第四節無窮

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第四節無窮

來自專欄完備的辯證集合

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希臘人把數看作是離散的，把幾何量看作是連續的。不可公度比的發現，迫使希臘數學家必須解決一個難題——連續與離散的關係，即幾何量與數的關係。現代數學表明，搞清楚實數與直線上點的關係，依賴於無窮的概念。希臘人似乎有所領悟，因此他們十分注重對無限小、無限大和無窮過程的討論，但又百思不解，「望而生畏」。畢達哥拉斯派把善與惡同有窮和無窮聯繫起來。亞里士多德說無窮是不完美的，是未完成的，因而是不可思議的；它是不成型的、混亂的，只有那些限定分明的東西才有其本性可言。

芝諾對無窮的論述更引人入勝，他提出了：

1．「對分」論題，如前所述。

2．神行太保阿基里斯與烏龜賽跑的論題：跑得最快的阿基里斯追不上在他前面跑得最慢的烏龜，因為阿基里斯必須先到達烏龜的出發點，這時烏龜又跑在阿基里斯的前面。這樣繼續下去，烏龜總在阿基里斯的前面，阿基里斯永遠也趕不上烏龜。

這種論點與他的「對分」論題是一致的，所不同的只是不必把所通過的距離一再平分。芝諾論題的實質是要說明：如果空間無限可分，有限長度就含有無窮多個點，那麼，在有限時間內就不能通過有限長度。

亞里士多德批駁芝諾的論點，他認為關於一個事物的無限性有兩種意義：無限可分或無限寬廣，在有限時間內可以接觸從可分意義上是無限的東西。因而從這個意義上講，時間也是無限的，所以在有限的時間內可以通過有限的長度，阿基里斯在有限的時間內可以追上烏龜。

點和線的關係令人困惑。亞里士多德說，點不可分，然而佔有位置。這樣一來，不管聚集起多少點，卻總是聚不成線，而線段是能分的量。因此，點不能形成像線這類連續的量，點與點不能自己連續在一起。他說一點好比時間中的「此刻」(現在)，此刻不可分，因而並非時間的一部分。一點可能是一線的終端、始端或其上的分界處，但它不是線的一部分，也不成其為量。一點只能通過運動才能產生一線，從而成其為量的本源。他說點沒有長度，因此，如果一線由點組成，則它將沒有長度。同樣，如果時間由瞬刻組成，則就沒有整個的時段了。總之，亞里士多德的主張的實質是:點與數是離散的量，必須同幾何上的連續量區別開來。

亞里士多德的無窮觀表現在他認為自然數(集合)是無窮的，原因在於任何一個自然數加上1以後，仍然是一個自然數，地球如果有一個突然的開始，那麼，它的年齡是無限的，但任何一個時刻都不是無限的;空間是無窮的，因為它能反覆不斷地細分；時間在兩個方向上都是無限的，但任何一個時刻都不是無限的。

歐幾里得在其名著《幾何原本》中明確指出：「一線的兩端是點」，以及「把有限長直線沿直線延長(是可能的)」。這就是說，歐幾里得所指的直線或曲線總是有限長度的。《幾何原本》里沒有延伸到無窮遠的直線，只是考慮可以無限延長的直線。

德漠克利特主張，世界是由無窮多個簡單的、永恆的原子組成的。這些原子的形狀、大小、次序和位置各有差異，但每個物體都是由這些原子以某種方式組合而成的。雖然幾何上的量是無限可分的，但原子是終極的、不可分的質點(原子的希臘文atom的意思是不可分)。前面已經指出，我國古代《墨經》中的一條經文所闡述的觀點，與這種原子論是相似的。

1．存在著已完成的無窮整體嗎？

歐氏《幾何原本》的注釋家普洛克拉斯注意到圓的一根直徑分圓為兩個半圓。由於圓的直徑有無窮多，所以必有兩倍那麼多的半圓。普洛克拉斯說，對於許多人來講這是一個矛盾。怎樣解釋這一矛盾呢？他認為，任何人只能說很大很大數目的直徑或半圓，而不能說一個實實在在無窮多的直徑或半圓。不然的話，就會出現兩倍無窮大等於一個無窮大的問題。

