積分運算-矢量分析

08-23

積分運算-矢量分析

來自專欄電動力學導論1 人贊了文章

一、線、面和體積元

1.1線積分： $[int_{ap}^b {v cdot dl} ]$

1.2面積分： $[int_S {v cdot da} ]$

1.3體積分： $[int_ u {Td au } ]$

二、有關梯度、散度和旋度的基本定理

2.1：梯度： $[int_{ap}^b {left( { abla T} ight) cdot dl} = Tleft( b ight) - Tleft( a ight)]$ ，顯然梯度的線積分不依賴路徑的。

推論1： $[int_a^b {left( { abla T} ight) cdot dl} = Tleft( b ight) - Tleft( a ight)]$ 不依賴從a點到b點的路徑。

推論2： $[oint {left( { abla T} ight) cdot dl} = 0]$

2.2：散度： $[int_ u {left( { abla cdot v} ight)d au } = oint_S {v cdot da} ]$ ，三個稱號：高斯定理、格林定理、散度定理。

幾何解釋： $int_{}^{}體積內所有龍頭的流量=oint_{}^{}流出表面的流量$ 。

2.3：旋度： $[int_S {left( { abla imes v} ight) cdot da} = oint_p {v cdot dl} ]$ ，也稱斯托克斯定理。

推論1： $[int { abla imes v cdot da} ]$ 僅依賴於邊界線，而與所選的面無關。

推論2： $[oint { abla imes v cdot da} = 0]$ 對任何閉合面都成立，因為閉合面的邊界線像氣球的嘴一樣，收縮為一個點，因此公式右邊的線積分為零。

三、分部積分

$[int_a^b {fleft( {frac{{dg}}{{dx}}} ight)dx} = - int_a^b {gleft( {frac{{df}}{{dx}}} ight)dx + fgleft| {_a^b} ight.} ]$ ，它是涉及一個函數f和另一個函數g導數乘積的積分；分部積分指出，你可以把對g的導數轉換為對f的導數，代價是一個負號和一個邊界項的出現，同理可以推廣到體積微元向面微元，面微元向線微元的轉換。

推廣： $[int_ u {fleft( { abla cdot A} ight)d au } = - int_ u {A cdot left( { abla f} ight)d au } + oint_S {fA cdot da} ]$

四、狄拉克 $delta$ 函數

4.1：一維狄拉克函數

定義： $[delta left( x ight) = left{ egin{array}{l} 0,{ m{ }},,,x e 0\ infty ,{ m{ }}x = 0 end{array} ight.]$

並且它的積分是： $[int_{ - infty }^{ + infty } {delta left( x ight)dx} = 1]$ 。

推廣： $hetaleft( x ight)$ 為階梯函數， $[ heta left( x ight) = left{ egin{array}{l} 1,{ m{ }}x > 0\ 0,{ m{ }}x le 0 end{array} ight.]$

$[ Rightarrow frac{{d heta }}{{dx}} = delta left( x ight)]$

4.2：三維狄拉克函數

$[{delta ^3}left( r ight) = delta left( x ight)delta left( y ight)delta left( z ight)]$ ，這個三維 $delta$ 函數除了在點 $[left( {0,0,0} ight)]$ 為無限大外，處處為0.它的體積分為1：

$[int_{all,space} {{delta ^3}left( r ight)d au } = int_{ - infty }^{ + infty } {int_{ - infty }^{ + infty } {int_{ - infty }^{ + infty } {delta left( x ight)delta left( y ight)delta left( z ight)dxdydz} = 1} } ]$

性質： $[ abla cdot left( {frac{{hat r}}{{{r^2}}}} ight) = 4pi {delta ^3}left( r ight)]$ ，更一般地， $[let,{ m{ }}eta = r - {r_0}, abla cdot left( {frac{{hat eta }}{{{eta ^2}}}} ight) = 4pi {delta ^3}left( eta ight)]$

根據： $[ abla left( {frac{1}{eta }} ight) = - left( {frac{{hat eta }}{{{eta ^2}}}} ight)]$ ,所以有： $[{ abla ^2}left( {frac{1}{eta }} ight) = - abla cdot left( {frac{{hat eta }}{{{eta ^2}}}} ight) = - 4pi {delta ^3}left( eta ight)]$

五、矢量場理論

5.1：亥姆霍茲定理

根據散度： $[ abla cdot F = D]$ ，旋度： $[ abla imes F = C]$ ，（旋度的散度總是為零） $[ abla cdot C = 0]$ ，還不足以確定矢量函數F，要解一個微分方程，還必須有適當的邊界條件。在電動力學中我們一般要求場在「無限遠處」（遠離所有的電荷）趨於零。（注意一些特殊性，在這種情況下通常的邊界條件不適用，必須由所給問題的對稱性去唯一確定場。），有了這些額外信息，亥姆霍茲定理保證場可以由它的散度和旋度唯一確定。