二維閉流形上的Ricci流

08-24

二維閉流形上的Ricci流

來自專欄數學討論小組34 人贊了文章

在之前 Ricci曲率張量大於0的3維閉流形上的Ricci流的基礎上，我們還可以進一步研究二維閉流形上的Ricci流，即閉曲面上的Ricci流。

這個主題主要參考了Hamilton的文章 [3] 和Chow的文章 [1]，以及參考Chow和Knopf的書 [2]。

以下設 $M$ 為二維閉流形， $chi(M)$ 為 $M$ 的歐拉示性數， $R$ 為 $M$ 的數量曲率。

這個主題預計分為四篇文章：

1. $chi(M)<0$ 的情形；

2. $chi(M)=0$ 的情形；

3. $chi(M)>0$ ，且 $R>0$ 的特殊情形；

4. $chi(M)>0$ ，且 $R$ 變號的一般情形。

這篇文章先介紹 $chi(M)<0$ 的情形。

一、基本性質

二維流形上的Ricci流很簡單，主要原因是二維流形上所有曲率的信息全部包含在數量曲率 $R$ 中（三維流形所有曲率的信息由Ricci曲率張量決定，≥4維的情形則必須考慮一般的曲率張量），具體如下：

在二維流形 $M$ 上，一般的曲率張量 $R_{ijkl}$ 實際上只有一個可能非0的分量 $R_{1212}$ ，此時 $R=g^{ij}g^{kl}R_{kijl}=-2(g^{11}g^{22}-(g^{12})^2)R_{1212}=frac{-2}{det(g_{ij})}R_{1212}=2K$ ，其中 $K$ 為二維流形 $M$ 的Gauss曲率。注意到二維的時候度量矩陣為 $g=left[ egin{array}{cc} g_{11} & g_{12} \ g_{21} & g_{22} \ end{array} ight]$ ，其逆矩陣為 $g^{-1}=frac{1}{g_{11}g_{22}-(g_{12})^2} left[ egin{array}{cc} g_{22} & -g_{12} \ -g_{21} & g_{11} \ end{array} ight]$ ，因此 $R_{11}=g^{ij}R_{i11j}=g^{22}R_{2112}=-frac{g_{11}}{det(g_{ij})}R_{1212}=Kg_{11}=frac12Rg_{11}$ ，對於剩下的Ricci曲率張量的分量也可以直接計算，最終得到 $R_{ij}=frac12Rg_{ij}$ 。從而在二維流形上，一般的曲率張量、Gauss曲率（或者說截面曲率）、Ricci曲率張量都可由 $R,g$ 完全確定。

因此，在二維流形上我們只需觀察數量曲率 $R$ 的發展方程即可。利用 Ricci流的簡單介紹的結果我們得到，在非規範化的Ricci流 $partial_tg=-2Ric$ 下， $partial_t R=Delta R+2|Ric|^2$ 。在二維流形上， $2|Ric|^2=2(frac12Rg_{ij} imes frac12Rg^{ij})=R^2$ ，因此 $partial_tR=Delta R+R^2$ 。利用

規範化的Ricci流，指數速度收斂的引理1，我們得到在二維流形的規範化的Ricci流 $partial_tg=rg-2Ric=rg-Rg$ 下， $partial_tR=Delta R+R^2-rR$ ，其中用到了 $R$ 的次數為-1的性質。此處 $r=frac{int_M Rdmu}{int_M dmu}$ 為數量曲率的積分平均值，注意到在規範化的Ricci流下體積 $m{Vol}{(M)}=int_M dmu$ 是保持不變的（參見規範化的Ricci流，指數速度收斂第一部分），同時在二維流形上我們利用Gauss-Bonnet定理得到 $int_M Rdmu=2int_M Kdmu=4pichi(M)$ ，因此 $r=frac{4pichi(M)}{ m{Vol}(M)}$ 在規範化的Ricci流下是常數，其正負與 $M$ 的歐拉示性數 $chi(M)$ 的正負一樣。由於規範化的Ricci流的性質比非規範化的Ricci流的性質要好，同時它在二維流形上形式又比較簡單，因此下面我們只分析規範化的Ricci流。