17世紀的伽利略把普洛克拉斯的發現提得更加明確。他注意到無窮整體能和它的真正部分之間建立一一對應關係，也就是說它們有某種相等的性質。例如：

l) 正整數可以和它的平方數構成一一對應：

而後者是前者的一個真正部分。

2) 兩個不等長的線段 $AB$ 和 $CD$ ，如圖1.1所示。 $CD$ 可以看作是 $AB$ 的一部分。但是從 $O$ 點作射線，分別與 $CD$ 和 $AB$ 分相交於 $P$ ， $P＇$ ，讓 $P$ 與 $P＇$ 對應，則在 $AB$ 與 $CD$ 之間構成一一對應，從而可以想像 $AB$ 和 $CD$ 含有同樣多的點。當人們注意到「整體大於部分」這一公理時，上述相等性又是不可能的了。到底是相等還是不相等呢？或者說，是否存在無窮整體呢？伽利略意識到了無窮整體，但又困惑不解。

圖1.1

高斯不承認無窮整體的存在性。1831年7月12日在給舒麥徹的信中，他明確表示：「我反對把一個無窮量當作實體，這在數學中從來是不允許的。無窮只是一種說話的方式，當人們確切地說到極限時，是指某些比值可以任意地接近它，而另一些則允許無限制地增加。」

波爾查諾積極維護實在無窮整體的存在性，並且強調了兩個無窮總體的等價概念，即兩個無窮總體之間的一一對應關係。這個等價概念既適用於無窮整體，又適用於有窮整體。兩個等價的無窮整體，可以認為是「相等的」。他特別注意到無窮整體能和它的真正部分等價。對於前人困惑不解的問題，他作了肯定的回答，主張必須承認這一事實。例如，區間 $[0,5]$ 上的實數，可以通過公式 $y=frac{8x}{5}$ ,與區間 $[0,8]$ 上的實數建立一一對應，雖然前者是後者的真正部分。

總之，普洛克拉斯對於無窮總體持否定態度；伽利略想肯定，但又困惑不解；高斯堅決反對；而波爾查諾承認實在無窮整體的存在性，並建立了等價概念。

2．無窮概念的發展

17世紀中葉，牛頓和萊布尼茨創立的微積分中，應用了無限小(增量)的概念，並且在推理過程中，有時把「無限小」理解為實實在在的無限小，遇到了邏輯上的困難，惹起了對無限小的討論，也招來了唯心主義的攻擊。在無窮級數求和問題上同樣也遇到了困難。為了解決這些問題，人們進行了長期不懈的努力，從各個方面展開研究。到19世紀30年代，柯西弄清了極限、收斂等基本概念，建立了極限理論，給數學分析建立了基礎。極限理論使得人們通過是否收斂，對無窮過程有了本質的認識，掌握了它的規律。極限理論對無限小量給出了明確的說明：無限小量是一個變數，在變化過程中，它的絕對值可以變到任意小，而且以後永遠保持任意小。簡短地說，無限小量是以零為極限的變數。柯西在1823年的著作《代數分析教程》的序言中明確指出：「當一個變數的數值這樣的無限減小，使之收斂到極限零，那麼，人們就說這個變數成為無限小。當變數的數值這樣的無限增大，使該變數收斂到極限 $infty$ ，那麼，該變數就成為無限大。」但是這裡的「 $infty$ 」不是一個固定的量，而只是無限變大的量。

維爾斯特拉斯發展與完善了柯西的思想，避免使用無限小、無限大等概念，創立了現代數學分析中流行的 $ε-δ$ 語言，對分析學中的一些基本概念，如極限、收斂和連續以精確化的描述。例如函數 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 處連續的定義是:

