你也可以理解「麥克斯韋方程組」

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自然和自然的規律隱藏在茫茫黑夜之中。上帝說：讓牛頓降生吧。於是一片光明。——亞歷山大·蒲柏

上帝又說：還要有光，於是便有了麥克斯韋方程組。

位於蘇格蘭愛丁堡城堡山谷的一側有一條大街，喬治大街, 因國王喬治而得名。在喬治大街的末端有一座雕像——詹姆斯·克拉克·麥克斯韋, 蘇格蘭最傑出的科學家之一，今天我們要說的就是以他命名的一組方程。

一、基本知識準備

自然界中有很多的現象，如果仔細觀察，會覺得特別有意思。比如每天抬頭都能看到的太陽：

你、我能安心的在這刷知乎，很大程度上拜它所賜，太陽光是地球能量的主要來源，距離太陽1天文單位的位置（也就是在或接近地球），直接暴露在陽光下的每單位面積接收到的能量，其值約相當於 （瓦每平方米），也就說接收的能量是和面積是成正比的，——在這悶熱的夏天，這位小姐姐你覺得熱，是因為你暴露太多——穿的太少了，當然由於地球附近星際空間中有大量的粒子的阻擋，到達你的身上的輻射已經小了很多。太陽是我們最常見的一種模型：中心對周圍的輻射作用。

當然還有其他的一些自然現象，比如經常騷擾沿海同胞的颱風：

颱風發源於熱帶海面，那裡溫度高，大量的海水被蒸發到了空中，形成一個低氣壓中心。隨著氣壓的變化和地球自身的運動，流入的空氣也旋轉起來，形成一個逆時針旋轉的空氣漩渦，這就是熱帶氣旋。只要氣溫不下降，這個熱帶氣旋就會越來越強大，最後形成了颱風。颱風是我們最常見的另一種模型：中心對周圍的旋轉作用。

相信大家都走過環山路，小編前兩天去了一趟恩施大峽谷，50公里的路要開2個多小時，不明所以的童鞋還以為司機在繞路呢？——實際司機就是在「繞路」，但是不得不饒。

在課堂上，老師問同學們：假設你要去爬座山，海拔是2000米，你要選擇怎樣上去最省力氣？小明眼睛一轉，說：我坐索道上去.......老師：小明，你...出...去！這是屬於開掛，不算數。老師倒也難為同學們了：若選擇最陡的那條路呢？距離是近了，但是費力氣啊；要是選擇多繞幾圈呢，倒是不那麼費力氣了，但是距離遠多了，這真是一個費腦子的問題。現在我們假如要去救援，時間最寶貴，要求距離最短，你該怎麼辦？——那就要選最陡的那條路，——那什麼是陡？山路是我們最常見的第三種模型：前進的方向選擇問題。

萬有引力定律其實胡克是有很大貢獻的，但冠名權卻屬於牛頓，為什麼？因為牛頓數學牛逼啊，光有想法不行，你得能用數學表達出來，才能讓人信服。接下來我們就看看，數學家是如何描述上面幾個問題的。

2.1 散度

前面我說道，我們每時每刻都在接收太陽帶給我們的能量，在地球附近，直接暴露在陽光下的每單位面積接收到的能量，其值約相當於 （瓦每平方米），那太陽每秒鐘會向外輻射多少能量呢？

沿著太陽表面，作一條封閉曲線，把曲線上的（不妨把光線的方向也考慮進來）給加起來，這不就是總的能量了嗎？——我們也給它起個名字，就叫通量吧，通過表面的總量，很顯然，這一個標量。數學表達式就是：

就是通過此曲線的通量，常識告訴我們，如果這個曲線是封閉的，不管這個曲線多大，長成什麼樣子，只要裡面的太陽沒變，這個通量就是個恆定值。

但實際太陽不是一個圓，而是一個球，所以我們要把封閉曲線擴展成封閉的曲面：

雖然太陽對於我們來說很大，放在整個在整個宇宙裡面就非常渺小了——就是一小點點而已。假如不是以地球視野，而是以宇宙的視野來看太陽的的輻射，它那點通量如果還用一個封閉的曲面來算的話，那就顯得太多餘了——就一個「點點」啊！

