數學分析筆記（二）——實數理論

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數學分析筆記（二）——實數理論

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好想說點什麼

由於非數學系科班出身，主要從教材上獲取信息，初學時難以融會貫通，對知識的理解難免有些死板。尤其這個實數理論：
卓里奇直接用實數公理系統定義實數（最關鍵的完備公理那部分讀了好久，文中會細說），再回頭問候自然數，整數，有理數。你這個順序……；
(⊙?⊙)
菲赫金哥爾茨默認已經熟悉有理數，猶抱琵琶半遮面地介紹一些代數知識，就用戴德金分割引入無理數從而構造實數域，更初級的數系就不講了；
(￣_,￣ )

這個Rudin也默認熟悉有理數，通過有序集定義最小上界，「域」相關的知識讀得意猶未盡，這傢伙直接用最小上界性和有序域「合成」了實數域，一切來得那麼的突然；
w(?Д?)w
直到讀了《陶哲軒實分析》才稍了解些狀況，從Peano公理開始一點一點講才對嘛。這順序雖然符合了口味，但是對於實數理論，在看慣了戴德金分割式的定義模式後，突然看這種柯西序列式的定義還是感到頭皮發麻。
(＠_＠;)
似懂非懂地參考了這麼多書，但內心深處還是沒能理解這些，便索性跳過了實數定義往後看了……
卓里奇這套書我從頭不到尾地讀了好多遍，大一的時候就開始讀了，等到真正接受實數的定義已經是很久之後的事了，期間看了很多知名不知名的書，在各種論壇中看別人從各種角度談實數系，才慢慢滲透到意識當中。
但還有一個有趣的事就是有一次在網上看到數學系的同學們有在討論6（7？8？9？10？）個實數完備性定理
？
參考了這麼多書居然沒注意過這些，仔細一看才發現，那些定理都散落在我讀過的書當中，它們統稱為實數完備性定理，且都是等價的，只是書中沒做大規模的整理，自己更沒有整理髮現這些的悟性…
當然，這篇筆記是不可能去整理全套實數完備性定理的互推的，那對我毫無意義…

1. 實數公理系統

構造實數系統的方法並不唯一，這裡主要參考B.A.卓里奇的《數學分析》的方法描述.對於要用到的代數知識先做一個較為完整的介紹，但即使跳過1.1也不影響後續學習.

1.1 基本的代數知識

群

若在非空集 $G$ 上定義二元運算 $circ$ 滿足：

結合律： $(acirc b)circ c=acirc(bcirc c) (forall a,b,cin G)$
存在單位元：存在 $ein G$ ，使得 $forall ain G(ecirc a=acirc e=a)$
存在逆元：對任意的 $ain G$ ，存在其逆元 $a^{-1}in G$ ，使得 $acirc a^{-1}=a^{-1}circ a=e$

則稱 $G$ 關於運算 $circ$ 構成一個群，記為 $（G,circ）$ ，或簡記為 $G$ .

若群 $G$ 中若還成立交換律： $acirc b=bcirc a (forall a,bin G)$ ，則稱 $G$ 為交換群或Abel群.

環

若在非空集合 $R$ 上定義了兩個二元運算 $+,cdot$ （分別稱為加法和乘法），滿足：

$(R,+)$ 構成Abel群
乘法結合律： $(acdot b)cdot c=acdot(bcdot c) (forall a,b,cin R)$
分配率： $(forall a,b,cin R)$ $(((a+b)cdot c=acdot c+bcdot c)$ $wedge$ $(ccdot(a+b)=ccdot a+ccdot b))$

則稱 $R$ 關於運算 $+,cdot$ 構成一個環，記為 $(R;+,cdot)$ ，或簡記為 $R$ .

若環 $R$ 滿足乘法交換律： $acdot b=bcdot a (forall a,bin R)$ ，則稱 $R$ 為交換環.
環 $R$ 中若存在乘法幺元， $(exists ein Rforall ain R(ecdot a=acdot e=a))$ ，則稱 $R$ 為幺環.

