無窮大能比大小嗎

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無窮，超越了人類直觀想像的極限。從幾千年前的哲人開始，悖論敲打著理性的頭腦。研究實用學問的人都小心翼翼地繞開，直到牛頓以物理的腳步跨越了冥想中阿基里斯無法邁過的間隙。在微積分打開的燦爛世界裡，數學家仍然憂心忡忡地觀察牛頓閉著眼睛跨過的間隙，企圖在這不可知的深淵上架起一座橋樑。這最根本的基石落在了集合論上。

無窮大指比任何自然數都要大的量，要了解這個量是怎麼來的，就要從集合談起。集合論是現代數學的基礎。無窮集合的處理決定了極限、測度、分析、概率、幾何，這些嚴謹理論的理解。學理工很多人接觸過無窮集合的概念，也許知道些背後的公理，只是一般的課程都語焉不詳，網上文章抄來抄去，在表面字義上引申發揮。其實這些知識並不深奧，與其霧裡看花，不如花一點時間在邏輯上弄懂。這篇普及文只假定你有簡單的集合概念【1】，除此不需要其他預備知識，按照純數學教科書證明的思路，加上點形象的說法，讓你很快了解這裡的概念，從邏輯上想通之間的關係。要想有收穫，下面內容要在頭腦用邏輯里過一遍。

有限集合和自然數集合的元素，都是可以被逐個數到的。如果一個集合里的元素都能夠按某種次序數到，在數學上稱為「可數的」（Countable），這集合便稱為「可數集」或「可列集」。 整數是可數的，因為從0開始，依1、-1、2、-2、3、-3…，一正一負地走遠，任何整數都能按這規則被數到。偶數可以用同樣方法數過，它也是可數的。輪流對兩個集合上元素依序點數走遍全體，說明了可數集的並集也是可數的。這個通俗化的語言定義中有個關鍵詞「被數到」，就是說集合中任何一個具體的元素，都會按這規則對應著一個有限的序數。

由集合可以定義一個數，稱為集合的「基數」或者「勢」（Cardinal number），集合A的勢記為|A|。有限集合的勢是集合中元素的數量，是個正整數。自然數集合N有無窮多個元素，數量是無窮大，它的勢記為?0（這個希伯來字母?念作「阿列夫」），|N|=?0。空集的勢是0， |?| =0。

勢能比較嗎？康托爾（Cantor）提出個一一對應的辦法。如果兩個集合的元素存在著一個一一對應的關係【2】，即如果按照某種規則，一個集合中任何一個元素都能在另一集合中找到唯一的一個元素與之相應，反過來也一樣，則說這它們的勢相等。如果集合A對集合B有這樣的對應規則，則集合B的勢可能比A大，記為|B|≥|A|；但反過來時卻沒有這樣對應規則的，則說集合B的勢比A大，記為|B|>|A|，俗稱集合B比A多。例如：每個公民有張身份證，公民的集合和身份證的集合等勢；5個蘋果的集合比紅、黃、綠3種顏色的集合勢大；網上馬甲集合的勢比博主集合的勢大；?0 > n，n是任何自然數。不難證明勢的大小關係「≥」和「>」如同自然數的大小一樣，具有反對稱性和傳遞性；「≥」還有返身性。

在可數集的定義中，集合的元素被逐個數到的辦法，就是它與自然數一一對應的映射，所以可數集的勢都是一樣的，與自然數等勢，為?0. 我們知道偶數只是整數的一部分，自然數也只是整數的一部分，它們都是可數集，勢相等。這是無窮集合的一個反直覺的性質：局部可以和全體一樣多！所以，涉及到無窮時必須很小心，直覺不可靠，只能憑藉於邏輯了。