好了，封閉曲面開始瘦身了，一直縮小到極限為0，用此時的通量，除以封閉曲面所圍體積，就能得到此點的輻射強度：

其中， 為封閉曲面 圍成的區域，這就是 點的散度。散度有什麼意義呢？——它代表了某種「源」。這個「源」產生的向量場，散度如果是正的，代表向量場是往外散出的；如果是負的，代表向量場是往內集中的，散度的大小，代表這個「源」的強弱。

2.2 旋度

我們要解決的，不僅有輻射，還有漩渦。

有了散度的概念做鋪墊，旋度就好理解一點了，先說一下什麼是環量：和通量類似，是指矢量沿著路徑的閉合曲線積分，它能表示向量場圍繞某一點的旋轉程度。最常見的例子就是家裡的洗衣機了：

環量的表達式為：

其中 為閉合曲線， 為曲線任意一點切線上單位矢量。

我們也很容易推出此點旋度， 點的旋度表達式為：

其中， 為封閉曲線 圍成的區域面積， 為 的法向。要特別注意的是，既然是旋轉，必然有一個旋轉軸，也就說，旋度是一個矢量。

2.3 梯度

梯度是這三個概念裡面外面最熟悉的了，它表示某一函數在該點處的方嚮導數沿著該方向取得最大值，即函數在該點處沿著該方向（此梯度的方向）變化最快，變化率最大。簡單點來說梯度能表達函數在某一點處變化最快的方向，既然是是方向，所以梯度也是一個矢量。表達式不複雜：

.

從我們樸素的直觀感覺來說，梯度大能跟那些詞聯繫起來呢？「險」？「陡」「居高臨下」？——文雅一點，梯度代表著「勢」。山勢、地勢，權勢......老子說：「道生之，德畜之，物形之，勢成之。」「勢」是一個令人著迷的詞，從古到今，人們一直都在使用它，但誰也說不清它。

2.4 什麼是 運算元

可能細心的童鞋已經注意到，在計算散度、旋度和梯度時，我們採用了一個符號： 。為什麼要發明一個新符號呢？——前面我們說到散度是標量，旋度和梯度是矢量，而我們要描述的很多「場」，如電磁場，也是矢量場，因此在進行微積分運算的時候非常不方便，為此呢，我們採用一個矢量的運算符 （讀作nabla）來計算，無它，就是圖個方便而已。

nabla算符的定義式如下：

對於標量場，我們假設標量函數為： ；

對於矢量場，我們假設矢量函數為：；

定義了 運算元，很多事情就方便多了：

梯度： 與一個標量函數乘積的結果；

散度： 與一個矢量函數點積的結果；

旋度： 與一個矢量函數叉積的結果；

三、如何理解麥克斯韋方程組

前面我們介紹了什麼是散度、旋度及梯度，以及在數學上怎麼表示，接下來就是見證奇蹟的時刻了，先擺上大餐，微分形式的麥克斯韋方程組：

其中 表示電場， 表示磁場， 為真空電容率， 為真空磁導率， 是電荷密度， 是電流密度。眼尖的你可能已經發現，這尼瑪就是兩個散度兩個旋度啊。

3.1 散度說的是什麼事

公式 、 是關於散度的，公式 說，電場的散度是電荷，而散度就是「源」，這說明什麼呢？——電場是有源場，而且電荷能增加電場的散度。啥叫有源場？——就是電場線可以有起點（源），或者終點，場線另一端可以延伸到無窮遠處。當然，電場也可以是無源場，當 的時候。這條可以看成是對庫倫定律和和高斯定律的抽象。

公式 說，磁場的散度恆為零，這說明什麼？——磁場永遠是是無源場，——就是磁力線沒有起點，沒有終點，永遠是一個閉合狀態，也就是說，在經典電磁理論裡面，磁單極子是不存在的。

好了，既然電場有可能是無源場，磁場一直是無源場，那電場和磁場是怎麼產生的呢？這就要看電磁場的另一個特性了——旋度。

3.2 旋度又說的什麼事

公式 是說變化的磁場能增加電場的旋度。可以從兩個層面來看：（1）變化的磁場能產生電場，這是存在性問題；（2）變化的磁場產生什麼樣的電場——增加電場的旋度，粗略的說，可以產生環形電場，這條本質上說的是法拉第定律。

