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微積分數學高等數學大學課程

（回憶大學所學）常微分方程

08-22

（回憶大學所學）常微分方程

來自專欄回憶大學所學（數學篇）12 人贊了文章

一、基本概念

在學習常微分方程之前，我們先了解一些基本的概念；我們在中學的時候都學過解方程（如： $x^2+5=0$ ），不過那都是函數方程（ $f(x)=0$ ，即含有未知數x的方程）。

因此，我們就引出了一個新的概念，什麼是微分方程？

（1）微分方程：未知函數及其導數或微分的關係式，如： $y+5y=3x (y=f(x))$ ）。

由此，我們便可知道函數方程是關於未知數x的，而微分方程是關於x的導數或微分的；微分方程的英文名叫differential equation，簡稱D.E.。

我們這一章複習的是常微分方程，什麼是常微分方程呢，這個「常」又代表什麼呢？

（2）常微分方程：一個未知函數及其導數或微分的關係式，如： $f(x)-7f(x)=0$ 。

這個「常」（Ordinary）表示平常，也就是在一般情況（理想情況）下的微分方程，即只有一個未知函數；正是因為如此，所以我們在尚未進行特殊說明的情況下，默認D.E.表示常微分方程。

既然我們已經知道了什麼是常微分方程了，那麼它的解又是什麼呢？（有問題，就應該有答案啊）

（3）解：能使D.E的關係式恆成立的函數，形如 $y=f(x)$ 。

先回顧一下我們熟悉的函數方程，它的解是什麼？是滿足函數關係式的未知數，也就是 $x=C$ （C一般為常數）；不難推出D.E.的解也是要滿足關係式，是長成 $y=f(x)$ 這個樣子。

（4）通解：帶有常數C的解，如： $y=C_1x^2+C_2e^x$ （有兩項）。

（5）通積分：隱函數形式的通解，如： $f(y) = C_1x^2 + C_2e^x$ 。

註：某D.E.通解的項和該D.E.的階相同，即二階D.E.的通解就有兩項，下文會介紹什麼是階。

① $(y)^2 + p(x)y = 0$ 和② $y + p(x)y + q(x)y = f(x)$ 有什麼區別呢？

（5）階：D.E.中的最高階導數或微分稱為這個D.E的階，如：①是1階，②是2階。

（6）齊次：D.E.中不含未知函數和常量，如：①是齊次，②是非齊。

（7）線性：D.E中的導數或微分只有一次，如：①是二次，②是一次。

註：「線性」這個概念在代數上一般都是指一次，如： $y=3x$ 就是線性的，而 $y=x^2$ 是非線性的；從幾何上看也很好理解， $y=3x$ 是一條直線，而 $y=x^2$ 是一條曲線。

（8）定解條件：其實就是一些已知信息，能用來確定解中的常數C。

（9）初始條件：定解條件中最常見的一種，給出初始條件的問題稱為初值問題，也叫柯西問題。

（10）特解：常數C確定後的通解，稱為特解，比如由定解條件確定常數C。

最後，我們來看一下D.E.的兩種表現形式。

（11）顯函數形式： $y^{(n)} = f(x,y,y,y,...,y^{(n-1)})$

（12）隱函數形式： $f(x,y,y,y,...,y^{(n)}) = 0$

二、求解D.E.

好，我們現在已經了解了有關常微分方程的基本概念，那麼我們應該如何去求一個常微分方程的解呢？（一般是求通解，在特定條件下會是求特解）

為了能快速的求解D.E.，通常把D.E分為以下幾個類型。

（1）可分離變數型：形如 $frac{dy}{dx} = p(y)q(x)$

首先，分離變數： $frac{1}{p(y)}dy = q(x)dx$

然後，兩邊積分： $intfrac{1}{p(y)}dy = int q(x)dx +C$ （注意：自變數一端加常數C，而不定積分的結果就不要加C了）

最後，計算結果。

（2）齊次型：形如 $frac{dy}{dx} = f(frac yx)$

首先，換元法：設 $u=frac yx$ ，則 $y=xu, frac{dy}{dx} = (xu) = u+xfrac{du}{dx}$

然後，原式就變成： $u+xfrac{du}{dx} = f(u)$

現在就和分離變數型一樣了，如法炮製。

就先，分離變數： $frac{1}{f(u)-u}du = frac 1x dx$

接著，兩邊積分： $intfrac{1}{f(u)-u}du = intfrac 1x dx + C$

最後，計算結果。

（3）一階齊次線性型：形如 $y + p(x)y = 0$

直接套用公式： $y=Ce^{-int p(x)dx}$

下面我們來推導這個公式：

$y + p(x)y = 0Rightarrow frac{dy}{dx}=-p(x)yRightarrow frac 1ydy = -p(x)dxRightarrow intfrac 1ydy = int -p(x)dx+C_1$