二、 $R<0$ 的特殊情形

以下我們只考慮 $chi(M)<0$ 的情形，此時 $r<0$ 。我們先從 $R<0$ 這一特殊情形開始。

【定理1】設 $M$ 為二維閉流形，且 $t=0$ 時刻 $R<0$ ，因此可設 $t=0$ 時刻 $-Cleq Rleq -varepsilon$ ，其中 $varepsilon,C>0$ 為常數。那麼在規範化的Ricci流下， $-Cleq Rleq -varepsilon$ 一直保持成立，且存在常數 $widetilde C>0$ 使得 $-widetilde Ce^{r t}leq r-R(x,t)leq widetilde Ce^{rt}$ 對任意 $(x,t)$ 都成立。

【證明】在規範化的Ricci流下， $partial_tR=Delta R+R(R-r)$ ，利用函數版本的最大值原理，我們有 $F_1(t)leq R(x,t)leq F_2(t).forall xin M. tin [0,T)$ ，其中 $T$ 為規範化的Ricci流的最大存在時間， $F_1,F_2$ 都滿足ODE $frac{dF}{dt}=F(F-r)$ ，且 $F_1(0)=-C,F_2(0)=-varepsilon$ 。解此ODE，得到 $F_i(t)=frac{r}{1-C_ie^{rt}},i=1,2$ ，其中 $C_1=1+frac{r}{C},C_2=1+frac{r}{varepsilon}$ 。注意到 $t=0$ 時刻 $-Cleq Rleq -varepsilon$ ，且常數 $r$ 為 $R$ 的積分平均值，故 $-Cleq rleq -varepsilon$ ，從而 $0leq C_1<1, C_2leq0$ 。因此， $F_1$ 單調遞增， $F_2$ 單調遞減， $-C=F_1(0)leq F_1(t)leq R(x,t)leq F_2(t)leq F_2(0)=-varepsilon.forall xin M. tin [0,T)$ ，也即 $-Cleq Rleq -varepsilon$ 一直保持成立。

同時， $frac{-rC_2e^{rt}}{1-C_2e^{rt}}leq r-R(x,t)leqfrac{-rC_1e^{rt}}{1-C_1e^{rt}}, forall xin M, tin [0, T)$ 。注意到 $frac {-r}C=1-C_1leq 1-C_1e^{rt}<1$ ，故 $r-R(x,t)leqfrac{-rC_1e^{rt}}{-r/C}=(C+r)e^{rt}, forall xin M, tin [0, T)$ 。另一邊， $C_2leq 0,1-C_2e^{rt}geq1$ ，故 $r-R(x,t)geq -rC_2e^{rt}=frac r{-varepsilon}(varepsilon+r)e^{rt}, forall xin M, tin [0, T)$ 。令 $widetilde C= max{ C+r, frac{r}{varepsilon}(varepsilon+r)}+1>0$ ，則 $widetilde C$ 為常數，且 $-widetilde Ce^{r t}leq r-R(x,t)leq widetilde Ce^{rt}$ 對任意 $(x,t)$ 都成立，故命題得證。

【推論1】在定理1的條件下，規範化的Ricci流的最大存在時間 $T=+infty$ ，且當 $t o +infty$ 時， $g(t)$ 按照指數速度收斂於一個常負曲率度量 $g(infty)$ 。

【證明】在這個命題的證明中， $C>0$ 代表與時間無關的常數。

若 $T<+infty$ ，則由 Ricci流解的長時間存在性，有限時間奇點的分析的推論1可知， $lim_{t o T}(max_{xin M} |Rm(x,t)|) =+infty$ 。在二維流形上， $Rm$ 可以完全由 $R,g$ 表達出來，即 $R_{ijkl}=frac12R(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl})$ ，由這一表達式可得 $|Rm|^2leq CR^2$ ，從而 $lim_{r o T}(max_{xin M}|R(x,t)|)=+infty$ 。但由定理1我們可知 $|R(x,t)|leq C,forall xin M, tin [0, T)$ ，因此產生矛盾。從而 $T=+infty$ 成立。

進一步，我們可以類似於 Ricci流解的長時間存在性，有限時間奇點的分析，規範化的Ricci流，指數速度收斂來對 $| abla^k R|$ 進行估計，並得到指數速度的收斂；與之前一樣，高階協變微分估計暫時不證明。在此基礎上， $g(t)$ 在 $t o +infty$ 時按照指數速度 $C^infty$ 收斂於一個黎曼度量 $g(infty)$ 。由定理1， $-Ce^{r t}leq r-R(x,t)leq Ce^{rt}, forall xin M. tin [0,+infty)$ ，令 $t o +infty$ 得 $R(infty)equiv r$ ，因此 $g(infty)$ 為常負曲率度量，命題得證。