有理數也是可數的。將不可通約的正的真分數，按照分母和分子從小到大排列如下：

1/2，1/3，2/3，1/4，3/4，1/5，2/5，3/5，4/5，1/6，5/6，1/7，2/7，……

這樣它們任何一個都能無一遺漏地被數到，即正真分數是可數的。所有大於1的分數都是正真分數的倒數，這倒數一一對應說明了它們等勢，都是可數的。有理數是這兩者的並集，再加上0和1。前面說過，可數集的並也是可數的，這就證明了，有理數集合Q也是可數的，|Q|=?0。

無窮集合都是可數的嗎？不，實數就不是。這個證明如下：

假如（0，1）區間的實數也是可數的，那麼這裡任何一個實數對應著一個自然數n，排成一個序列，表中第n個實數就可以表示為F(n)=0.a(n,1)a(n,2)a(n,3)...，這裡a(n,k)是序列中F(n)的第k位小數的數字。現在定義一個新的實數b=0.b(1)b(2)b(3)...，其中的b(k)=7如果 a(k,k)=5，否則 b(k)=5。因為b的每一位小數都和順序表中任何一個實數不一樣，這個b不可能在這表中。但順序表假定是列出了所有（0，1）區間的實數。這個矛盾證明了實數是不可數的。

這是康托爾在1891年的證明用的「對角線法」技巧，其邏輯精彩絕綸，自此以後它的思想被大家借用，解決了一些難題。哥德爾的不完備性定理，其關鍵部分也是用了對角線法的思想。如果你還一下子轉不過來，我再舉例說明這個精妙的思想。

如果小於1的正實數是可數的，它可以按某種次序列表出來，比如說這次序表的前6個如下：

F(1)=0.3132789…

F(2)=0.5674321…

F(3)=0.3355212…

F(4)=0.9823133…

F(5)=0.0042523…

F(6)=0.3214563…

……

為了醒目，我將其中的對角線元素a(k,k)用黑體字表示。現在新造出一個實數b來，這個b的第k位小數，是根據順序表中，第k個實數的第k位的數值（這對角線上的黑體數字）而定，按照上面說的規則構造出的實數是b=0.557575…

這個數b不可能在這順序表中，因為它如果是表中第n個實數，b=F(n)，那它們的第n位小數不相等a(n,n)≠b(n)，這是構造b時挖的坑，矛盾了。也就是說實數不是可數的。自然數是實數的一部分，所以實數的勢比自然數和有理數大。稱為不可數集。實數R的勢，稱為連續統的勢，記為c，|R|=c >?0.

有理數和無理數的並集是實數，有理數是可數的，實數是不可數的，所以無理數也是不可數的。無理數比有理數多，而且「多得多」！

能夠成為整係數代數方程根的實數稱為代數數，不是代數數的實數稱為超越數。當人們正在討論是否存在超越數時，康托爾手裡還沒有一個超越數，通過證明代數數是可數的，他就敢斷言超越數不僅存在而且是不可數的多。

這集合的勢有沒有上限？康托爾說沒有。把集合A的所有子集看成一個新的集合，記為2A，康托爾以構造羅素悖論的相同思路，用反證法證明了|2A |>|A|，這稱為Cantor』s theorem。集合A的所有子集的勢也可以記為2|A| =|2A |，當A是有限集合時，不難驗證這個整數意義下的等式成立。

實數可以用0和1來表示，每一個實數中的數字為1的位數集合，比如說10.101，一一對應著整數的一個子集，例如是{2，-1，-3}，也就是實數與可數集上所有子集集合的勢相等，c=2?0。

所有集合的勢都可以比較嗎？對有限集合肯定沒問題，無窮集合中的可數集，實數集，集合和它子集的集合，上面都給出了肯定的答案。其他的無窮集的勢呢？它們也是無窮大，既然有不同的無窮大，它們都能比較嗎？用數學的術語來說是：集合勢的大小關係是良序的嗎？這個問題在樸素集合論中不能回答，也不能在ZF公理系統【3】中得到答案，人們在ZF中增加了一條公理叫選擇公理CH，它與良序性等價。有了它所有的集合勢就都可以比較了。