任給一個數 $ε＞0$ ，總存在著一個數δ＞0，使當 $|x-x_0|＜δ$ 時，永有 $|f(x)-f(x_0)|＜ε$ ，則稱函數 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 處是連續的。

從此以後，實無限小在分析領域銷聲匿跡，極限理論在分析學中佔據統治地位。

19世紀分析學的嚴密化是否真的排除了實無窮概念呢？沒有，因為一切都是建立在實數系統的基礎上的。因此，微積分的嚴密化歸結為了實數系統的建立。

數學史上最使人驚奇的事實之一，是實數系的邏輯基礎竟遲至19世紀後葉才建立起來。在那以前，即使正負有理數與無理數的極簡單性質也沒有邏輯地建立。鑒於代數與分析的廣泛發展都用到實數，而實數的精確結構和性質卻沒有人考慮過，這一事實說明數學的進展是怎樣的不合邏輯。分析的嚴密化促使人們認識到：對於數系缺乏清晰的理解這件事本身非作補救不可，而理解數系，無理數是主要難點。

分析學的奠基者們，主要是維爾斯特拉斯、戴德金和康托爾就集中精力去建立實數概念。這樣一來，實無窮概念獲得了充分發展。

實數的各種理論實質上都是十分類似的。首先都假定有理數系已經建立，其次都要用到實無窮總體的概念。

維爾斯特拉斯和康托爾是用有理數序列定義實數的，說法不同，但方式類似。概括地說，如果一有理數序列

$a_1,a_2,a_3,cdots,a_n,cdots$ $(1.1)$

(即其中的每個 $a_i$ 都是有理數)滿足如下的條件：

$lim_{n ightarrowinfty}(a_{m+n}-a_n)=0$ $(1.2)$

即對於任何一個給定的正有理數 $ε$ ，總存在著一個自然數 $N$ ，使得當 $n＞N$ 時，對於任意的自然數 $m$ ，都有

$[ |a_{n+m}-a_m|＜ε]$

則稱這一有理數序列為基本序列。每一個有理數基本序列定義一個實數， $（1.1）$

定義的實數用 $a$ 表示之。

如果另外一個有理數序列

$[b_1,b_2,b_3,cdots,b_n,cdots]$

滿足條件

$lim_{n ightarrowinfty}(a_n -b_n)=0$

則它與(1.1)定義出同一個實數 $a$ 。因此，有理數基本序列就分成若干等價類，每一等價類確定一個實數。

基本序列是什麼？顯然，它是一個實無窮總體，或稱一無窮集合。這樣一來，一個無理數(特別是超越數)乃是一無窮集合。有極限或收斂只是一種圓滑的說法，是為了錦上添花罷了。

用同樣的方式可以定義實數的大小順序 $a＜b$ ，及實數的四則運算。特別是他們證明了：如果

$a_1,a_2,a_3,cdots,a_n,cdots$

是一實數的基本序列，即 $a_i$ 都是實數，且對於任意的自然數 $m$ ，等式 $(1.2)$ 一致地成立，則必有一個唯一的實數 $a$ ，是由此序列確定的，即 $lim_{m ightarrowinfty} a_m=a$ 。這就是說，實數的基本序列只能產生實數，不像有理數基本序列那樣能產生出新的數——無理數。從這個意義上來說，實數系是一個完備系。

戴德金把所有的有理數劃分為兩類 $A_1$ 和 $A_2$ 。下類 $A_1$ 中每一有理數都小於上類 $A_2$ 中任一有理數，並用 $(A_1,A_2)$ 表示這一划分。在一個劃分中，如果 $A_1$ 有最大數，或者 $A_2$ 有最小數，則這一划分就沒有產生新的數。例如，設 $A_1$ 是小於等於2的有理數類， $A_2$ 是大於2的有理數類，則劃分 $(A_1，A_2)$ 確定的數就是有理數2。但是，有些劃分則不是這樣。譬如說，把所有的負有理數及非負的但平方小於2的有理數作為下類 $A_1$ ，剩下的有理數作為上類 $A_2$ ，那麼，不難證明，在這個劃分中 $A_1$ 沒有最大數， $A_2$ 沒有最小數，這個劃分確定了一個新的數，即 $sqrt{2}$ 。通過這樣一個劃分，「我們創造出一個新的無理數 $a$ 來，它是完全由這個劃分確定的。我們說，這個劃分產生了數 $a$ 或者說數 $a$ 對應於這個劃分。」從而對應於每一個戴德金劃分，存在著唯一的一個數，有理數或無理數。

