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二次差分方程簡介

08-20

二次差分方程簡介

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二次差分方程定義為

$Aa_{n+1}^2+Ba_n^2+Ca_{n+1}a_n+Da_{n+1}+Ea_n+F=0$

（其中 $A^2+B^2+C^2 e0$ 且 $nin mathbb{N_+}$ ）

如果 $D=E=F=0$ ，就說這個二次差分方程是齊次的，否則是非齊次的。

一、齊次方程

B56（齊次方程） $Aa_{n+1}^2+Ba_n^2+Ca_{n+1}a_n=0$

如果不限定初值條件，那麼齊次方程總有一個零解 $a_n=0$ .

下面，我們排除掉各種麻煩的情形，介紹齊次方程的通用處理辦法：

等式兩邊同時除以 $a_n^2$ ，則方程可化為 $f(frac{a_{n+1}}{a_n})=0$ ，其中 $f(x)$ 是關於 $x$ 的一次或二次多項式。由此可解出 $frac{a_{n+1}}{a_n}$ 是常數，故 $left{ a_n ight}$ 有一個或兩個等比數列解。

注意如果 $Delta<0$ ，則會出現虛數項。

二、非齊次方程

下面先介紹兩個平凡的非齊次方程：

B19 （平凡的非齊次方程） $Ba_n^2+Ea_n+F=0$

B37 （平凡的非齊次方程） $Aa_{n+1}^2+Da_{n+1}+F=0$

B19的數列顯然是常數列。注意如果 $Delta<0$ ，則會出現虛數項。

B37的數列從第二項往後是常數列，而第一項 $a_1$ 可以任意指定。

除此之外，便是非平凡的非齊次方程。對於一般的二次差分方程而言，沒有什麼很好的解法，少數解法已知的方程詳見「二次差分方程列表（解法已知的）」

附註編號規則

為了分類，我們對方程 $Aa_{n+1}^2+Ba_n^2+Ca_{n+1}a_n+Da_{n+1}+Ea_n+F=0$ 編號。

構造六位二進位數 $a_1a_2a_3a_4a_5a_6$ 。若 $A=0$ 則 $a_1=0$ ，否則 $a_1=1$ ；將同樣的規則運用到 $B$ （對應 $a_2$ ）、 $C$ （對應 $a_3$ ）等。定義該方程的編號為二進位數對應的十進位數。

例如，齊次方程 $D=E=F=0$ ，因此構造二進位數 $111000$ ，它對應的十進位數是 $56$ ，即齊次方程的編號是 $56$

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