$Rightarrow ln|y| = int -p(x)dx+C_1Rightarrow |y| = e^{C_1}e^int -p(x)dxRightarrow y = pm e^{C_1}e^int -p(x)dx$

$Rightarrow y = Ce^int -p(x)dx$

（4）一階非齊線性型：形如 $y + p(x)y = q(x)$

直接套用公式： $y=(int q(x)e^{int p(x)dx}+C)e^{-int p(x)dx}$

這裡就不推導了，麻煩。

上面我們求解的都是一階D.E.，下面我們來看看高階D.E如何求解（主要以二階為例）。

（5）可降階型（雙缺）：形如 $y^{(n)} = f(x)$

由基本概念中「某D.E.通解的項和該D.E.的階相同」可知， $y^{(n)} = f(x)$ 的解為：

$y = f(x)Rightarrow y = int f(x)dx +C$

$y = f(x)Rightarrow y= int f(x)dx + C_1Rightarrow y = iint f(x)dx^2 +C_1x + C_2$

$y = f(x)Rightarrow y= int f(x)dx + C_1Rightarrow y = iint f(x)dx^2 +C_1x + C_2Rightarrow y = iiint f(x)dx^3 +C_1x^2 + C_2x + C_3$

以此類推：

$y^{(n)} = f(x)Rightarrow y = iiint...int f(x)dx^n +C_1x^{n-1} + C_2x^{n-2} + ... +C_{n-3}x^2 + C_{n-2}x + C_{n-1}$

（6）二階可降階型（缺y）：形如 $y = f(x,y)$

首先，換元法：設 $p = y$ ，則 $y = p = frac{dp}{dx}$

然後，原式就變成： $frac{dp}{dx} = f(x,p)$

這就化成了一階線性D.E，最後直接套公式計算結果就好了。

（7）二階可降階型（缺x）：形如 $y = f(y,y)$

首先，換元法：設 $p = y$ ，則 $y = p = frac{dp}{dx}$

然後，原式就變成： $frac{dp}{dx} = f(y,p)$

但是這樣就出現了三個字母（p，y，x），我們不希望有三個字母，因為只有兩個字母的話，我們就可以如法炮製，變成一階線性D.E.，然後直接套公式計算了。

所以，我們把 $frac{dp}{dx} = frac{dp}{dy} frac{dy}{dx} = pfrac{dp}{dy}$

於是，原式就變成： $pfrac{dp}{dy} = f(y,p)$

這樣就只有兩個字母了，哈哈可以套公式直接算了。

（8）二階常係數齊次線性型：形如 $y + py +qy = 0$

首先，寫出特徵方程： $lambda ^2 + plambda + q = 0$

然後，看有幾個根（用求根公式）： $Delta = b^2 - 4ac = p^2 - 4q$

當Δ>0，即 $lambda _1 e lambda _2$ ,則： $y = C_1e^{lambda _1 x} + C_2e^{lambda _2 x}$

當Δ=0，即 $lambda _1 = lambda _2$ ,則： $y = (C_1+C_2x)e^{lambda _1 x}$

當Δ<0，存在共軛復根 $alpha pm ieta$ ，則： $y = e^{alpha x}(C_1 cos eta x + C_2 sin eta x)$

（在中學的時候啊，對於Δ<0的情況，我們就直接說該方程無解，但如果引入虛數的概念，則有一對共軛復根為解）

拓展：這個特徵方程是怎麼來的呢？（特徵方程的來源）

由方程的結構可知， $y,y,y$ 必須是同類函數，才能滿足 $y + py +qy = 0$

不難猜出， $y$ 是指數函數，即 $y = e^{rx}, y = re^{rx}, y = r^2e^{rx}$

於是，原式等於 $r^2e^{rx}+ pre^{rx} +qe^{rx} = 0Rightarrow e^{rx}(r^2+ pr +q) = 0$

$∵e^{rx} e0 ∴ r^2+ pr +q = 0$

故可設，特徵方程 $lambda^2+ plambda +q = 0$ （其實就是把 $r$ 寫成 $lambda$ ，因為習慣上用 $lambda$ 來描述特徵方程）。

