無窮的無窮：整數的緊化

08-22

無窮的無窮：整數的緊化

我們知道一個拓撲空間的緊化不是唯一的，最簡單的是一點緊化，這裡要介紹的是最普適的Stone-Cech緊化。其初衷在於給一個拓撲空間萬有性質，我們隨後會給出整數的Stone-Cech緊化的奇妙性質。

Tm 1. 任一拓撲空間X，總可以映射到一個緊Hausdorff空間 $eta$ X ，滿足對於任何一個緊Hausdorff空間K，以及連續映射f：X $ightarrow$ K ，都有唯一的 $eta$ f: $eta$ X $ightarrow$ K 使得下面這個圖是交換的

這個 $eta$ X 總是存在，而且在同胚意義下唯一。存在性的證明依賴於選擇公理。

如果X是緊的，那麼這個緊化自然就是X。

如果X是局部緊Hausdorff空間，那麼X嵌入到 $eta$ X 的一個開的稠密子集，這個性質特好。

關於Z（是局部緊的）的Stone-Cech緊化 $eta$ Z 我們先不加證明地給出幾個拓撲性質：

$eta$ Z 不是列緊的，不是第一可數的，不是可度量化的。

它和Z的拓撲性質差別很大。但由於它是緊Hausdorff的，其net/filter總有極限。

我們把整數加法擴充到 $eta$ Z上，即

$p+q:=lim_{a ightarrow p}{}lim_{b ightarrow q}{a+b}，p,qineta Z$

現在可以開始利用Tm 1，先考慮一個相貌平平的緊化｛- $infty$ ｝ $cup$ Z $cup$ ｛ + $infty$ ｝,給它添加運算 a+(+ $infty$ )=+ $infty$ ，- $infty$ +a=- $infty$ , $forall$ a $in$ $eta$ Z。這個加法變成了非交換的，構成一個半群。這個看起來不好的運算會給我們帶來便利。我們把這個緊化套進 Tm1. 的 K ，Z作為X，通過f 嵌入到K，讓相關的映射都是半群同態，此處 $eta$ f即是投影，保持Z的部分不變。由此我們可以證明兩個很特別的性質：

Tm 2. $eta$ Z 關於加法是非交換的，確切地說， $eta$ Z 的中心是 Z 。

Tm 3. 任意 p,q $in$ $eta$ Z,都有 p+q $in$ $eta$ Z 。

從Tm 2.可以看出加法定義里的兩個極限是不能交換的，而且是左連續的，或曰往左邊加上q是個連續運算元。

$eta$ Z 里的元素看起來性質怪異，而且不可名狀，因其不是Z中的數列極限（不是列緊的）。