廣義相對論、黑洞和引力波

08-23

1.前言

2016年2月11日，美國LIGO（激光干涉引力波天文台）科學合作組聯合美國國家科學基金委召開新聞發布會宣布：人類第一次直接探測到了引力波（GW150914）。這次引力波的波源是離地球13億光年遠的兩個黑洞的併合事件。兩個初始質量分別為29和36個太陽質量的黑洞併合為一個62個太陽質量的黑洞，其餘的3個太陽質量的能量以引力波的形式向外輻射出來【1】，觀測結果與愛因斯坦的廣義相對論基本相符【2】。這次引力波觀測具有兩個重大意義：一是人類首次觀測到引力波，證實了愛因斯坦100年前的預言；二是首次觀測到雙黑洞系統，不僅證明宇宙中黑洞是存在的，還會成對出現。2017年諾貝爾物理獎授予了對引力波探測作出重要貢獻的美國麻省理工學院的Rainer Weiss教授和加州理工學院的Barry Barish教授和Kip Thorne教授。引力波的探測又一次極大地激發了人們對廣義相對論的興趣，本文將簡單地介紹廣義相對論，它的兩大預言黑洞和引力波，現代宇宙學標準模型，以及由黑洞的熱力學所啟發的引力全息性質及其在強耦合場論中應用。

2.廣義相對論

引力現象無處不在。1687年，牛頓在其巨著《自然哲學的數學原理》中提出了萬有引力定律。這是人類最早發現的自然規律，它統一了地上的引力現象和天體的運動規律。1905年，愛因斯坦建立了狹義相對論。狹義相對論建立在兩個原理之上。其一是相對性原理，其二是光速不變原理。光速不變原理是指光速在真空中總是以確定的速度轉播，速度的大小與光源的運動狀態無關。而相對性原理是指所有物理規律（除引力外）在所有慣性系中保持相同的形式，或者說所有的物理規律在洛倫茲變換下保持形式不變。在狹義相對論中，慣性系具有優越的地位。愛因斯坦相信所有的物理規律應該在所有參照系中具有不變性。考慮到引力規律的普適性（等價性原理）和馬赫原理，愛因斯坦發現了非慣性系和引力的聯繫，經過大量的努力，終於在1915年11月25日最終得到了現在被稱為的愛因斯坦引力場方程。

Rμν –1/2R gμν = 8πG Tμν

這個引力場方程的左邊描述的是時空的幾何，右邊是時空中的物質。著名物理學家J. Wheeler關於引力場方程有一句著名的論斷：時空中的物質告訴時空如何彎曲，而時空告訴物質如何運動。從牛頓引力到愛因斯坦的廣義相對論是人類對引力本質認識的飛躍，愛因斯坦廣義相對論是關於時間、空間和引力的理論。廣義相對論是人類理性邏輯思維的勝利。一百年來，它通過了各類實驗檢驗，並且基於廣義相對論我們建立了可以描述宇宙物質內容和演化的標準宇宙學模型。理論物理學家朗道說過：「廣義相對論可能是最漂亮的理論」。但是廣義相對論是一個經典理論，它與量子力學還無法自洽地協調起來，此其一。其二，在廣義相對論框架內，時空奇異性無法避免。這些預示著廣義相對論不是關於引力本質的終極故事。人們對引力的本質認識還有很長的路要走。確實，美國《科學》在紀念創刊125周年時列出了125個基礎科學的重要問題，其中之一就是引力的本質問題。與此相關的還有：宇宙的唯一性，什麼驅動了宇宙的暴脹，黑洞的本質以及為什麼時間與空間維度表現的如此不一樣等。引力問題如此之難其根源在於引力理論是關於時間和空間的理論。

3.引力波和宇宙學

1916年愛因斯坦基於其廣義相對論的引力理論，提出存在引力波的預言。引力波是時空的漣漪。引力輻射的最低階輻射是質量的四極矩隨時間的變化引起的，所以引力輻射非常微弱以至於愛因斯坦本人認為引力波可能是不可能觀測到的。儘管愛因斯坦在1916年就預言了引力波的存在性，但直到五十年代中期物理學家們才真正證明引力波攜帶能量，是一個可探測的客觀實在。當一個引力波在時空中傳播時會改變二個相鄰粒子間的距離。據此，人們設計實驗來探測引力波。在六十年代美國的韋伯設計了鋁棒天線來探測引力波並宣稱探測到了引力波。但其他相關的實驗並沒有能夠證實韋伯的結果。在七十年代初Rainer Weiss 和Ronald Drever等科學家提出利用激光干涉的辦法來探測引力波。經過近30年的努力，美國的LIGO項目正是利用了這一方法探測到了引力波。目前，地面引力波探測器有美國的LIGO，義大利的VIRGO, 日本的KAGRA，德國的GE600和印度的LIGO—india（在建），空間引力波探測器有歐洲的LISA(在建)，中國的太極和天琴計劃，日本的DECIGO，美國的BBO等。目前中國的太極計劃和天琴計劃的關鍵技術正在積極研發中。LISA pathfinder 已於2015年12月2日發射成功，關鍵技術得到了驗證。到目前為止，LIGO團隊（和VIRGO）已經觀測到六次黑洞碰撞產生的引力波事件。另外，特別有意義的引力波事件GW170817是雙中子星碰撞產生的引力波，它開啟了引力波和電磁信號協同觀測的時代。

