e^{inomega t ag{6}}\ end{align}$

(注意當 $n=0$ 時： $frac{1}{T}int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-inwt}dt cdot e^{inwt}=frac{1}{T}int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt$ )

令 $c_{n}=frac{1}{T}int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-inwt}dt$ 公式(6)簡化為： $f(t)=sum_{-infty}^{+infty}{c_n}cdot e^{inwt}$

公式（6）為傅里葉級數的指數形式

極限求得傅里葉變換

頻率的定義：在一定時間 $T_{0}$ 內，一個函數完成周期的次數的倒數。

即： $omega=frac{1}{frac{T_{0}}{T}}=frac{T}{T_{0}}$ (T為原函數的周期)

比如 $sin t$ ，我們令 $T_{0}=pi$ 則函數完成的周期數為 0.5，頻率為2。而如果令 $T_{0}=2pi$ 則周期為1，頻率為1。

而傅里葉變換很有趣，定義： $T_{0}=ncdot 2pi quad(nin Z and n ightarrow +infty)$ ,此時歐拉公式

$e^{it}=cos(t)+isin(t)$ 頻率為 $omega_{0}=lim_{n ightarrow +infty}{ frac{2pi}{2pi cdot n}}=frac{1}{n}= 0 quad (nin Z)$ 。

然後我們來仔細研究下公式(6)

$f(t)=frac{1}{T}sum_{n=-infty}^{+infty}int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-inwt}dtcdot e^{inomega t} ag{6}$

提取 $sum_{n=-infty}^{+infty}int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-inwt}dt$ 由傅里葉變換的周期定義中有 $omega ightarrow 0$ （記住因為n為正整數所以積分不是緻密的，比如分母是個無限不循環小數。所以一定是黎曼不可積，但是卻是勒貝格可積，因為點數是可數的），於是這個公式就變成了微積分公式的累加形式，我們設 $omega _{x}=nomega$ 則在 $int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-iw_{x}}dt$ 中因為變數 $t$ 已經被積分掉，所以唯一的變數是 $omega _{x}$ ，令 $F(omega_{x}) = int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-iw_{x}t}dt$ 有：

$egin{align} f(t)&=frac{1}{T}sum_{n=-infty}^{+infty}int_{-infty}^{+infty}f(t)e^{-iomega _{x}t}dtcdot e^{iomega _{x} t}\ &=frac{1}{2pi}sum_{n=-infty}^{+infty}{[frac{1}{n} cdot F(omega_{x})cdot e^{iomega _{x} t}]}\ &=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{+infty}F(omega _{x})cdot e^{iomega _{x} t}domega _{x} ag{7} \ end{align}$

提示:( $sum_{-infty}^{+infty}{frac{1}{n} =1}$ )

我們得到傅里葉變換：

$F(omega_{x})=int_{-infty}^{+infty}f(t)e^{-iw_{x}t}dt ag{8}$

然後根據(8)我們得到反傅里葉變換

$f(t)=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{+infty}F(omega_{x})cdot e^{iomega_{x} t}domega ag{9}$

公式(9)、(8)為著名的傅里葉變換、反傅里葉變換

下一次開講：離散傅里葉變化以及優化演算法FFT