域

如果R是一個有單位元 $0( e 1)$ 的交換環，且其每個非零元都可逆，則R是一個域.

1.2 實數公理

(Ⅰ)加法公理

這是指一個映射（運算） $+:mathbb R imesmathbb R ightarrowmathbb R$ 即對任意的 $x,yinmathbb R$ 有一個元素 $x+yinmathbb R$ 與之對應，稱 $x+y$ 為 $x,y$ 之和，且此映射滿足以下條件：

存在中性元（加法零元） $0inmathbb R$ ，使對一切的 $xinmathbb R$ 有 $x+0=0+x=x$ .
每個元 $xinmathbb R$ 有其負元 $-xinmathbb R$ 存在，使得 $x+(-x)=(-x)+x=0$ .
該運算是結合的，即對一切 $x,y,zinmathbb R$ 滿足 $x+(y+z)=(x+y)+z$ .
該運算是交換的，即對一切 $x,yinmathbb R$ 滿足 $x+y=y+x$ .

另外，若在任何集 $G$ 上存在滿足上述公理中的1.2.3.的一個運算，就說在 $G$ 上給定了一個群結構，也稱 $G$ 是一個群.若還滿足公理4.，則稱 $G$ 是交換群.（或阿貝爾群）

(Ⅱ)乘法公理

這也是指一個映射（運算） $cdot:mathbb R imesmathbb R ightarrowmathbb R$ 即對任意的 $x,yinmathbb R$ 有一個元素 $xcdot yinmathbb R$ 與之對應，稱 $xcdot y$ 為 $x,y$ 之積，且此映射滿足以下條件：

存在中性元（單位元） $1inmathbb Rsetminus 0$ ，使得對一切的 $xinmathbb R$ 有 $xcdot 1=1cdot x=x$ .
每個元 $xinmathbb Rsetminus 0$ 有其逆元 $x^{-1}inmathbb Rsetminus 0$ 存在，使得 $xcdot x^{-1}=x^{-1}cdot x=1$ .
該運算是結合的，即對一切 $x,y,zinmathbb R$ 滿足 $xcdot(ycdot z)=(xcdot y)cdot z$ .
該運算是交換的，即對一切 $x,yinmathbb R$ 滿足 $xcdot y=ycdot x$ .

(Ⅰ, Ⅱ)加法與乘法的聯繫

乘法對加法具有分配性，即對一切 $x,y,zinmathbb R$ 有 $(x+y)cdot z=xcdot z+ycdot z$ .

另外，若集合 $G$ 上定義了兩種運算，且滿足以上所有公理，就稱 $G$ 是一個域.

(Ⅲ)序公理

$mathbb R$ 的元素間有關係 $leqslant$ ，即對 $mathbb R$ 的元素 $x,y$ 或滿足 $xleqslant y$ 或不滿足.且滿足以下條件

$forall xinmathbb R(xleqslant x)$
$(xleqslant y)wedge(yleqslant x)Rightarrow(x=y)$
$(xleqslant y)wedge(yleqslant z)Rightarrow(xleqslant z)$
$forall xinmathbb Rforall yinmathbb R(xleqslant y)vee(yleqslant x)$

若某集合中的元素滿足1.2.3.的關係，就稱該集合為偏序集.
若又滿足4.，則稱為線性序集.

(Ⅰ,Ⅲ) $mathbb R$ 中的加法與序關係的聯繫

$forall x,y,zinmathbb R,(xleqslant y)Rightarrow(x+zleqslant y+z)$

(Ⅱ, Ⅲ) $mathbb R$ 中的乘法與序關係的聯繫

$forall x,y,zinmathbb R$ , $(0leqslant x)wedge(0leqslant y)Rightarrow(0leqslant xcdot y)$

其實上面的這些公理，有理數也都滿足，但實數與有理數最大的區別就在於下面的完備公理.