公式 內容就更豐富一些，主要說了兩個事：（1）電流（運動的電荷）可以增加磁場的旋度；這就是安培定律嘛，也就是電流產生磁場。（2）變化的電場也能增加磁場的旋度，也就是安培-麥克斯韋定律。

公式 、 說說明變化的磁場能增加電場的旋度，變化的電場能增加磁場的旋度，旋度意味著什麼？——意味著力線呈旋轉或者螺旋狀啊！

3.3 電磁波是個什麼玩意

前面我我們們說到：電荷增加電場散度；電流增加磁場旋度；變化的電場或磁場也是增加旋度。而旋度意味著螺旋曲線，那是不是我們能觀察的到呢？——能啊，電磁波不就是嘛！

想像在真空中，周圍什麼都沒有，電荷密度和電流密度均為0，麥克斯韋方程組的微分形式就簡化成了：

通過簡單的推導，我們可以得出關於電場和磁場的兩個方程：

這兩個方程具有波動方程的形式，這說明了變化的電磁場以波的形態存在於自由空間中。其中 就是波傳遞的速度，和是關於真空的性質的兩個常數，因此 也是一個常量，這個常量是和參考系無關的，數值大約是30萬公里/秒。那麼電磁場是如何傳播的呢？下圖是一個圓形極化的電場傳播示意圖，是不是看到了螺旋曲線的影子？（一般教材上的例子是線極化的電磁場，和這個圖片不太一樣，只是不同的解，感興趣的可以去翻翻教材）。

麥克斯韋方程組揭示了電場與磁場相互轉化中產生的對稱性優美，這種優美以現代數學形式，特別是在採用了nabla運算元之後，得到了充分的表達。四個方程，兩個用散度表示，兩個用旋度表示，將複雜的電磁現象降低到了日常生活經驗就能認知的程度：變化的磁場可以激發渦旋電場，變化的電場可以激發渦旋磁場，最終組成一個統一的電磁場。它所揭示出的電磁相互作用的完美統一，為物理學家樹立了一種信念：物質的各種相互作用是不是應該在在更高層次上是統一的呢？

四、為什麼要提梯度

前面只說散度和旋度，沒說梯度的事啊，是不是電磁場裡面就沒梯度的事呢？別著急，這就要說呢。我們說，在真空中（無源情況下），如果假定電磁波在時間上是以某個頻率做簡諧振動的，麥克斯韋方程退化為:

該方程成為之為為亥姆霍茲方程，該方程可以描述自然界中的各種的波動現象，包括橫波和縱波，例如聲波、光波和水波，在聲學，電磁學，和流體力學等領域應用廣泛，其變種可以在量子力學和廣義相對論中見到。

倘若在亥姆霍茲方程中，解的振動頻率為零，也就是可以再去掉時間項，方程進一步退化為：

這就是大名鼎鼎的拉普拉斯方程， 就稱之為拉普拉斯運算元。拉普拉斯方程又稱調和方程、位勢方程，諸多自然現象都具有拉普拉斯方程的形式，如工程中常用的傳熱方程。

可能有些童鞋有點疑惑了，我們常見的傳熱方程長的是這個樣子啊：

這倆貨其實是一回事！只不過 是縮寫形式，其原始的樣子是 ，聰明的你可能已經發現 就是標量函數 的梯度， 就是標量函數 的梯度的散度啊。我們前面說了，梯度代表著「勢」，散度代表「來源」，那梯度的散度代表什麼？——勢的源頭，該如何理解呢？還以傳熱為例：

即

說的是什麼事？——空間中沒有熱源時的溫度分布；

即

——在 處有一熱源時空間的溫度分布。

可見，如果用散度、旋度和梯度以及它們的組合來表示很多自然規律就簡單的多了。這在本質上是我們發明了一個更複雜的概念來去描述一個相對複雜的現象，從而顯得簡單了。但前提是，你要花時間去消化這些概念，否則，如果只看公式，往往是只見迷霧，不見泰山。

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