數學分析筆記（一）——預備知識

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前言

初學數學分析時常會卡在一些細節，絞盡腦汁鑽研每一句證明時，就難以理清整體思路，更難發現定理間的聯繫，丟掉了脈絡。這就陷入了「只見樹木，不見森林」的誤區；溫習時，書中的內容布置和排版會影響閱讀速度。做一個排版合理的筆記可幫助解決這些問題，既能起到穿針引線作用，又能提高複習效率，電子筆記更是便於修改。

本套數學分析筆記主線是跟隨B.A.卓里奇的《數學分析》，主要整理定義、定理和一些有趣的命題，並對定理的證明做一些助於理解的總結提要，希望也能幫到學習這套書的初學者。

作者學習基礎是常規工科本科畢業生水平，並非數學系科班出身，筆記中若有錯誤或不妥之處，懇請前輩批評指正，還望不吝賜教。

不定期持續發表。

1. 關於數理邏輯（mathematical logic）

• 古典命題邏輯語言包括以下3個部分：

1. 命題符號：
2. 五個連詞：否定符號 ，合取符號 ，析取符號 ，蘊含符號 ，等價符號
3. 括弧：左括弧 ，和右括弧

• 連詞符號的優先順序從高到低為 .
• 用記號「 」引進定義，冒號放在被定義對象一邊.

• 「合乎語法規則」的表達式成為合式公式，或簡稱公式.定義為

1. 每個命題符號 都是合式公式.
2. 如果 和 都是合式公式，則 和 也是合式公式.
3. 別無其他.

• 對於語義，先規定真假值集合其中 代表真， 代表假，也可用 代表.令 為一個命題符號的集合， 上的一個真值指派 就是從 到真假值的一個映射

.

令 為只有 中的命題符號的公式集.把真值指派 擴張到 上得到新函數 .

下面用真值表展示 .

2. 關於集合論（set theroy）

2.1 概述

從19世紀80年代，由G.Cantor創立集合論以來，現已發展成為獨立的數學分支.但當時他對集合與元素的描述：

A set is a gathering together into a whole of definite, distinct objects of our perception [Anschauung] or of our thought—which are called elements of the set.

看起來並不能作為定義，因為這裡面提到了更多更複雜且未定義過的概念.只是將「集合」與其他概念聯繫起來進行說明.

Cantor的樸素集合論大致可歸結為：

1. 集合可由任意不同的事物構成.
2. 集合由構成它的事物聚集而唯一確定.
3. 任何性質都定義一個具有該性質的事物的集合.

（以後，「類」，「族」，「集體」等字，作為「集合」的同義詞使用）

• 1901年，B.Russell發現了樸素集合論的悖論：羅素悖論.

設 為一集合， 表示「 是不以自己作為元素的集合」這種性質.

下面考察具有性質 的類 .

如果 是集合，由排中律， 或 僅有一個為真.

考察 ，由 的定義， 不以自己為元素，因此 為假.

考察 ，若其成立，意味著 以自己為元素，這又與 的定義（ 不以自己為元素）相矛盾.

因此K不是集合.而此時，「任何性質都定義一個具有該性質的事物的集合.」不被滿足.

• 1908年，提出了兩種避免悖論的方法，羅素的Type theory和Zermelo集合論.
• 而現在最廣泛使用和接受的集合論是ZFC，它由Zermelo-Fraenkel集合論和附加的選擇公理組成.

對此不再繼續描述.

2.2 基本概念

此後我們將在避免矛盾的情況下，對集合論採取樸素的觀點，認為「集合是由一些對象構成的」這個概念是自明的.

• 是集合 中的元素記作 (或 ).
• 其否定用符號 (或 ).
• 為存在量詞，表示「存在」或「找到」.
• 為全稱兩次，表示「任何的」或「對於任何的」.
• 

• 集合也可這樣表示： ，其中 為 中元素的性質.
• 

笛卡爾積（Cartesian product）

對於任意集合 可以構造出新集合 ，這當然是無序對，而序對 則要區分第一個元素和第二個元素， 表示 且 .

現設 為任意兩個集， 叫做 的直積或笛卡爾積.

2.3 簡單的集合計算

對於 ：

• 交換律

• 結合律

• 分配率

對於多集合情況也是類似的.

證明提要：關於集合關係的分析主要基於其元素，利用元素與集合的從屬關係易證.

證明略.

• De Morgan定律

證

1.

.

必要性略.

2.

.

必要性略.

