向龐加萊討教

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金鋒：向龐加萊討教

金鋒：J

龐加萊：P

J:非常榮幸能與你這樣的智慧巨人討教一些問題，你的來函進一步激起了我對丟勒作品《憂鬱Ⅰ》的再度思考。我深知，丟勒選擇這三種不同的幾何體有著他特有的目的，作品中還有其它的元素也有待新的解讀。就幾何體而言，你從專業的角度是怎樣理解的呢？

《憂鬱Ⅰ》中的三個幾何體

P:作為科學家，我們理解空間與藝術家看待空間應該有很大的不同。從科學的角度來說，我們研究的是空間性質。比如，空間在我們的描述里，它存在一些特徵：它是連續的，是無限的，它有三維等等。丟勒作品中的幾何體，暗示著對空間的幻想。為什麼我這樣說呢？他選擇的這三種幾何體，是傳統的歐氏幾何走向非歐氏幾何的出發點。丟勒值得敬仰之處，在於，文藝復興的初期，歐氏幾何學正是熱門的時候，他的意識已經開始觸及到三維空間了，我說的不是三維幾何體，是三維空間。這很了不得。

J:從丟勒的作品中，你是怎麼判斷出，他已經觸及到三維空間了呢？

P:我們慢慢來說這裡面的關係。為什麼從丟勒的幾何體與作品左上角的星空，就能判斷出丟勒在思考三維空間？這還得從歐氏的《幾何原本》說起。

J:這很深奧啊……

P: 這對丟勒時代的人來說，是很複雜的。我們知道，丟勒對歐氏的《幾何原本》是非常熟悉的。這從丟勒的《量度四書》就可以看出，他是研究過的。《幾何原本》中有五條公設，也就是無需證明的公理。歷史上，數學家對第五條公設一直持有質疑。第五條公設是這樣說的：平面上過直線外一點，能且只能作一條直線與該直線並行。質疑來自這個公設的表述，它不像公設，倒像需要證明的命題。我想丟勒也會發現其中的這個「不適」。丟勒的「不適」究竟到怎樣的程度，我們也只能猜測了。因為這個問題在數學上的解決，要到十九世紀才被否定，這就是非歐幾何的誕生。黎曼就說，過直線外一點一條直線都不會與該直線並行。黎曼是在球面上否定了歐氏的第五公設。

J:那麼這個懷疑或是質疑與丟勒的幾何體有什麼直接的關係呢？

P:我們生存的這個地球，看上去是一個無限延伸的平面，但實際上它卻是個三維球體。而三維球體的球面，我們可以看成二維球面。平時我們對地球球面也是理解成二維的，是不是？實際上它是三維球面。丟勒的年代，如何知道地球是圓形的呢？如何知道是個球體？他們無法跑到太空去親自看一下。我活著的年代都無法去太空看看我們地球的形狀，更不要說丟勒的年代了。但我們可以用數學的思維去猜測地球的形狀。

J:丟勒的時代，麥哲倫不是已經完成了環球世界的挑戰了嗎？他不是向西航行，最後從東向回到了出發點葡萄牙的嗎？這不是正好說明了地球是個球體嗎？

P:是啊。那麼假如南北方向是個巨大的空洞，地球不就是一個汽車輪胎的形狀嗎？這樣麥哲倫從西面出發，也能從東面繞回來啊，這個地球不就是個甜甜圈了嗎？不就是個輪胎的形狀了嗎？

甜甜圈形狀的地球

J:丟勒會思考這樣的問題？

P:這就是我敬仰丟勒的地方。不管丟勒想到還是沒有想到，這個問題已經朦朦朧朧地糾結他了。他選擇的三個幾何體，其中的星盤中間就有個空洞，不就是個甜甜圈嗎？不就是個輪胎嗎？它作為星盤，這跟宇宙有關；它作為甜甜圈，這跟地球的形狀有關，難道這是純粹的巧合嗎？就像你說丟勒57歲死去，它是巧合嗎？當然，丟勒不可能拿出答案，所以我說，丟勒的這件作品可以叫做「丟勒猜想」。

