坐標系那些事兒

08-24

坐標系那些事兒

來自專欄 Fiction Studio

在流體力學中，我們通常採用歐拉法來表述流體的運動，假設流體滿足連續介質假設，直接採用傳統的NS方程。但是隨著計算流體力學的發展，一些方法開始採用質點粒子的思想來看待流體，此時採用的數學推導與質點、質點系動力學息息相關，本節將推到一些與質點動力學有關的公式。

1.什麼是廣義坐標？

wiki關於廣義坐標的定義為：

Generalized coordinates?

en.wikipedia.org

坐標是描述質點位置的量，最常用的坐標係為直角坐標系，許多人在使用直角坐標系的過程中會形成一些定勢思維，比如坐標的量綱一定是長度，單位矢量是不變的量。實際上坐標系的種類很多，但是正交坐標系由於其獨到的性質而被廣泛使用。

廣義坐標是指在分析問題時，根據問題的特性，選擇合適的坐標系來描述問題的一組坐標系。不同問題可能使用不同坐標系，某一問題必然會選擇一種坐標系來描述。為了更加普適的數學表達，我們使用 $(q_1,q_2,...,q_s)$ 來表示坐標系的分量。這裡的 $(q_1,q_2,..,q_s)$ 既可以指在問題1中採用的直角坐標系（x,y,z)，也可以指問題2中採用的球坐標系 $(r, heta,phi)$ 。

我們統一地稱問題1和問題2中的廣義坐標為 $(q_1,q_2,...,q_s)$ 。

2.為什麼要用s下角標？廣義坐標中坐標分量到底有多少個？

要搞懂s就必須理解兩個概念：約束與自由度。

約束即對物體的位置和速度進行限制。通常用方程 $f(vec{r},dot{vec{r}},t)=0$ 來表達。

以單擺為例：

一般可選取（x,y)作為廣義坐標，也可以選取 $(r, heta)$ 作為廣義坐標。此時兩者的坐標分量的個數都是2。但是直角坐標系下x,y是相互關聯且一起運動的，在極坐標系下，r為固定值，只有 $heta$ 是變化的。我們完全可以說單擺系統的廣義坐標為 $( heta)$ 。因為只需要知道了角度值，就可以確定小球的位置，而在直角坐標系下必須知道x,y才能確定小球位置。顯然，在極坐標系下單擺系統的描述大大簡化，我們可以認為平面單擺的最佳廣義坐標的分量個數為1。

我們知道質點的平面運動的自由度為2，那麼要描述該質點的運動，需要兩個分量，廣義坐標分量的個數應該為2，為什麼平面單擺的最佳廣義坐標分量為1呢？

很顯然，小球受到來自繩子的約束，只能在以原點為中心的圓弧上運動，其自由度為1，因此只需要1個廣義坐標分量。

這意味著約束將降低物體的自由度，使得描述物體位置的廣義坐標分量的數量減少。

相信你已經注意到了，（最佳）廣義坐標分量的個數和物體的自由度相等。

在定義自由度之前，我們再深入認識一下約束。

首先看看兩種簡單的約束。

幾何約束：只約束了物體的幾何位置，約束方程中只有位置矢量。

運動約束：約束方程中含有速度矢量。

平面單擺就是一個典型的幾何約束，約束了繩子的長度為r，純滾動是一種運動約束，因為它要求小球質心平動速度等於小球半徑與小球的轉動角速度的乘機。

理解了什麼是幾何約束與運動約束後，我們將藉助這兩個概念來理解約束的分類。

約束分為完整約束與非完整約束。

完整約束是幾何約束，以及可以轉化為幾何約束的運動約束。非完整約束是指不能轉化為幾何約束的運動約束。相當於在運動約束中劃分了一塊領土給幾何約束。

這就涉及到一個問題，現在有一個運動約束我怎麼判斷它到底是完整約束還是非完整約束？

其實非常簡單，通過一定的數學變換（積分）後，約束方程能夠消除時間t，速度這些量，把運動約束方程變成幾何約束方程，那麼這個運動約束就是完整約束。

以平面純滾動為例子：

$v_c=Rdot{ heta}\ ag{1}$

$frac{d x}{d t}=R frac{d heta}{d t}$ 兩邊同時積分: $x=x_0+R heta$ 。顯然，平面純滾動是一個完整約束。

自由度即指的是獨立坐標的個數，用s來表達，假設一個質點系有n個質點,k個完整約束， $k$ 個非完整約束，則 $s=3n-k$ 。

現在明白為什麼廣義坐標要用下標s了吧，我們更加希望我們選取的廣義坐標是最優的，廣義坐標分量的個數恰好等於系統的自由度。

3.廣義坐標系下怎麼表述質點的速度與加速度？

質點的位置用矢徑 $vec{r}$ 表示。

速度： $vec{v}=frac{d vec{r}}{dt}\ ag{2}$

加速度： $vec{a}=frac{d vec{v}}{dt}\ ag{3}$

在廣義坐標系下：

$dvec{r}=frac{partial vec{r}}{partial q_1}d q_1+frac{partial vec{r}}{partial q_2}d q_2+...+frac{partial vec{r}}{partial q_s}d q_s\ ag{5}$