在戴德金劃分中，總是把有理數分成兩個已完成了的無窮整體，即無窮集合。換言之，他運用並發展了實無窮的概念。無窮集合是康托爾最先提出的一個概念，把人們直觀的或思維的確定而且能區分的對象，搜集起來成為一個整體。康托爾稱這個整體為集合，組成集合的對象為元素。當一個元素a屬於集合S時，記作 $a∈S$ (讀為 $a$ 屬於 $S$ )，當 $a$ 不屬於集合 $S$ 時，記作 $a?S$ (讀為 $a$ 不屬於 $S$ )。

當一個集合的元素的數目是某一自然數時，稱為有窮集合，否則就稱為無窮集合。無窮集合是一個完成了的整體，因而是一個實實在在的無窮總體。

康托爾對實無窮概念的發展，我們在本書中還要用更多的篇幅加以論述。這裡應該指出，康托爾的著作及其觀點，遭到了當時一些著名的數學家、哲學家及宗教勢力的指責和攻擊。宗教神學認為只有上帝是無窮的，康托爾研究無窮，建立了那麼多無窮集合，貶低了上帝，豈能容忍。

數學家中，攻擊康托爾最強烈的不是別人，而是他的老師，專橫跋扈的柯朗尼克。柯朗尼克是一個有窮論者和構造論者，他有一句名言：「上帝創造了自然數，其他一切都是人造的。」他認為除了由自然數經過有窮步驟推出的事實外，其他一概是無效的、可疑的。他反對任何自然數的無窮體系，甚至不承認無理數，說無理數是根本不存在的。他不僅反對集合論，也反對函數論。

另一位著名的數學家龐加萊把康托爾的集合論當作一個有趣的「病理學的情形」來談論。他在1908年的一篇文章中說：「下一代人將把(康托爾)的集合論當作一種疾病，而且人們已經從中恢復過來了。」他以領袖人物的口氣警告大家：「我個人，而且不只是我一個人，認為重要之點在於，切勿引進一些不能用有限個文字去完全定義好的東西。」由於各方面權威人士的壓力，使康托爾曾一度患了精神崩潰症。

然而歷史的發展說明，以無窮集合為對象的康托爾集合論，不僅不是什麼疾病，而是現代數學的出發點，是康托爾為數學家們創造的樂園。如果不承認無窮集合，那麼，無理數也不能接受，現代數學還剩下什麼呢？

3．兩種無窮觀

如前所述，早在古希臘時代，亞里士多德在討論無窮這個概念時，就觸及到潛在的無窮和真實的無窮，這是人們對無窮的兩種觀點——潛無窮與實無窮認識的開始。

亞里士多德雖然提到了兩種無窮思想，但他本人只承認潛無窮的存在性，而不承認存在著實無窮。他承認自然數是無窮的，是因為任何一個自然數加上一還是自然數，不承認自然數組成的無窮總體，即不承認自然數集合的存在性。

縱觀數學思想史，可以看出，康托爾以前的數學家們基本上都是持潛無窮的觀點。無窮過程是潛無窮的，柯西等數學家在分析學中的無限小，無限大也是潛無窮思想的發展。萊布尼茨是實無窮論者，他的無限小是實在無限小，然而他無法解決實無限小的邏輯困難，實無限小被驅除了。直到20世紀60年代，美國數理邏輯學家魯濱遜發展了萊布尼茨的思想，嚴格地證明了存在著既非零又非有限數量的無限小量，即實無限小確實存在，創立了非標準分析，使實無限小及實無限大又重新回到分析學領域。但這是後話，實無窮的真正奠基人是康托爾。