三、 $chi(M)<0$ ，且 $R$ 不一定小於0 的一般情形

首先，我們考慮任意二維閉流形 $M$ ，引入勢函數 $f$ ， $f$ 滿足 $Delta f=R-r$ 。注意，由於 $R-r$ 在 $M$ 上的積分為0，故由Hodge定理可知這樣的 $f$ 是存在的，且在相差一個常數的意義下是唯一的。如果我們要求 $f$ 在 $M$ 上的積分為0，則 $f$ 是唯一確定的。

【命題1】 $f$ 的發展方程為 $partial_tf=Delta f+rf+b$ ，其中 $b=-frac{int_M| abla f|^2dmu}{int_Mdmu}$ 。

【證明】 $partial_t(Delta f)=partial_t[g^{ij}(partial_ipartial_jf-Gamma_{ij}^kpartial_kf)]=partial_tg^{ij} imes(partial_ipartial_jf-Gamma_{ij}^kpartial_kf)+g^{ij} imes \ [partial_ipartial_j(partial_tf)-partial_tGamma_{ij}^kpartial_kf-Gamma_{ij}^kpartial_k(partial_tf)]$

注意到二維流形上的Ricci流為 $partial_tg=(r-R)g$ ，故由 $0=(partial_tg^{ij})g_{jk}+g^{ij}cdot (r-R)g_{jk}$ 得 $partial_tg^{ij}=-(r-R)g^{ij}$ ，以及 $g^{ij}partial_tGamma_{ij}^k=g^{ij}cdotfrac12g^{kl}[ abla_i((r-R)g_{jl})+ abla_j((r-R)g_{il})- abla_l((r-R)g_{ij})] \ =frac12[ abla^k(r-R)+ abla^k(r-R)-2 abla^k(r-R)]=0$ 。因此 $partial_t(Delta f)=-(r-R)g^{ij}(partial_ipartial_jf-Gamma_{ij}^kpartial_kf)+g^{ij}[partial_ipartial_j(partial_tf)-Gamma_{ij}^kpartial_k(partial_tf)] \ =-(r-R)Delta f+Delta(partial_t f)=(Delta f)^2+Delta(partial_tf)$ 。另一方面， $partial_t(Delta f)=partial_t(R-r)=Delta R+R(R-r)=Delta(R-r)+RDelta f=Delta(Delta f)+(Delta f+r)Delta f$ ，因此 $(Delta f)^2+Delta(partial_tf)=Delta(Delta f)+(Delta f+r)Delta fRightarrow Delta(partial_t f-Delta f-rf)=0$ 。由於閉流形上的調和函數為常數，故對於每個固定的時刻， $partial_t f-Delta f-rf$ 在 $M$ 上都是常數，從而 $partial_t f-Delta f-rf=b$ ， $b$ 為只依賴於時間而與空間無關的函數。

最後，利用 $f$ 在 $M$ 上積分為0的條件可以確定 $b$ ： $0=frac{d}{dt}int_Mfdmu=int_Mpartial_tfcdot dmu+int_M fcdot(r-R)dmu=int_M(Delta f+rf+b)dmu+ \ int_M fcdot(-Delta f)dmu=bint_Mdmu+int_M| abla f|^2dmu$

，從而 $b=-frac{int_M| abla f|^2dmu}{int_Mdmu}$ ，且 $partial_tf=Delta f+rf+b$ ，命題得證。

下面，我們令 $h=Delta f+| abla f|^2,M_{ij}= abla_i abla_j f-frac12Delta fcdot g_{ij}$ 。

【命題2】 $h$ 的發展方程為 $partial_th=Delta h-2|M_{ij}|^2+rh$ 。

【證明】計算 $partial_t| abla f|^2=partial_t(g^{ij}partial_ifpartial_jf)=partial_tg^{ij}cdotpartial_ifpartial_jf+2g^{ij}partial_i(partial_tf)partial_jf= -(r-R)g^{ij}partial_ifpartial_jf \ +2< abla(partial_tf), abla f>=(R-r)| abla f|^2+2< abla(Delta f)+r abla f, abla f>=(R+r)| abla f|^2 \ +2< abla (Delta f), abla f>$