全微分見過吧，實際上矢徑是廣義坐標的函數，即 $vec{r}=f(q_1,q_2,...,q_s)$ ，兩邊求全微分就能得到式（5）。

式（5）兩邊除以dt： $vec{v}=frac{partial vec{r}}{partial q_1}dot{q_1}+frac{partial vec{r}}{partial q_2}dot{q_2}+...+frac{partial vec{r}}{partial q_s}dot{q_s}\ ag{6}$

這裡特別引入基矢量的定義，用於後面加速度的推導。

某個廣義坐標分量的基矢量為：固定其他分量不變，矢徑沿著該分量方向移動的單位矢量。

以極坐標為例子，其廣義坐標為 $(r, heta)$ 。r方向的基矢量 $vec{e_r}$ ，保持 $heta$ 不變，矢徑沿著軸線r方向移動。 $heta$ 方向的基矢量 $vec{e_{ heta}}$ ，保持 $r$ 不變，矢徑沿著圓弧方向移動。

可以看出這個定義與偏導數的定義基本一致。沿著某分量方向的基矢量的數學表達為：

$vec{e_i}=frac{frac{partial vec{r}}{partial q_i}}{left|frac{partial vec{r}}{partial q_i} ight|}\ ag{7}$

把 $left|frac{partial vec{r}}{partial q_i} ight|$ 稱為度規，用 $h_i$ 表示。

加速度的推導較為困難，我們先看看一些引理:

$vec{r}$ 與 $q_i$ 有關於 $dot{q_k}$ 無關; $q_i$ 與 $dot{q_k}$ 互不相關。2.連續函數的混合偏導可以交換順序。

顯然物體在此時的運動趨勢與其所在的位置是沒有關係的，因此1是成立的，並且 $frac{partial q_i}{partial dot{q_k}}$ 和 $frac{partial dot{q_k}}{partial q_i}$ 都是0。

第二個是高等數學中的定理，這裡不再贅述。在經典物理裡面，我們研究的主要還是連續性的問題，不用考慮不連續的情況。

通過上面兩個引理，我們來證明引理3和引理4。

引理3： $frac{partial dot{vec{r}}}{partial dot{q_i}}=frac{partial vec{r}}{partial q_i}\ ag{8}$

$frac{partial frac{d vec{r}}{d t}}{partial dot{q_i}}=frac{partial sum_{n=1}^{n=s}frac{partial vec{r}}{partial q_n}dot{q_n}}{partial dot{q_i}}=sum_{n=1}^{n=s}frac{partial vec{r}}{partial q_n}frac{partial dot{q_n}}{partial dot{q_i}}+sum_{n=1}^{n=s}dot{q_n}frac{partialfrac{partial vec{r}}{partial q_n}}{partial dot{q_i}}\$

通過引理1，可知上式中後項為0。

即：

$frac{partial frac{d vec{r}}{d t}}{partial dot{q_i}}=sum_{n=1}^{n=s}frac{partial vec{r}}{partial q_n}frac{partial dot{q_n}}{partial dot{q_i}}=frac{partial vec{r}}{partial q_i}\$

引理3得證。

引理4：

$frac{d frac{partial vec{r}}{partial q_i}}{d t}=frac{partial dot{vec{r}}}{partial q_i}\ ag{9}$

$frac{d frac{partial vec{r}}{partial q_i}}{d t}=sum_{n=1}^{n=s}frac{partial frac{partial vec{r}}{partial q_i}}{partial q_n}dot{q_n}=sum_{n=1}^{n=s}frac{partial frac{partial vec{r}}{partial q_n}}{partial q_i}dot{q_n}=frac{partial sum_{n=1}^{n=s}{frac{partial vec{r}}{partial q_n}dot{q_n}} }{partial q_i}=frac{partial dot{vec r}}{partial q_i}\$

引理4得證。

下面通過引理3和引理4來計算加速度。

${a_i}=frac{1}{h_i}[frac{d } {d t}frac{partial }{partial dot{q_i}}(frac{v^2}{2})-frac{partial }{partial q_i}(frac{v^2}{2})]\ ag{10}$

$a_i= vec{e_i}cdotvec{a}=frac{1}{h_i}frac{partial vec{r}}{partial q_i}cdotfrac{d dot{vec{r}}}{dt}=frac{1}{h_i}frac{d }{dt}(frac{partial vec{r}}{partial q_i}cdotdot{vec{r}})-frac{1}{h_i}frac{d} {dt}(frac{partial vec{r}}{partial q_i})cdotdot{vec{r}}=\ frac{1}{h_i}frac{d }{dt}(frac{partial dot{vec{r}}}{partial dot{q_i}}cdotdot{vec{r}})-frac{1}{h_i}frac{partial dot{vec{r}}}{partial q_i}cdotdot{vec{r}}=\ frac{1}{h_i}[frac{d } {d t}frac{partial }{partial dot{q_i}}(frac{v^2}{2})-frac{partial }{partial q_i}(frac{v^2}{2})]$