(Ⅳ)完備公理

如果 $X$ 與 $Y$ 是 $mathbb R$ 的非空子集，且具有性質：對於任何 $xin X,yin Y$ 有 $xleqslant y$ ，那麼存在 $cinmathbb R$ ，使對任何 $xin X,yin Y$ 有 $xleqslant cleqslant y$ .

這個完備公理的理解千萬要注意語序！我曾陷入一個誤區，就是想當然地理解為：圈定好兩個符合條件的實數集的子集 $X,Y$ 後，對於任何的 $xin X,yin Y$ 都能找到 $cinmathbb R$ ，可以滿足 $xleqslant cleqslant y$ .這樣看的話，對有理數集 $mathbb Q$ 也是能找到的，因為無法指定 $xin X,yin Y$ 使 $x$ 和 $y$ 中間沒有有理數。那 $mathbb Q$ 和 $mathbb R$ 在這個公理的適用性上又有什麼區別呢？
實際上，是要先確定一個 $c$ ，然後使它對於 $X$ 和 $Y$ 當中的任何元素 $x,y$ 都能滿足 $xleqslant cleqslant y$ .這樣的話，例如使 $X=｛xinmathbb R|x<sqrt 2｝$ , $Y=｛yinmathbb R|y>sqrt 2｝$ ，那麼除了 $sqrt 2$ 無法找到一個 $c$ 能滿足 $xleqslant cleqslant y$ ，而 $sqrt 2$ 又不在 $mathbb Q$ 當中，這才是 $mathbb R$ 的特殊之處！
簡單地說，就是先確定了 $c$ ，然後 $xleqslant cleqslant y$ 總是適用的，而不是先在 $X,Y$ 中各找一個元素，再找到 $c$ 去適配這個不等式.

滿足以上公理的任何集合都可被認為是實數模型.

1.3 一些有趣的推論

那真的是太有趣了.

1.實數集有唯一的零元.

證
如果 $0_1,0_2$ 都是 $mathbb R$ 中的零，由 $0$ 的定義可得 $0_1=0_1+0_2=0_2+0_1=0_2.$

2.實數集中每個元素有唯一的負元.

證

如果 $x_1,x_2$ 都是 $xinmathbb R$ 的負元，那麼 $x_1=x_1+0=x_1+(x+x_2)$ $=(x_1+x)+x_2=x_2+(x+x_1)=x_2+0=x_2.$

3.方程 $a+x=b$ 在 $mathbb R$ 中有唯一解 $x=b+(-a).$

證
$(a+x=b)Leftrightarrow((x+a)+(-a)=b+(-a))$ $Leftrightarrow(x+(a+(-a))=b+(-a)) Leftrightarrow(x+0=b+(-a))$ $Leftrightarrow x=b+(-a).$

4.對於任何 $xin R，xcdot 0=0cdot x=0.$

證

$(xcdot 0=xcdot(0+0)=xcdot 0+xcdot 0)$ $Rightarrow(xcdot 0=xcdot 0+(-xcdot 0)=0).$

5. $(xcdot y=0)Rightarrow(x=0)vee(y=0).$

證
若 $y e 0$ ，由關於 $x$ 的方程 $xcdot y=0$ 的解的唯一性知 $x=0cdot y^{-1}=0.$

6. $forall xinmathbb R,-x=(-1)cdot x.$

證
$x+(-1)cdot x=(1+(-1))cdot x$ $=0cdot x=xcdot 0=0$ ，再由負元唯一性可推出此命題.

7. $forall xinmathbb R,(-1)(-x)=x.$

證

由6.和 $-x$ 的負元 $x$ 的唯一性可得.

8. $forall xinmathbb R,(-x)(-x)=xcdot x.$

證
$(-x)(-x)=((-1)cdot x)(-x)$ $=(xcdot(-1))(-x)=x((-1)(-x))=xcdot x.$

對於關係 $xleqslant y$ ，在 $x e y$ 時寫成 $x<y$ ，稱為嚴格不等式（ $geqslant$ 也類似）.

9.對於任何 $x,yinmathbb R$ ，在 $x<y,x=y,x>y$ 中恰有一種關係成立.

