PBRT-E2.8-應用變換

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PBRT中可以被應用變換的對象有：點（Points）、向量（Vectors）、法向量（Normals）、射線（Rays）和包圍盒（Bounding boxes）。

PBRT中使用的是列向量，如果你使用的是列向量記得轉置下面給出的矩陣。

點（Points）

在對點進行變換時我們用其次坐標將其表示為列向量 ，然後使用變換矩陣 左乘該列向量即可得到變換後點的其次坐標：

最後通過除以權重 得到變換後點的非齊次坐標：

向量（Vectors）

向量的變換和點的變換類似，唯一的區別在於向量其次坐標的權重 為 而點的權重 為 ：

由於對向量進行平移變換是沒有意義的，因此變換矩陣 第四行的前三個元素都為 ，得到的其次坐標的權重 也為 。因此我們可以只計算矩陣 的左上角的 的子陣與向量 的乘積，這樣只需要計算 次加法和乘法。

法向量（Normals）

對法向量的變換與點和向量不同，如果直接用變換矩陣去左乘，得到的結果如圖（b）所示，法向量不再與曲面垂直，而我們所期望的正確結果應該是像圖（c）那樣的。

我們知道曲面上任意一點處的法向量 與該處的任意一個切向量 是相互垂直的：

當我們對曲面上的點進行變換 後，該點處變換後的切向量 應該為 。變換後的法向量 可以表示 ，這裡 為另一個變換矩陣。由於變換後的法向量和切向量仍然是相互垂直的，所以：

由上面兩個式子可以知道：

因此：

這樣我們就得到了法向量的變換矩陣 。

射線（Rays）

由於射線是通過原點（Origin）和方向（Direction）進行定義的，因此只需要按照對點和向量進行變換的方法分別對其進行變換即可。

包圍盒（Boundings boxes）

對AABB（Axis-aligned bounding box）進行變換的方法是先對其8個頂點進行變換，然後再計算出一個新的包裹了變換後8個頂點的包圍盒。

變換的組合

考慮對一個向量先後進行變換 、 和 ，即 ，則我們可以用一個矩陣 來表示這個組合變換：

根據矩陣的性質，組合變換的逆變換為：

變換對坐標系統手性的影響

某些對標架的變換會改變坐標系統的手性，即坐標系統從左手系變成了右手系或從右手系變成了左手系，因此我們往往需要知道變換是否會改變手性。

而判斷變換是否改變手性的方法非常簡單：當變換矩陣左上角的 的子陣行列式的值為負時，變換會改變坐標系統的手性。