引力波的波源非常豐富，基本可以分成兩類：宇宙學的和天體物理過程的。宇宙學的引力波源主要有早期宇宙暴脹過程產生的時空量子漲落產生的引力波隨機背景和宇宙演化過程中相變產生的引力波；天體物理過程的引力波源有緻密雙星系統，超新星爆炸，非對稱性中子星的旋轉等。引力波的頻率也非常寬，從宇宙暴脹產生的原初引力波10^(-16)Hz到恆星級雙星系統產生的引力波10^（3）Hz, 甚至更高頻率的引力波。根據引力波的頻率，探測方法也不同，有探測原初引力波的宇宙微波背景中的B模式極化，納赫茲引力波的脈衝星測時陣列，毫赫茲引力波的空間激光干涉探測，以及高頻引力波的地面激光干涉探測等。

引力波物理內容非常豐富。它涉及到基礎物理，宇宙學和天體物理【3】。引力波波源是極端條件下（高溫，高密，高磁場）物理現象和物質性質的宇宙實驗室。引力波的性質記錄了引力波源的物理過程。譬如宇宙暴脹時期產生的引力波記錄了宇宙暴脹物理，如暴脹發生的能標；粒子物理標準模型中弱電相變如果是強一階相變，這一過程會產生空間引力波探測器所敏感的毫赫茲頻率引力波。這一隨機引力波背景能夠反演出希格斯勢的整體性質。另一方面，引力相互作用很弱，引力波一旦產生，它幾乎自由地在宇宙中傳播。所以引力波又是考查宇宙演化歷史的探針。

大量的天文觀測表明，我們現在的宇宙由大約5%的帶電重子物質，27%的暗物質和68%的暗能量組成。和諧宇宙模型認為在宇宙極早期（大約為宇宙誕生的10^(-32)秒左右）經歷過一個暴漲時期，在一個極短的時間內，宇宙的大小至少膨脹了10^（26）倍，在宇宙暴漲過程中產生的標量量子漲落是現在觀測到的宇宙大尺度結構的原始種子，而張量漲落形成所謂的原初引力波，在宇宙微波背景中形成獨特的印記—B模式極化。粒子物理標準模型可以很好地描述宇宙中5%的發光物質，而對暗物質和暗能量的性質，我們還知之甚少。另外，我們對宇宙早期什麼使得宇宙發生了暴漲還不清楚，暴漲模型預言的原初引力波還沒有被觀測到。這些也是本世紀物理學的重大科學問題。

現代宇宙學的暴脹理論不僅解決了熱大爆炸宇宙模型中存在的一些疑難，而且預言的原初密度擾動為宇宙大尺度結構的形成提供了原初種子，同時十分自然地解釋了宇宙微波背景輻射的溫度漲落。然而，什麼驅動了宇宙早期的暴脹（或者說暴脹場的物理本質）仍然是一個目前理論物理學家和宇宙學家積極研究的課題。該問題也被美國《科學》雜誌列為二十一世紀有待解決的125個基本科學問題之一。此外，暴脹發生時的能標仍然不能被確定，目前宇宙微波背景輻射觀測數據只能告訴我們暴脹發生能標的上限。

最近，我們研究了一類具有尖角勢函數的暴脹模型。這樣一類尖角勢函數可以在超弦理論中的一些非微擾效應中出現。他們發現該模型產生的原初密度擾動和原初引力波與目前的宇宙微波背景輻射觀測數據一致，在暴脹結束的宇宙重加熱階段能夠產生具有雙峰結構的隨機引力波能譜【4】。該能譜與一般的暴脹場產生的單峰能譜顯著不同；該預言能夠被將來的LIGO實驗所檢驗。暴脹結束後暴脹場在尖角勢函數的極小值點附近震蕩，由於勢函數的二階導數是狄拉克函數，暴脹場的能譜在動量空間一些區域隨時間劇烈增長，產生大量的能量聚集的震蕩子結構，暴脹場自身變得極不均勻。這種空間不均勻的結構導致了很強的隨機引力波背景的產生。