證
由嚴格不等式的定義以及(Ⅲ)中的1.3.公理推知.

10. $forall x,y,zinmathbb R$ $(xleqslant y)wedge(y<z)Rightarrow(x<z).$

證
由(Ⅲ)中的2.公理推知 $(xleqslant y)wedge(y<z)$ $Leftrightarrow(xleqslant y)wedge(y leqslant z)wedge(y e z)$ $Rightarrow(xleqslant z)$ ，下面驗證 $x e z.$
否則，就有 $(xleqslant y)wedge(y<z)Leftrightarrow(zleqslant y)wedge(y<z)$ $Leftrightarrow(zleqslant y)wedge(yleqslant z)wedge(y e z)$ 即 $(y=z)wedge(y e z)$ ，矛盾.

11. $forall x,y,zinmathbb R，(x<y)Rightarrow(x+z)<(y+z).$

證
$(x<y)Rightarrow(xleqslant y)Rightarrow(x+z)leqslant(y+z)$ ，而 $((x+z)=(y+z))$ $Rightarrow(x=(y+z)-z=y+(z-z)=y)$ 這與前提 $(x<y)$ 矛盾，因此 $(x+z)<(y+z).$

12. $forall x,y,zinmathbb R,$ $(0<x)wedge(0<y)Rightarrow(0<xy).$

證
$(0<x)wedge(0<y)$ $Rightarrow(0leqslant x)wedge(0leqslant y) Rightarrow(0leqslant xy).$
而 $(xcdot y=0)Rightarrow(x=0)vee(y=0)$ ，所以 $(0<xy).$

13. $forall x,y,zinmathbb R,$ $(x<0)wedge(0<y)Rightarrow(xy<0).$

證
$(x<0)wedge(0<y)Rightarrow(0<-x)wedge(0<y)$ $Rightarrow(0<(-x)cdot y)Rightarrow(0<-(xy))Rightarrow(xy<0).$

14. $0<1.$

證
$1inmathbb R setminus 0$ ，即 $0 e 1$ .
假設 $1<0$ ，則 $(1<0)wedge(1<0)Rightarrow(0<1cdot 1)Rightarrow(0<1).$
由9.，因為 $0 e 1$ ，假定的 $1<0$ 又推出矛盾，因此 $0<1$ .

15.對於 $x,y,zinmathbb R,$ $(x<y)wedge(0<z)Rightarrow(xz<yz)$

證

$(x<y)Rightarrow(0<y-x)$ ，且有 $(0<x-y)wedge(0<z)Rightarrow(0<(y-z)cdot z)$ $Rightarrow(0<yz-xz)Rightarrow(xz<yz).$

16. $(0<x)Rightarrow(0<x^{-1})$

證
首先 $x^{-1} e 0$ .假如 $x^{-1}<0$ ，則 $(x^{-1}<0)wedge(0<x)$ $Rightarrow(xcdot x^{-1}<0)Rightarrow(1<0)$ ，矛盾.

17. $(0<x)wedge(x<y)Rightarrow(0<y^{-1})wedge(y^{-1}<x^{-1}).$

證
由於 $(0<x)wedge(x<y)Rightarrow(0<y)Rightarrow(0<y^{-1}).$
那麼 $(0<x^{-1})wedge(0<y^{-1})Rightarrow(0< x^{-1}cdot y^{-1}).$
注意到 $(x<y)Rightarrow(0<y-x).$
則可知 $(0<y-x)wedge(0< x^{-1}cdot y^{-1})$ $Rightarrow(0< x^{-1}- y^{-1})Rightarrow(y^{-1}<x^{-1}).$

阿基米得原理

通常來講，阿基米德原理的表述是

設 $x,varepsilon$ 為任意正實數，存在正整數 $M$ ，使 $M varepsilon>x.$ （陶哲軒）

或對不論怎樣的實數 $r$ ，必有大於 $r$ 的自然數 $n$ 存在.（菲赫金哥爾茨）

他們都是指整數集無上界.