無窮總體在數學中就是無窮集合。康托爾認為無窮集合是一個現實的、完成的、存在著的整體，是可以認識、可以把握、可以抓住的東西，因而是實在的無窮，潛無窮論者否認實無窮，認為無窮不是已經完成的整體，而是就其發展來說是無窮的，因而無窮只是潛在的。

康托爾預計到他的觀點會遭到世俗的反對，1883年時就預言：「我很了解，我這樣做，會使自己處於廣泛流傳的關於數學無窮的觀點對立面，也使自己對立於目前流行的關於數的性質的意見。」但他堅信，他的工作經過一定的時間，將被公認為是「簡單的、合適的並且是自然的」。

康托爾關於實無窮的觀點，概括起來有如下幾個方面。

第一，肯定實無窮是數學理論發展的需要。如前所述，代數學和分析學都是建立在實數的基礎上，而實數特別是無理數理論的建立都離不開實無窮。基本序列或戴德金劃分都假定實無窮，承認作為變數的潛無窮，也必然要承認實無窮。因為變數如果能取無窮多個值，就要有一個變數能從其中取值的「論域」，這個論域必然是一個實無窮，而且必須事先給定，不許再是變化的，這才能有固定的基礎。

康托爾認為，數學證明中應用實無窮由來已久，是不可避免的。柯西、維爾斯特拉斯、波爾查諾等名家在證明中都用到無窮集合。例如，把一個無窮點集合分成有限個子集合，其中必有一個還是無窮點集合。

第二，無窮有其固有的本質，不能把有窮所具有的一切性質都強加於無窮。康托爾在《論對實無窮的各種觀點》一文中說，有些人的反對意見實在是一種邏輯上的預期理由。一切關於「不可能有實無窮」的所謂證明都是錯誤的，其原因在於「這些證明一開始就期望那些具有有窮數的一切性質，或者甚至於把有窮數的性質強加於無窮。可是恰好相反，這些無窮數，如果他們能夠以任何形式被理解的話，倒是他們和有窮的對立，它們必須要有完全新的數量特徵，這些性質完全依賴於事物的本性……。而不是來自於我們的主觀任意性或偏見」。

第三，有窮的認識能力可以認識無窮。反對實無窮的人還有一個理由是，人們的認識能力是有限的，形成數量只限於有窮。康托認為，人的認識能力雖然有限，卻可以認識無窮。無窮和有窮一樣，是可以「通過確定的、明確的和彼此不同的數量，來表達和理解」。在一定的意義下，也可以說人們有「無限的才能」，一步一步地去形成更大的數類或集合。

4．無窮集合

康托爾系統地研究無窮集合，把無窮集合作為研究對象，是從證明「函數展開為三角級數的唯一性」開始的。這方面的論文發表於《數學雜誌》(1870~1872年)。1870年的論文證明：如果對於一切實數 $x$ ，存在著一個三角級數收斂於0，即 $frac{a_0}{2}+sum^infty_{n=1}(a_ncos{nx}+b_nsin{nx})=0$ ,

則係數 $a_i$ 和 $b_i$ 都等於0。1871年的論文推廣了上述結果，即當此三角級數在有窮多個點x處不收斂，結論仍然成立。他把這些使三角級數不收斂的 $x$ 稱為例外值。1872年的論文又進一步推廣到例外值是無窮集合的情形。為了說明這裡的例外值的無窮集合的性質，在該文中對無窮集合進行了分類，引入了點集合的極限點以及導集合等重要概念。但是，他關於無窮集合論的第一篇革命性的論文發表於1874年，從1874年開始直到1897年，康托爾在集合論與超窮數方面的論文，分別發表在《數學雜誌》與《數學年鑒》上。他的這一系列論文中的創造性光彩引起了人們的注意，使他成為當之無愧的現代數學基礎的奠基人。