那麼特徵方程後面所對應的用來求出D..通解的公式又是怎麼來的呢？

由於，這個特徵方程 $lambda^2+ plambda +q = 0$ 是一個一元二次方程（ $lambda$ 為未知數）。

根據求根公式 $Delta = b^2-4ac$ 可知，這個特徵方程的解有三種情況。

我就以第一種情況為例（因為後兩種情況推導起來很麻煩）：

當 $Delta >0$ ，有兩個不同根 $lambda_1 e lambda_2$ ，將其分別代入 $y = e^{rx}$

得： $y_1 = e^{lambda_1x }$ 和 $y_2 = e^{lambda_2x }$ （兩個特解）

由基本概念中「某D.E.通解的項和該D.E.的階相同」可知， $y + py +qy = 0$ 的通解應有兩項，不妨設為 $C_1 y_1 + C_2 y_2$ 。

再根據下文「解的性質中線性無關那塊的概念」可知，如果 $C_1 y_1 + C_2 y_2$ 要是 $y + py +qy = 0$ 的解，則必須滿足 $Cy_1 e y_2$ （即二者線性無關）。

$∵lambda_1 e lambda_2 ∴frac{y_1}{y_2} = frac{e^{lambda_1x }}{e^{lambda_2x }} e C$ （C為常數）則二者線性無關。

故， $C_1 y_1 + C_2 y_2 = C_1e^{lambda_2x } + C_1e^{lambda_2x }$

第二種情況：當 $Delta =0$ ，有一個二重根 $lambda_1= lambda_2$ ，可以通過設一個線性無關的另一個特解來推導。

第三種情況：當 $Delta <0$ ，存在共軛復根 $alpha pm ieta$ ，要注意複數的運算規則。

（9）二階常係數非齊線性型①：形如 $y + py +qy = P_n(x)e^{kx}$

（ $P_n$ 是多項式的意思，洋屁名polynomial）

它的解其實就是：二階常係數齊次線性型的通解 + 一個自己的特解。

例題： $y - 3y + 2y = (2x+1)e^{x}$

第一步，求齊次的通解：

$lambda ^2 -3lambda +2 = 0 RightarrowDelta = 1 > 0, lambda _1 = 1, lambda _2 = 2Rightarrow y = C_1e^{x} + C_2e^{2x}$

第二步，找一個非齊的特解（按通解的模樣，假設一個特解）：

$y_0(x) = (ax + b)e^{(x)}$

$∵k = 1 = lambda _1 e lambda _2 ∴$ 特解乘以x，是 $y_0 = x(ax + b)e^{x} = (ax^2 + bx)e^{x}$

如果 $k e lambda _1 e lambda _2$ 則特解是 $(ax + b)e^{x}$

如果 $k = lambda _1 = lambda _2$ 則特解乘以 $x^2$

由於 $y_0 = (ax^2 + bx)e^{x}$ 則：

$y_0 = (ax^2 + bx)e^{x} + (2ax+ b)e^{x} = [ax^2 + (2a+b)x + b]e^{x}$

$y_0 = 2ae^x + (ax^2 + bx)e^{x} + 2(2ax+ b)e^{x} = [ax^2 + (4a+b)x + 2a+b]e^x$

代入原式，得 $[3ax^2 + (6a+3b)x + 2a+2b]e^x = (2x-1)e^x$

求出： $a = -1, b=-1$

則原式的解就是： $y = C_1e^{x} + C_2e^{2x} + (-x^2 + -x)e^{x}$

拓展：這裡代入原式，是有一定技巧的（ $Q$ 為特解里的 $P_n(x)$ ）

如果 $k = lambda _1 = lambda _2$ 則公式為 $Q = P_n(x)$

如果 $k = lambda _1 e lambda _2$ 則公式為 $Q + (2k-p)Q = P_n(x)$

如果 $k e lambda _1 e lambda _2$ ，那就沒有技巧了。

以上題為例：

由於 $k = 1 = lambda _1 e lambda _2$ ，得到 $y_0 = x(ax + b)e^{x} = (ax^2 + bx)e^{x}$ 這個特解