但卓里奇的表述更進一步

如果 $h$ 是任意一個固定的正數，那麼對任何實數 $x$ ，必能找到唯一的整數 $k$ ，使得 $(k-1)hleqslant x<kh$ .

證明提要：考察集合 $｛ninmathbb ZBig|frac{x}{h}<n｝$ ，它顯然是 $mathbb Z$ 的非空有下界子集，那麼它有最小元 $k$ ，這意味著 $(k-1)leqslantfrac{x}{h}<k$ .對於這樣的 $k$ 的唯一性，由數集極小元的唯一性可知.

2. 其他數系

2.1 自然數

除了常見的Peano公理定義自然數外，也可以採用歸納集定義自然數.

如果對於集合 $Xsubsetmathbb R$ 的每一個數 $xin X$ ，同時有 $x+1in X$ ，就稱 $X$ 是歸納集.

包含數 $1$ 的最小的歸納集叫自然數集，記作 $mathbb N$ .

從集合論的觀點看，可能把自然數集理解成從0開始更好一些，然而對我們來說，從1開始記數更合適.——卓里奇

數學歸納原理

如果 $E$ 是自然數集 $mathbb N$ 的子集， $1in E$ ，並且當 $xin E$ 時， $x+1$ 也屬於 $E$ ，那麼 $E=mathbb N.$

2.2 整數

自然數集，自然數的相反數集，與零的並集為整數集，記作 $mathbb Z$ .

算術基本定理

每個自然數能唯一地表成乘積的形式： $n=p_1cdot cdots cdot p_k.$

其中 $p_1,cdots ,p_k$ 都是質數.

2.3 有理數與無理數

形如 $mcdot n^{-1}$ 的數叫有理數，其中 $m,ninmathbb Z.$

有理數集用 $mathbb Q$ 表示

當 $n e 0$ 時，整數序對 $(m,n)$ 就可以確定一個有理數，

不是有理數的實數叫無理數

一個實數，如果它是某個有理係數代數方程

$a_0x^n+a_1x^{n-1}+cdots +a_{n-1}x+a_n=0$

的根，就叫代數數，反之就叫超越數.( $pi$ 是超越數)

3. 實數完備性定理

3.1 定義

設 $Xsubsetmathbb R$ 是一集合；如果存在 $cinmathbb R$ 使一切 $xin X$ 都滿足 $xleqslant c$ ，就說 $X$ 是上有界集（類似定義下有界集），數 $c$ 是 $X$ 的一個上（下）界.既有上界又有下界的集合叫有界集.
若對於一切 $xin Xsubsetmathbb R$ ，有 $xleqslant a$ ，則元素 $ain X$ 叫做 $X$ 的極大元（最大元），（類似定義極小元）由序公理1.知如果數集有極大元，則只能有一個（極小元亦然）.
集合 $Xsubsetmathbb R$ 上界中的最小者叫做 $X$ 的上確界，記作 $sup X$ .（類似定義 $X$ 的下確界，記作 $inf X$ ，上下確界統稱為確界）
設 $S=｛X｝$ 是由一些集合 $X$ 構成的集族.如果 $Ysubsetigcup_{Xin S} X$ （即集合 $Y$ 的每個元素 $y$ ，至少含在集族 $S$ 中的一個集合 $X$ 中），就說 $S$ 覆蓋集合 $Y$ .
含有點 $xin mathbb R$ 的開區間稱為 $x$ 的鄰域，開區間 $(x-delta,x+delta)$ 叫做點 $x$ 的 $delta$ 鄰域.
假如點 $pinmathbb R$ 的任何鄰域都包含 $Xsubsetmathbb R$ 的一個無窮子集，就稱點 $pinmathbb R$ 為 $X$ 的極限點（聚點）.
如果對於任何數 $varepsilon>0$ ，存在號碼 $Ninmathbb N$ ，使 $(n>N,m>N)Rightarrow(|x_m-x_n|<varepsilon)$ ，則稱數列 $｛x_n｝$ 為基本列（柯西列）.
設 $x_1,x_2,cdots ,x_n,cdots$ 是一數列， $n_1<n_2<cdots <n_k<cdots$ 是自然數一個遞增列，則 $x_{n_1},x_{n_2},cdots ,x_{n_k},cdots$ 是數列 $｛x_n｝$ 的一個子列.

