一般情形下平均值不等式的證明及應用

08-24

一般情形下平均值不等式的證明及應用

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我們都應當知道這個重要的不等式： $sqrt{ab}leq frac{a+b}{2}$ $（a>0,b>0）$

這個不等式的證明是顯然的，只需要兩邊平方，再移項構成完全平方便可得證。

下面我們將其推廣到一般情形下： $sqrt[n]{a_{1}a_{2}…a_{n}}leqfrac{a_{1}+a_{2}+…a_{n}}{n}$

我們要證明這個不等式成立。

我們知道 $n=2$ 時不等式成立。我們先來證明 $n=4$ 時的情況。

我們設 $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ 是4個正數， $A_{1}=frac{a_{1}+a_{2}}{2}$ ， $A_{2}=frac{a_{3}+a_{4}}{2}$

則有 $A_{1}geqsqrt{a_{1}a_{2}}，A_{2}geqsqrt{a_{3}a_{4}}$ ，於是 $A_{1}A_{2}geqsqrt{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}，$ 即 $sqrt{A_{1}A_{2}}geq (a_{1}a_{2}a_{3}a_{4})^{frac{1}{4}}$

又因為 $frac{A_{1}+A_{2}}{2}geq sqrt{A_{1}A_{2}}$ ，所以有 $frac{A_{1}+A_{2}}{2}geq sqrt{A_{1}A_{2}}geq (a_{1}a_{2}a_{3}a_{4})^{frac{1}{4}}$

因為 $frac{A_{1}+A_{2}}{2}=frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}$ ，於是有 $frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}geq(a_{1}a_{2}a_{3}a_{4})^{frac{1}{4}}$

這就證明了 $n=4$ 時的情況。

下面我們利用 $n=4$ 時不等式成立來證明 $n=3$ 時的情況。

我們令 $m=frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{3}$ ，可推知 $m=frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+m}{4}$

因為 $n=4$ 時不等式成立，所以 $mgeq a_{1}a_{2}a_{3}m^frac{1}{4}$ ，兩邊取四次方，得 $m^3geq a_{1}a_{2}a_{3}$ ，即 $mge (a_{1}a_{2}a_{3})^frac{1}{3}$

所以有 $m=frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{3} ge (a_{1}a_{2}a_{3})^frac{1}{3}$ ，故而 $n=3$ 時不等式亦成立。

同理，我們可以利用n=2和n=4下不等式成立來證明n=8時不等式成立，然後再通過類似的辦法證明n=5,6,7時亦成立。

然後可以繼續證明n=16時不等式成立，n=32，64，128時亦成立。最終，我們成功地將其推廣到 $sqrt[n]{a_{1}a_{2}…a_{n}}leqfrac{a_{1}+a_{2}+…a_{n}}{n}$ 的形式。

一個有趣的應用：

我們知道 $n$ 的階乘為 $n!$ ，從 $1$ 加到 $n$ 的和為 $frac{(1+n)n}{2}$

故而我們可以推出 $[frac{(1+n)n}{2}]frac{1}{n}=frac{(1+n)}{2}ge (n!)^frac{1}{n}$ 這樣的不等式。