【概念深度挖掘】——4.2 函數的連續性（難度大）

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上一節，我們介紹了極限的概念，特別地，對比了中學數學和高等數學對極限的定義，藉助極限，我們可以嚴格定義函數在某一點是否連續及函數是否為連續函數。中學階段，我們對函數的連續性的定義較為簡單，直觀上看，連續函數，即函數圖像是一條連續不間斷的曲線。下面，我們給出函數連續的嚴格定義。

定義：函數在某一點連續

設定義在 $D$ 上的函數 $f(x)$ ，若 $x_{0}in D$ ，函數 $f(x)$ 在點 $x=x_0$ 處的極限存在，且

$lim_{x ightarrow x_0}{f(x)}=f(x_0)$ ，則稱函數 $f(x)$ 在點 $x_0$ 處連續。

理解：

1）與極限不同的是，函數 $f(x)$ 在點 $x=x_0$ 處極限存在，並不要求函數在該點有定義，但，函數 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 處連續，首先要在該點有定義。

2）函數 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 處連續，是指函數在這一點的極限存在且等於這一點的函數值 $f(x_0)$

定義：連續函數

定義在 $D$ 上的函數 $f(x)$ ，對 $forall x_0 in D$ ，函數 $f(x)$ 在該點處連續，則稱函數 $f(x)$ 為 $D$ 上的連續函數。特別地，若 $D$ 為閉區間，在左端點處只要右極限（在右端點處只要左極限）等於該點出的函數值即可。

接下來，我們給出一些「不連續」的例子，幫助大家進一步理解「連續」的定義。

情形1：函數 $f(x)$ 在某一點無定義

例如，定義函數 $f(x)=2^x, x e1$ ，因 $f(x)$ 在 $x=1$ 處無定義，自然 $f(x)$ 在 $x=1$ 處也不連續。

情形2：函數 $f(x)$ 在某一點極限不存在

例如，定義函數

在 $x=1$ 處函數極限不存在，所以 $f(x)$ 在該點不連續

情形3：函數 $f(x)$ 在某一點的極限和函數值不相等

定義函數

在 $x=1$ 處極限存在，但 $lim_{x ightarrow 1}{f(x)}=2 e f(2)$ ，所以函數在該點不連續

以上就是基於「極限」，對函數連續性進行的簡單討論。下一節，我們將基於「極限」、「連續」，介紹函數的導函數（簡稱導數）。