3.2 定理及證明

確界原理：實數集的任何非空有上界子集有唯一的確界.
閉區間套定理（Cauchy-Cantor）：對於任何閉區間套 $I_1supset I_2cdots supset I_nsupsetcdots$ ，存在一點 $cinmathbb R$ ，屬於這些閉區間的每一個.

另外，如果對於任何 $varepsilon>0$ ，在序列中能找到閉區間 $I_k$ 使其長 $| I_k|<varepsilon$ ，那麼 $c$ 就是所有閉區間的唯一公共點.

有限覆蓋定理（Borel-A.Lebesgue）：在覆蓋一個閉區間的任何開區間族中，存在覆蓋這一閉區間的有限子族.
極限點（聚點）定理（B.Bolzano-Weierstrass）：每個無窮有界集至少有一個極限點.
單調有界定理（Weierstrass）：單調數列有極限的充要條件是它有界.
柯西準則：數列收斂的充要條件是它是基本列.
緻密性定理：每個有界實數列含有收斂的子列.

1.上確界原理（下確界原理類似證明）

證
已知數集極小元唯一性，只需證明上確界存在即可.
設 $Xsubsetmathbb R$ 是給定的子集， $Y=｛yinmathbb R|forall xin X(xleqslant y)｝$ 是 $X$ 的上界構成的集合.由題設 $X evarnothing，Y evarnothing$ .這時根據完備公理， $exists cinmathbb R(forall xin X,forall yin Y)(xleqslant cleqslant y)$ .因此， $c$ 是 $X$ 的上界，也是 $Y$ 的下界，作為 $X$ 的上界， $c$ 是 $Y$ 的元素，而作為 $Y$ 的下界， $c$ 是 $Y$ 的極小元.於是 $c= m min mit Y=sup X$ .

2.閉區間套定理

證明提要：公共點存在性的證明主要依賴於區間套中區間的包含關係，至於具體操作，可以構造任意區間兩端點所分別構成的集合，利用完備公理可證.至於唯一性，可假設有兩個公共點，考察公共點間的距離與區間長度的關係，當區間長度無限縮小，兩公共點間距自然也就無限縮短，極限情況就是唯一公共點.
證
對於區間套中任意兩個 $I_m=[a_m,b_m],I_n=[a_n,b_n]$ 必有 $a_mleqslant b_n$ .否則兩區間無公共點，與題設矛盾.這樣，對於數集 $A=｛a_m|minmathbb N｝,B=｛b_n|ninmathbb N｝$ 滿足完備公理條件. $exists cinmathbb Rforall a_min Aforall b_min B(a_mleqslant b_n)$ ，自然就有 $forall ninmathbb N(a_nleqslant cleqslant b_n)$ .
假設有這樣不同的 $c_1,c_2$ 兩點，設 $c_1<c_2$ ，則 $forall ninmathbb N(a_nleqslant c_1<c_2leqslant b_n)$ $Rightarrow(0<c_2-c_1leqslant b_n-a_n)$ ，因此，如果其中有長度任意短的閉區間，它們的公共點必是唯一的.