尖角勢函數的暴漲勢能

引力波能譜的雙峰結構

4. 黑洞、引力的本質和引力的全息性質

黑洞是廣義相對論最重要的預言之一，是一類非常特殊的天體。黑洞最重要的性質是黑洞具有熱力學性質。上世紀七十年代初，貝肯斯坦（J.Bekenstein）基於熱力學第二定律提出黑洞具有熵，並證明黑洞熵正比於黑洞的視界面積。1974年霍金證明黑洞並不黑，它會以熱輻射的形式向外輻射粒子，並證明了黑洞的溫度正比於黑洞的表面引力。黑洞的溫度和熵預示著黑洞就是一個普通的熱力學體系，具有黑洞熱力學四個定律。但是黑洞的熵公式預示著引力非常不同於自然界中的其他三類相互作用。黑洞熱力學暗含著熱力學和引力的動力學存在本質的聯繫。確實我們證明了從熱力學第一定律出發可以推導出描述宇宙演化的動力學方程，即Friedmann方程【5】；證明了宇宙視界具有霍金熱輻射【6】。另外，諾貝爾物理獎獲得者特胡夫特（G.』tHooft）在1993年提出引力具有全息性質的概念，1994年薩斯坎德（L. Susskind）進一步發展了引力的全息概念。所謂引力的全息性質是指一個引力體系的自由度由該體系的表面面積測度，一個引力理論可與一個低一維的非引力理論等價描述。1997年底，基於超弦理論的非微擾性質研究，馬達西那（J.Maldacena）提出了第一個實現引力全息描述的具體例子【7】：在一個反德西特時空上的引力理論等價於其邊界上的共形場論。這就是著名的AdS/CFT對偶性。一個具體的例子是一個五維的反德西特時空（帶一個緊緻的五維球）上的IIB的超弦理論等價於在這個五維反德西特時空邊界上的一個四維的N=4超對稱Yang-Mills 場論。這個對偶性具有重要的科學意義。一是對引力本質的深刻認識；二是基於該對偶性的弱強對偶性質，利用弱耦合的引力理論可以理解一些強耦合的非引力體系的性質。它提供了一種非常有效方法。例如利用反德西特時空中的引力理論，人們可以用來理解低能量子色動力學，凝聚態物理中的高溫超導等體系的性質。確實，這也是引力理論及其相關領域在最近二十年來研究最活躍的課題，並取得了一些非常重要的進展。例如，對夸克膠子等離子體的性質研究，利用AdS/CFT對偶性，計算髮現夸克膠子等離子體的剪切粘滯係數與熵密度之比為1/4π。特別是利用Gauss-Bonnet 黑洞【8】計算得到的剪切粘滯係數與熵密度之比非常接近於實驗觀測值【9】，而基於弱耦合的色動力學計算則偏差很大。利用AdS/CFT對偶性研究量子物態的性質是目前重要的研究方向。高溫超導作為一個強關聯量子多體系統對傳統的固體量子理論提出了嚴峻挑戰。高溫超導的典型特徵是存在各種不同自由度的有序態與超導態緊密交織在一起，闡明這些電子有序態的起源及其與超導態的關聯對於理解高溫超導機制具有重要意義。其中一個研究熱點是庫珀對密度波:(既使在沒有外磁場情況下)庫珀對密度在空間上出現周期性調製，進而誘導電荷周期性分布，形成電荷有序態。

最近我們從有效場論角度出發構建了庫珀對密度波的全息模型【10】。通過解析和數值方法得到了自發破缺空間平移對稱性和U(1)規範對稱性的帶毛黑洞解，包括一維的條紋相和兩維的晶格相。這些新穎的帶毛黑洞對偶描述了無外磁場情況下庫珀對密度波以及其誘導出的電荷密度周期性調製，揭示了低溫有序態獨特的互相交織的行為可能根植於量子臨界金屬強烈的糾纏性質。同時模型還預言了宇稱的自發破缺，這與最近高溫超導中的實驗觀測一致。該模型在理論上為實現和研究強關聯情況下的電子有序態及其與超導相的關係提供了新的視角。

左圖和右圖分別給出了從全息模型得到的棋盤格狀的超導凝聚和電荷密度的空間調製，其中箭頭代表自發流密度的分布。

利用引力的全息性質來研究凝聚態物理中的一些問題特別是全息超導模型及其性質可以參看綜述文獻【11】。

【參考文獻】

【1】B.P.Abbott et al，Phys.Rev. Lett. 116 (2016) 061102

【2】B.P.Abbott et al,Phys. Rev. Lett. 116(2016) 221101

【3】R.G.Cai et al, Natl.Sci.Rev.4 (2017) 687

【4】J.Liu et al, Phys. Rev. Lett. 120 (2018)031301

【5】R.G. Cai and S.P. Kim, JHEP 0502 (2005)050

【6】R.G.Cai et al, Class. Quant. Grav. 26(2009) 155018

【7】J. Maldacena, Adv. Theor. Math. Phys. 2(1998) 231

【8】R.G.Cai, Phys. Rev. D 65 (2002) 084014

【9】M. Brigante et al, Phys. Rev. Lett. 100(2008)191601

【10】R.G.Cai et al, Phys. Rev. Lett. 119(2016) 181601

【11】R.G. Cai et al, Sci. China Phys. Mech.Astron. 58 (2015)060401.

註：本文根據作者在中國科學院第十九次院士大會數理學部學術報告會上的報告整理而成。