利用命題1的計算結果， $partial_t(Delta f)=Delta(Delta f)+(Delta f+r)Delta f$ ，故 $partial_th-Delta h=(partial_t| abla f|^2-Delta| abla f|^2)+[partial_t(Delta f)-Delta(Delta f)]=r| abla f|^2-2| abla abla f|^2 \ +(Delta f+r)Delta f=rh-2| abla abla f|^2+(Delta f)^2$ 。最後計算 $|M_{ij}|^2=( abla_i abla_j f-frac12Delta fcdot g_{ij})( abla^i abla^j f-frac12Delta fcdot g^{ij})=| abla abla f|^2-2 imesfrac12Delta fcdot g_{ij} imes \ abla^i abla^jf+frac14(Delta f)^2g_{ij}g^{ij}=| abla abla f|^2-(Delta f)^2+frac12(Delta f)^2=| abla abla f|^2-frac12(Delta f)^2$

故 $partial_th-Delta h=rh-2|M_{ij}|^2$ ，命題得證。

【推論2】在任意二維閉流形 $M$ 上的規範化的Ricci流下，存在與時間無關的常數 $C>0$ 使得 $hleq Ce^{rt}$ 以及 $Rleq r+Ce^{rt}$ 對任意時間 $t$ 都成立。

【證明】 $t=0$ 時刻， $h$ 為閉流形 $M$ 上的光滑函數，因此存在常數 $C>0$ 使得 $hleq C$ 在 $t=0$ 時刻成立，此時 $C$ 與時間無關。由命題2， $partial_th=Delta h-2|M_{ij}|^2+rhleq Delta h+rh$ ，故由函數版本的最大值原理可得 $h(x,t)leq F(t),forall xin M, tin [0, T)$ ，其中 $T$ 為規範化的Ricci流的最大存在時間， $F(t)$ 滿足ODE $frac{dF}{dt}=rF,F(0)=C$ 。解此ODE得 $F(t)=Ce^{rt}$ ，故 $h(x,t)leq Ce^{rt},forall xin M, tin [0, T)$ 。又因為 $h=Delta f+| abla f|^2geqDelta f=R-r$ ，故 $R(x,t)leq r+Ce^{rt},forall xin M, tin [0, T)$ ，命題得證。

【定理2】對任意二維閉流形 $M$ 上的規範化的Ricci流，設 $T$ 為最大存在時間，則 $T=+infty$ 。

【證明】反證法。設 $T<+infty$ ，則由推論2知， $Rleq max{r+C,r+e^{rT}}$ 對任意二維閉流形 $M$ 以及任意時間 $tin [0, T)$ 都成立。另一邊，由於 $M$ 為閉流形，故在 $t=0$ 時刻存在常數 $C>0$ 使得 $Rgeq -C$ ，再利用和定理1中同樣的證明方法可知 $Rgeq -C$ 是保持的。因此我們有不依賴於時間的一致的控制 $-Cleq Rleq max{r+C,r+e^{rT}}$ ，利用和推論1中同樣的證明方法可以得到矛盾，因此 $T=+infty$ ，命題得證。

【注1】定理2說明在任意二維閉流形上，規範化的Ricci流都是長時間存在的，不會產生奇點，因此比三維流形上的Ricci流要簡單。

下面回到 $chi(M)<0$ 的情形，此時 $r<0$ 。

【定理3】設 $M$ 為二維閉流形，且 $chi(M)<0$ ，則在 $M$ 上的規範化的Ricci流的最大存在時間 $T=+infty$ ，且當 $t o +infty$ 時， $g(t)$ 按照指數速度收斂於一個常負曲率度量 $g(infty)$ 。

【證明】由定理2知 $T=+infty$ 。由推論2知 $Rleq r+Ce^{rt}$ 對任意時間 $tin [0,+infty)$ 都成立。由於 $r<0$ ，故當 $t$ 充分大時， $Rleq r+Ce^{rt}<0$ ，從而化歸為定理1中的特殊情形，命題得證。

【注2】由定理3可知， $chi(M)<0$ 的二維閉流形上都存在常負曲率的度量（這個命題的逆命題更容易證明，由Gauss-Bonnet定理， $chi(M)=frac1{2pi}int_M Kdmu<0$ ）。

//由於用到黎曼流形的體積元，所以計算應該都是在可定向流形上進行的。對於不可定向流形，在它的可定向的二重覆蓋流形上計算。之前三維流形的情形也一樣。

參考文獻

[1] Chow, Bennett. The Ricci flow on the 2-sphere. J. Differential Geom. 33 (1991), no. 2, 325–334.

[2] Chow, Bennett; Knopf, Dan. The Ricci flow: an introduction. Mathematical Surveys and Monographs, 110. American Mathematical Society, Providence, RI, 2004.

[3] Hamilton, Richard S. The Ricci flow on surfaces. Mathematics and general relativity (Santa Cruz, CA, 1986), 237–262, Contemp. Math., 71, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988.