3.有限覆蓋定理

證明提要：可通過反證法，利用「沿著不能被有限覆蓋的部分進行等分」構造區間套，通過閉區間套定理證明。這樣，「區間套的公共點被某個開區間U包含」意味著「 $(|I_n|<varepsilon)Rightarrow(I_nsubset U)$ 」，就與假設的「不能被有限覆蓋」相矛盾.
證
設 $S=｛U｝$ 是覆蓋 $I_1=[a,b]$ 的開區間族.假設 $I_1$ 不能用 $S$ 中的有限個開區間覆蓋，此時將 $I_1$ 等分成兩個閉區間，則至少有一個不能用S中的有限個覆蓋，將這部分記作 $I_2$ ，以此類推可得一區間套 $I_1supset I_2supsetcdots supset I_nsupsetcdots$ ，它們都不能用開區間族 $S$ 的有限子族覆蓋.注意到上述序列中有長度任意小的閉區間，據閉區間套定理，它們有一個公共點 $c$ ，由於 $cin I_1$ ，則必有 $S$ 中一個開區間 $(alpha,eta)$ 包含 $c$ ，即 $alpha<c<eta$ .令 $varepsilon=min｛c-alpha,eta-c｝$ ，則區間套中可找出 $I_n$ 使 $|I_n|<varepsilon$ ，又因為 $cin I_n$ ，因此 $I_nsubset U=(alpha,eta)$ ，這與假設矛盾.

4.極限點定理

證明提要：可通過反證法，先讓目標集合 $X$ 包含於一個閉區間 $I$ 中，用 $I$ 中每個點構造一個鄰域，完成開覆蓋，即可利用有限覆蓋定理完成證明.這樣「每個有限子覆蓋只有 $I$ 中有限個點」就與「 $X$ 是無窮集」相矛盾.
證
設X是給定的無窮有界集， $X$ 有界，則其含在某個閉區間 $I=[a,b]subsetmathbb R$ 中.
假設 $X$ 沒有極限點，那麼對每個點 $xin I$ 有鄰域 $U(x)$ ，其中不含 $X$ 的點，或含有 $X$ 的有限個點.這樣對於所有的 $xin I$ 所構造的鄰域的集合完成了對 $I$ 的覆蓋，由有限覆蓋定理可選處有限個開區間對I進行覆蓋，自然也就覆蓋著 $X$ .這樣有限個開區間，每個開區間中只有有限個 $X$ 中的點，意味著 $X$ 是有限集，這與 $X$ 是無窮集矛盾.

5.單調上有界定理（下有界類似證明）

證明提要：
必要性：對於 $lim_{n ightarrowinfty}{x_n}=A$ 指定 $varepsilon$ 和 $N$ 後，即可表示出 $｛x_n｝$ 的上界.
充分性：據上確界定理，及數列遞增可得 $forall n>N(s-varepsilon<x_Nleqslant x_n<s)$ ，即 $|s-x_n|<varepsilon$ .
證
必要性：
設 $lim_{n ightarrowinfty}{x_n}=A$ .令 $varepsilon=1$ ，就有 $exists Ninmathbb Nforall n>N(|x_n-A|<1)$ ，取 $M>max｛|x_1|,|x_2|,cdots |x_N|,|A|+1｝$ ， $M$ 即為 $｛x_n｝$ 的上界.
充分性：
$｛x_n｝$ 有上界，就有上確界 $s=sup x_n$ ，即 $forallvarepsilon>0exists x_Nin｛x_n｝(s-varepsilon<x_N <s)$ ，又 $｛x_n｝$ 不降，就有 $forall n>N(s-varepsilon<x_Nleqslant x_n<s)$ ，即 $|s-x_n|<varepsilon$ ，意味著 $lim_{n ightarrowinfty}{x_n}=s.$

