輔助角公式的推導

08-20

輔助角公式的推導

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李善蘭輔助角公式（收縮變換）的推導：

對於 $fleft( x ight) = a sin x + b cos x left( ageq 0 ight)$ 型函數，我們可以如此變形：

$asinx+bcosx=sqrt{a^{2}+b^{2} } left( frac{asinx}{sqrt{a^{2} +b^{2} } }+frac{bcosx }{sqrt{a^{2} +b^{2} } } ight)$ ，

設某點（a，b）為某一角 $varphi left( -frac{pi }{2}levarphi leqfrac{pi }{2} ight)$ 終邊上的一點，則 $cosvarphi =frac{a}{sqrt{a^{2}+b^{2} } }$ 與 $sinvarphi=frac{b}{sqrt{a^{2}+b^{2} } }$ ，對應上式則有：

$asinx+bcosx=sqrt{a^{2}+b^{2} } left( sinxcos varphi +cosxsin varphi ight)$ ，

得到輔助角公式： $asinx+bcosx=sqrt{a^{2}+b^{2} }sinleft( x+varphi ight)$ ，

又 $tanvarphi =frac{sinvarphi }{cosvarphi } =frac{b}{a}$ 且 $-frac{pi }{2} leq varphi leq frac{pi }{2}$ （主值），所以 $varphi$ 可寫作 $varphi =arctanfrac{b}{a}$ ，

從而得到李善蘭輔角公式： $asinx+bcosx =sqrt{a^{2}+b^{2} }sinleft( x+arctanfrac{b}{a} ight)$ ， $left( ageq 0 ight)$ ；

同理該公式也可以用餘弦表示： $asinx+bcosx=sqrt{a^{2}+b^{2} }cosleft( x-arctanfrac{a}{b} ight)$ ， $left( bgeq 0 ight)$ 。

依上我們不妨把正餘弦函數前的係數都設為負數（ $a$ $geq$ 0，b $geq$ 0），則設：

$gleft( x ight) =-fleft( x ight) =-asinx-bcosx=-left( asinx+bcosx ight)$

則有： $gleft( x ight) =-sqrt{a^{2}+b^{2} }sinleft( x+arctanfrac{b}{a} ight)$ 或 $gleft( x ight) =-sqrt{a^{2}+b^{2} } cosleft( x-arctanfrac{a}{b} ight)$ 。

經過討論發現，正弦函數係數 $a$ 決定了輔角公式化為正弦型函數的輔助角情況（當 $ageq 0$ 時，輔助角 $varphi =arctanfrac{b}{a}$ ；當 $aleq 0$ 時，輔助角 $varphi =arctanfrac{b}{a} pm pi$ ），與化為餘弦型函數的輔助角無關；而餘弦係數 b 決定了輔角公式化為餘弦型函數時的輔助角情況（當 $bgeq 0$ 時，輔助角 $varphi =arctanfrac{a}{b}$ ；當 $bleq 0$ 時，輔助角 $varphi =arctanfrac{a}{b}pm pi$ ），與化為正弦型函數時的輔助角無關。