換種解題思路，一片海闊天空|教家長輔導奧數（18年6月20日）

來自專欄每天來道奧數題5 人贊了文章

家長是孩子最好的老師。

這是奧數君第534天給出奧數題講解。

今天的題目是關於因數問題，

所用知識不超過小學5年級。

題目（4星難度）：

每個正整數都有一個最大的奇數因數，比如26的最大奇數因數就是13。

某學校5年級共有200名學生，學號分別是1-200。每名學生都計算出了自己學號的最大奇數因數，請問這些數的和是多少？

輔導辦法:

題目寫給小朋友，讓他自行思考解答，若20分鐘還不能解答，由家長進行講解。

講解思路：

如果從這200個數直接考慮，

這道題目將會非常繁瑣。

如果換種思路，

從奇數因數本身出發，

題目會容易很多。

步驟1：

先思考第一個問題，

在200個人的最大奇數因數中，

出現最多的奇數是哪個，出現幾次？

兩個人的最大奇數因數相同，

說明兩人的學號是2^k倍的關係，

其中2^k表示2的k次方，k是自然數。

在1-200的200個數中，

最大的2^k是128=2^7，

故最多有8人的最大奇數因數相同，

他們的學號是1、2、4、8…、128。

因此出現最多的奇數是1，出現8次。

步驟2：

再思考第二個問題，

在200個人的最大奇數因數中，

只出現7次的奇數有哪些？

某個奇數a只出現7次，

說明該奇數對應的學號是

a、2a、4a、8a、…、64a,

且128a一定大於200，

即有 64a <200 <128a,

即 200/128< a <200/64,

符合條件的奇數a只有3。

步驟3：

再思考第三個問題，

在200個人的最大奇數因數中，

只出現6、5、…、1次的奇數有哪些？

類似於步驟2的分析可以得到，

只出現6次的奇數是5，

只出現5次的奇數是7、9、11，

只出現4次的奇數是13、15、…、25，

只出現3次的奇數是27、35、…、49，

只出現2次的奇數是51、53、…、99，

只出現1次的奇數是101、103、…、199。

步驟4：

綜合上述幾個問題，

求這些最大奇數因數的和。

出現8次的所有數的和是1；

出現7次的所有數的和是3；

出現6次的所有數的和是5；

出現5次的所有數的和是

7+9+11=27；

出現4次的所有數的和是

13+15+…+25=133；

出現3次的所有數的和是

27+29+…+49=456；

出現2次的所有數的和是

51+53+…+99=1875；

出現1次的所有數的和是

101+103+…+199=7500。

所以原問題答案是

7500*1+1875*2+456*3+133*4+27*5+5*6+3*7+1*8

=13344。

思考題：

每個正整數都可以唯一表示成2^k+m的形式，其中m是小於2^k的自然數。比如26=2^4+10。

因此每個正整數都對應著一個唯一的k。

某學校5年級共有100名學生，學號分別是1-100。每名學生都計算出了自己學號的對應的k，請問所有學生對應的k的和是多少？

獲得思考題答案方法：

關注微信公眾號「每天3道奧數題」(tiantianaoshu)

微信回復「20180620」可獲得思考題答案。

註：過4個月之後，關鍵詞回復可能失效。

http://weixin.qq.com/r/rDlaQm7ELDNTrSoh92y_ (二維碼自動識別)

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