接下去第二個問題，到底有沒有集合的勢在c 和 ?0之間？康托爾認為沒有，這稱為連續統假設CH。【4】更強的廣義連續統假設GCH是說在|2A |和|A|之間不存在著其他的勢。哥德爾在1940年證明了這個假設與集合論ZFC公理下是不矛盾的，科恩在1963年證明了它們是獨立的。至今這個問題仍被人們討論。【4】

至此，無窮大的比較問題似乎已經有了清楚的答案，雖然在公理的依據上有些爭論。這是主流數學家對這個問題的答案，在這個基礎上建立起了現代數學的大廈。

上述無窮大的反直覺的性質，讓一些喜歡直覺的人很不舒服。他們認為無窮集合不能像有限的那樣，可以逐個檢查驗證，上面結果的幾個關鍵證明，都是採用反證法的思辨。荷蘭數學家布勞威爾認為經典邏輯是從有限集合的數學抽象出來，沒有理由運用到無窮集合中。1908年，他反對把排中律運用於無窮集合上，也就是說在無窮情況下，不能用反證法。抽去了反證法這個支柱，這個無窮集合勢的大廈轟然崩潰。現代數學的大部分結果都要重新考證。他認為除了可數集合之外，沒有其他無窮集合，數學無窮集合只有一個勢，即可數無窮。只有一種無窮大！

康托爾幾乎憑藉著一己之力掀起思想革命，提供了平定數學界混亂的基礎，當時的數學領袖希爾伯特信心滿滿地帶領大家在上面建造新的大廈，布勞威爾的宣言幾乎是破壞這安定團結的反動，將數學帶回這革命前的混亂，希爾伯特終於忍無可忍地回應：「把排中律排除在數學之外，就像禁止拳手使用拳頭。」布勞威爾激進的性格終於使得這矛盾不可協調，被排斥出主流數學界。

布勞威爾是數學直覺主義的創始人，堅持所有數學對象必須是可以構造的，不能用排中律。上世紀三十年代初，由於哥德爾的工作，一些數學家開始重視直覺主義，但與主流數學的汪洋大海相比，直覺主義與後來比較溫和的構造主義取得的成果就非常有限了。最令人尷尬的是，布勞威爾一生最偉大的成就——布勞威爾不動點定理，卻是用自己所極力反對的，非構造性的方法來證明的。

我們在這裡看到數學的矛盾和爭論，看到反覆斟酌的公理。有人疑惑到底這些公理對不對？到底是信仰還是事實，在矛盾之中，哪個是真理？這是對數學不理解了，數學的研究是從一些非常基本的假設中，應用邏輯來看能夠走多遠，能夠得到什麼有用的結論。這些假設只要是自洽的，無關對錯，只關是否有用，能否在應用時被接受。構成數學體系稱為公理的假設，很多是非常基本近乎定義性的同語反覆。還有一些公理被引入，是為了修補支撐已在實踐中被廣泛應用的數學結果和工具。被排斥的一些公理，不是因為錯了，而是假設太強了，在這假設下得不到足夠廣泛有用的結果。

喜歡數學對一些基礎問題感興趣的朋友，建議花點時間學習「點集拓撲」，即使是只學一兩章也可以受益無窮，上述關於無窮集合的內容，只佔General Topology【5】，第一章的中間部分，不到幾頁的內容，除了邏輯的頭腦，幾乎不需要其他基礎。現代的分析數學是建立在在點集之上，由子集定義開集，用開集構造拓撲空間，引進鄰域，在此定義收斂，連續，緊，距離，連通性，各種空間。數學系統所的程代展和我都曾經在國內修過分析和泛函，到美國第一年學了兩個學期的拓撲，像中學生一樣一道道題做，把各塊石頭都摸過，這讓我們對數學有種脫胎換骨的感覺。在這個基礎上重學了測度、隨機過程、微分幾何才覺得腳下是堅實的基礎，一切概念和原理都可以回溯追問到集合的公理為止。這時候才感到：數學，不是教你怎麼計算的，而是怎麼引進假設，合乎邏輯地思考。

作者：應行仁