J:那麼這個八面體又做怎樣的解讀呢？

P:丟勒已經思考到封閉的幾何體，所謂封閉，就是其中不能有空洞，不能是甜甜圈的幾何體。這樣的幾何體有一個特點，也是非歐氏幾何的特點，比如，我們在球面上選擇一些點，不交叉地把每個點畫條連線，那麼這樣就會形成一個由點、線與區域組成的球面。如果把球壓扁，或拉成黃瓜似的長條，你想像一下，這些點、線、塊的數目是不會改變的，是不？再假如，我們把每塊面展平，相鄰區域的邊界變成了棱，點就變成了頂點。最後就變成了多面體。丟勒的這個八面體，它有12個頂點，18條棱。

J:這樣我就更搞不明白了，丟勒這是什麼意思呢？

P:就是說，丟勒的這個八面體可以來自球體，而不可能來自星盤（甜甜圈）這樣的幾何體。

J:這又說明什麼呢？

P:這說明丟勒已經在思考維度問題。

J:為什麼？

P:設想一種生物是扁平體，是貼著平面生活，也假如能像人一樣與思想，他們永遠離不開平面，這樣的人如何思考到三維？他們只能從三維投影不斷猜測三維世界。他們的世界就是線跟點。

四維正方形的正投影

J: 你這是要說什麼呢？

P: 作為三維生物，我們很容易理解線和面的幾何性質，這是因為我們能「從外面」觀察它們。但是，對三維空間的性質，就不那麼容易了，因為我們是這個空間的一部分。這個原因解釋了為什麼我們不費什麼事就能理解曲線與曲面的概念，而一聽說有彎曲的三維空間就大吃一驚了。

J:這個很抽象，不知道你究竟要表達什麼……

P:我要說的就是我們可以知道地球是個球體，而宇宙的形狀是什麼？丟勒已經在思考了。雖然他不能肯定地球是個球體，但這個思路帶動了他的好奇與想像。作品左上方的丟勒刻畫了一顆彗星，這顆彗星是丟勒出生那年被發現的，被命名為1471Y1。說明他對天體與宇宙已經在做深入的思考了。

《憂鬱Ⅰ》中的彗星1471Y1

J:我覺得你不是在用你的猜想強加給丟勒吧？或許他壓根兒就沒有這麼思考？

P:你說的也沒錯。科學家的品性有一種難能可貴的東西，這就是懷疑了，就要證實。我跟丟勒的差別在於，我從小就不會畫畫，圖像表達不是我的在行，丟勒把他的質疑刻畫出來了。這刻畫出來的作品，他表達的是憂鬱，還是思考的狀態？這就要靠我們去猜測了。對不？

J:這還是不恨好懂。假設，丟勒理解了宇宙，他在設想宇宙的形狀，你從他的作品中是如何看出來的呢？

P:這是我的課題了。丟勒當年肯定沒有能力想到這樣的問題。我只是說，丟勒的作品暗示、提示或挑戰了三維空間的課題，他已經在設想星空究竟意味著什麼。

J:我知道你在說你開創的拓撲學了，這跟丟勒太遠了，你不要強加給丟勒他不能做到的事兒。我也敬仰丟勒，我相信，丟勒沒有能力思考到四維物體在三維的投影，這太不可想像了。站在丟勒的角度，我能想像的是，丟勒在地球之外的空間里設想著上帝的位置，能這樣說嗎？

拓撲中杯子變成甜甜圈的方法

拓撲中破了的輪胎，其外部的面和內部的面是等價的

P好，那就到這裡打住，我的拓撲學，其實是上帝給人類的猜想，能猜想的人，那就是猜想共同體里的一員，上帝並不在強求人類要怎樣去理解宇宙。能去做，去探索，這樣遲早會把宇宙的形狀拼接出來的。丟勒作為藝術家，他是個先驅。

J:真不可思議，在沒有一個數學公式示例的前提下，你說出了這樣一番道理，而且用的是你們科學家的語言。你是真正了解丟勒作品的智者。這裡，我給你鞠躬了！

羅列一下關於丟勒議題的文本題目：

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