6.柯西準則

證明提要：
必要性：由數列收斂，注意運用絕對值不等式： $|a|-|b|leqslant|apm b|leqslant|a|+|b|$ ，即可推得.
充分性：由 $｛x_k｝$ 是基本列，在 $m,k>N$ 時固定 $x_m$ 考察 $x_k$ ，易證其有界(注意此界的表示依賴於 $varepsilon$ ).利用隨著 $k$ 增大的上下界，可構造閉區間套，即得公共點.考察此公共點與 $x_k$ 的距離易知其顯然小於對於當前 $k$ 值的上下界之差，而此差又受制於 $N$ 值時上下界之差，而那個差又依賴於 $varepsilon$ .這就易推得，公共點即是數列的極限.
證
充分性：
設 $lim_{n ightarrowinfty}{x_n}=A$ ，對於 $varepsilon>0$ ，找出 $N$ 使 $n>N$ 時 $|x_n-A|<frac{varepsilon}{2}$ .當 $m,n>N$ 時， $|x_m-x_n|<|x_m-A|+|x_n-A|<varepsilon$ .
必要性：
設 $｛x_k｝$ 是基本列. 對於 $varepsilon>0$ ，存在 $N$ 使 $m,kgeqslant N$ 時 $|x_m-x_k|leqslantfrac{varepsilon}{3}$ ，固定 $m=N$ ，對一切 $k>N$ 有 $x_N-frac{varepsilon}{3}<x_k<x_N+frac{varepsilon}{3}$ .意味著基本數列有界.
令 $a_n:= inf_{kgeqslant n} x_k , b_n:= sup_{kgeqslant n} x_k$ .顯然，集合變小時，上界不會變大，下界不會變小. $[a_n,b_n]$ 可構成閉區間套，必有公共點 $A$ ，且 $a_nleqslant Aleqslant b_n$ .當然也有 $a_nleqslant x_kleqslant b_n$ ，則 $|A-x_k|leqslant b_n-a_n$ .注意到當 $n>N$ 時 $x_N-frac{varepsilon}{3}leqslant a_nleqslant b_n leqslant x_N+frac{varepsilon}{3}$ 就可推知 $b_n-a_nleqslantfrac{2varepsilon}{3}<varepsilon$ .意味著 $|A-x_k|leqslantvarepsilon$ ，即 $lim_{n ightarrowinfty}{x_n}=A$ .

7.緻密性定理

證明提要：證明了極限點定理，這個定理就是很自然的了.有界實數列，如果值集有限，那麼必然有無窮項相同的值,選取之作為子列即可.如果值集是無限集，那麼由極限點定理，圍繞極限點選取子列即可.
證
設 $E$ 是有界數列 $｛x_n｝$ 的值集.如果 $E$ 是有限集，那麼至少存在一點 $xin E$ 和號碼數列 $n_1<n_2<cdots$ 使得 $x_{n_1}= x_{n_2}=cdots = x$ .子列 $｛x_{n_k}｝$ 是常數列，收斂.
如果 $E$ 是無限集，由極限點定理，其至少有一極限點 $x$ ，則必能選取 $n_1inmathbb N$ ，使 $|x_{n_1}-x|<1$ .以及後續的 $|x_{n_k}-x|<frac{1}{k}$ 等等，而 $lim_{k ightarrowinfty}frac{1}{k}=0$ ，所以做出的數列 $x_{n_1},x_{n_2},cdots ,x_{n_k},cdots$ 必收斂於 $x$ .

4. 關於可數集

如果集合 $X$ 與自然數集 $mathbb N$ 等勢，就稱 $X$ 為可數集.
某個集合或為有限，或為可數，就說它是至多可數集.

可數集的無窮子集是可數集.

證明提要：從該子集的最小元開始與 $mathbb N$ 的最小元開始，構造一一映射，用歸納原理可證.

有限個或可數個可數集的並是可數集

證明提要：將這些集合一行一行的列出表示，用平面上坐標表達每個點，再映射到 $mathbb N$ 即可，（以按對角線映射這種形式會更直觀些）

$m card mathbb Q=card mathbb N$ （有理數集可數）

證明提要：將有理數用序對 $(m,n)$ 給出，剩下的工作已經做過了.

$m card mathbb N<card mathbb R$

證明提要：證明 $[0,1]$ 不可數即可.利用反證法，將它們列成 $x_1,x_2cdots ,x_n,cdots$ 的形式，在 $I_0=[0,1]$ 上取一非空閉區間 $I_1$ ，並使之不含 $x_1$ ，再在 $I_1$ 上取非空區間 $I_2$ ，使之不含 $x_2$ ，以此類推可構造一閉區間套，則必有一公共點，但此公共點不是 $x_1,x_2,cdots ,x_n,cdots$ 中任何一點.