代入公式： $2a + (2-3)(2ax+b) = (2x-1)Rightarrow -2ax + 2a-b = (2x-1)$

解得： $a = -1, b = -1$ （是不是快很多）

三、解的性質

（1）線性組成： $y_1$ 和 $y_2$ 是 $y + p(x)y + q(x)y = 0$ 的解，則 $C_1 y_1 + C_2 y_2$ 也是它的解。

證：把 $C_1 y_1 + C_2 y_2$ 代入 $y + p(x)y + q(x)$ 得：

$C_1 y_1 + C_2 y_2 + p(x)(C_1 y_1 + C_2 y_2 ) + q(x)(C_1 y_1 + C_2 y_2 )$

$Rightarrow C_1 (y_1 + p(x)y_1 + q(x)y_1) + C_2 (y_2 + p(x)y_2 + q(x)y_2)$

$∵y_1, y_2$ 是 $y + p(x)y + q(x) = 0$ 的解

$∴y_1 + p(x)y_1 + q(x)y_1 = y_2 + p(x)y_2 + q(x)y_2 = 0$

則 $C_1 (y_1 + p(x)y_1 + q(x)y_1) + C_2 (y_2 + p(x)y_2 + q(x)y_2) = 0$

Q.E.D.嘻嘻

同理其實我們可以推出，在 $y + p(x)y + q(x)y = f(x)$ 的情況。

$∵y_1, y_2$ 是 $y + p(x)y + q(x) = f(x)$ 的解

$∴y_1 + p(x)y_1 + q(x)y_1 = y_2 + p(x)y_2 + q(x)y_2 = f(x)$

則 $C_1 (y_1 + p(x)y_1 + q(x)y_1) + C_2 (y_2 + p(x)y_2 + q(x)y_2) = (C_1 + C_2)f(x)$

當 $C_1 + C_2 =1$ 時， $C_1 y_1 + C_2 y_2$ 是 $y + p(x)y + q(x)y = f(x)$ 的解

當 $C_1 + C_2 =0$ 時， $C_1 y_1 + C_2 y_2$ 是 $y + p(x)y + q(x)y = 0$ 的解、

否則， $C_1 y_1 + C_2 y_2$ 是 $y + p(x)y + q(x)y = (C_1 + C_2)f(x)$ 的解

（2）線性無關： $C_1 y_1 + C_2 y_2$ 是 $y + p(x)y + q(x) = 0$ 的解，充要條件是 $y_1$ 和 $y_2$ 是線性無關的。

（所謂線性無關，就是指 $y_1$ 和 $y_2$ 誰都不能表示誰，即 $Cy_1 e y_2$ （C為任意常數））

證：

充分性：因為 $y_1$ 和 $y_2$ 線性無關的，根據基本概念中關於通解的定義，不難看出 $C_1 y_1 + C_2 y_2$ 是 $y + p(x)y + q(x) = 0$ 的解

必要性（反證法）：設 $y_1$ 和 $y_2$ 線性相關，則

$Cy_1 = y_2Rightarrow C_1 y_1 = C_2 y_2Rightarrow y = C_1 y_1 + C_2 y_2 = C_1 y_1$

這與基本概念中「某D.E.通解的項和該D.E.的階相同」矛盾，則 $y_1$ 和 $y_2$ 線性無關。

Q.E.D.O(∩_∩)O哈哈~

（3）疊加原理：如果 $y + p(x)y + q(x)y = f(x) = f_1(x) + f_2(x)$

$y + p(x)y + q(x)y = f_1(x)$ 的解為 $y_1$

$y + p(x)y + q(x)y = f_2(x)$ 的解為 $y_2$

則 $y_1+2 y_1$ 便是 $y + p(x)y + q(x)y = f(x)$ 的通解

證：把 $y_1+y_1$ 代入 $y + p(x)y + q(x)y$ ，得出

$(y_1+ y_1) + p(x)(y_1+ y_1) + q(x)(y_1+ y_1)$

$Rightarrow y_1+ p(x)y_1 + q(x)y_1 + y_2+ p(x)y_2 + q(x)y_2$

$∵y_1+ p(x)y_1 + q(x)y_1 = f_1(x), y_2+ p(x)y_2 + q(x)y_2 = f_2(x)$

$∴ y_1+ p(x)y_1 + q(x)y_1 + y_2+ p(x)y_2 + q(x)y_2 = f_1(x) + f_2(x) = f(x)$

證明哦了！

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