2.4 集合的勢（基數）（cardinal number）

基數用來描述集合中元素的數量.

設 為二集合，如果存在 到 上的雙射（詳見本文 3.2），則稱 與 等勢.

等勢關係可以把集合分為各種含有相同數量的元素的類，不同類中集合所含元素數量不同，集合 所在的類叫集 的勢（或基數），並記作 .

康托爾定理

（ 表示由 的一切子集構成的集）

證明提要：

用反證法，假定 是雙射，構造並分析集合 即可引發矛盾.

證

對於空集 來說，顯然成立，以下認為 .

因為 含有X的所有單元素子集，因此 ，現只需證明 時 .

假定 是雙射，考察集合 （首先這個集合當中的元素來自X，但這當中的每一個元素都不在它們所對應的 中），因為 （這當然是X的一個子集），所以必能找到一個元素 ，使得 （因為這個假定的雙射）.這個元素 即不能有 （據 的定義，已經說明了 ）,也不能有 （ 即 ，根據定義， 又被 收納了），這與排中律矛盾.

3. 關於函數（function）

3.1 概述

• 1837年，Dirichelt提出：對於某區間上的每一個確定的 值， 都有一個確定的值與之對應，那麼 就叫做 的函數.

但這個定義是有缺陷的，並沒有指明什麼是函數，混淆了函數與函數值的概念.

• 19世紀，Cantor創立集合論後，函數的定義被改進為：給定二實數集 ，若存在一個相應關係 ,使得 內每一個 值都有唯一的數 與之對應，則稱關係 為數集 上的函數.

但這個定義並沒有指出什麼是對應關係.

• 1914年Hausdorff用序對 構成的Cartesian product集的子集彌補了這個缺陷，他指出：設有兩個非空數集 ，若 是笛卡爾積集 的子集，且對任意 ，總存在唯一的一個 使得 ，則稱 是定義在 上的函數.

但當時對「序對」缺乏說明.

• 1921年Kuratowski定義序對 為 ，用單集 和偶集 區分第一坐標與第二坐標.

由於序偶也能用集合定義，函數概念就嚴格地建立在集合論基礎之上，可見集合論是數學分析的基礎，事實上，集合論已是現代數學幾乎所有分支的理論基礎.

3.2 定義

函數是映射的一種常見形式，有時我們也用映射來描述函數.

常用記號 (或 )來記函數.

有時也用 或 表示函數.比較常見的是用 表示函數.

關於函數 ：

• 如果 ,就說 是滿射.
• 如果對 中的任何元素 有 ，就說 是單射.
• 如果 既是單射又是滿射就說 是雙射（一一映射）.
• 如果 ，則 就稱 為 的逆映射.（顯然，一個函數有逆映射的充要條件是這個函數是雙射）.
• 若有二映射 與 ，且 定義在 的值域上，則可用公式 確定 上的新映射 ，該映射叫做 與 的複合映射.
• 如果映射 把 的每個元映射成自身，即 ，就把 記作 ，並稱之為集合X的恆等映射.

3.3 一些命題

• 複合運算是結合的，即

證

.

證

，即 是滿射.

若 ，則

，即 是單射.

註：

既然成為映射，自然有 ，而滿射又要求 ，此時證明 即可，這裡要注意到f作為映射而默認滿足 ，進而 ，可證 是滿射.

另一方面，以單射定義所用到命題的逆否命題的角度來證明，並考慮到 作為函數的一個必要條件 即可證明 是單射.

4. 關於拓撲（topology）

4.1 定義

• 集合 上的一個拓撲是指滿足以下條件的子集族 .

1. 和 在 中.
2. 的任意子族的元素的並在 中.
3. 的任意有限子族的元素的交在 中.

• 如果 是一個集合， 的某拓撲的一個基是 的子集的一個族 （其元素成為基元素），滿足條件：

1. 對於每個 ，至少存在一個包含 的基元素 .
2. 若 屬於兩個基元素 的交，則存在包含 的一個基元素 ，使得 .

• 集合 上的濾子是指滿足以下條件的子集族 ，且 .

1. 若 ，則 .
2. 若 ，而 ，則 .
3. .

• 對於由集合 的某些子集 組成的集族 ，若滿足以下兩個條件，則稱 為集合 中的濾子基.（後續篇章中，「濾子基」簡稱為「基」）

1. 若 ，則存在 ，其中 .
2. .

Tyalmath：數學分析筆記（二）——實數理論?

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