第十一章 透鏡彎曲和像差平衡（譯）

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11.1引言

上一章中，依託單透鏡形式，學習了如何通過逐面求和來計算W040，並引入了薄透鏡形式。 當時薄透鏡公式並沒有給出推導過程，本章中將從逐面求和中給出此公式的推導過程。通過薄鏡片公式可直接驗證鏡片彎曲的效果（參見第3章的課後作業3和7）。 對於單透鏡，透鏡彎曲不能消除存在的所有球差。 然而，通過移動像面位置（如本章第8節所示）可以得到一個較小的均方根點列圖。之所以會有這樣的現象，是因為一部分球差通過離焦抵消了，這是一個重要的設計原理，被稱為像差平衡，下面對此展開更詳細的論述。

11.2薄透鏡形式

首先給出如圖11.b所示的近軸雙凸透鏡的賽德爾和(Seidel summation)公式：

其中：

上式中，右上側沒有撇號的是折射前的參數值，有撇號的是折射後的參數值。根據單透鏡的參數，展開11.1式，並注意對於薄透鏡，存在關係y1=y2。

可以得到單透鏡公式如下：

同樣，為簡便，令n1=n2=1,n2=n1=n，得到如下公式

將

帶入後，簡化並整理後：

下一步，將括弧內的參數使用面形因子(shape factor (X))、放大因子(magnification factor (Y))、光焦度(power，φ)代替，其詳細地推導過程可以參考11.10節。帶入並整理後，得到薄透鏡形式的賽德爾係數：

上式中，括弧內的值為結構像差係數(σ1)，在10.4節或者表10.1給出了對應參數的數值。

圖11.2 σ的示意圖

11.3 薄透鏡彎曲

假設Y是固定值，則σ1就是一個平移後的拋物面，如圖11.2所示。從圖可以看到，存在一個極小值。為了得到最小值的位置，對上式進行微分並令其等於零，有：

求解X得到：

使用第10章中表10.1的值帶入a和b：

式11.7表明，對於給定的物距，可以得到最小球差的透鏡形狀。例如，對於無窮遠的物體，Y=1，X=b/2a；對於在一倍放大率的物體，Y=0，X=0，即為等凸透鏡。

考慮一個BK7的單透鏡，物距為無窮遠，系統使用d光，此時玻璃折射率為1.5168，可以得到a=8.6811，b=12.8427，帶入到公式11.7後，得到最小球差的透鏡形狀因子為：

X = 0.7397

公式11.7的通用表示如圖11.3所示，它是線性的，其斜率限制在0.639至1.338（或介於32.6°和53.2°之間）的範圍內， 這涵蓋了可見光譜中透鏡玻璃的折射率值範圍（在1.45和1.90之間）。

11.4 離焦

在ZEMAX中，通過在M-solve表面和IMG表面之間插入虛擬表面，可以找到最佳的RMS光斑尺寸（參見第3章課後作業8）。優化過程中，在光軸上前後調整虛擬表面位置以找到最佳圖像平面，即離焦。

下面通過推導離焦的解析表達式，來說明像差平衡的物理意義。

圖11.4顯示了出瞳處的兩個球面波前，其中一個產生於平面入射波前，所以此波前的焦點在近軸焦平面處。另外一個產生於輕微匯聚入射波前，所以此波前的焦點位於近軸平面後方δ處。在出瞳處，兩個球面波前有各自的矢高，矢高差等效於OPD或W020（光闌邊緣處的位像差），下面推導這兩者之間的關係：

但是Rδ<<R2，有：

求解δ，得到：

當物距趨於無窮遠，半徑趨於f，R/r趨於F/#2，則11.14變為如下形式：

注意：如果波前是發散的，則W020是負的，δ 是正的。

11.5 W020和Wd的差異

有關以下討論，請參閱圖11.5。 每個部分由左側的OPD圖，中間的子午圖和右側的公式11.15組成。 在圖11.5a中，我們在成像系統上有一個會聚的球面波前入射。 在出瞳中，我們有以傍軸焦點（RSP）為中心的參考球體，以及以其像點為中心的實際波前（AWF）。 在瞳孔邊緣處，參考球與AWF之間的分離，W020是正的。 左側的OPD圖中，曲線皆在橫軸上，是正圖。 來自近軸焦點的圖像點的位置可從右側所示的等式中找到。 請注意，這是一個負的距離。

現在假設入射波前是平面波，其將聚焦於近軸像面上。 現在刻意改變參考基礎（參考球面），引入焦點轉移或。 在圖11.5b中，在光瞳邊緣處的波前和散焦參考球之間的間隔Wd是負的。 （請注意，此時波前與近軸參考球體重合。）左側顯示OPD圖。 請注意，該圖是負面的。 散焦參考球的中心相對於近軸平面中的圖像點的位置由下式給出：

注意，該軸向分離是負的，因為Wd是負的。 現在返回圖11.5a中的場景。 為了讓我們得到清晰的圖像，我們需要通過引入與AWF上相同但相反（相對於近軸焦點）的散焦來改變參考球。 這在圖11.5c中說明。 OPD圖顯示在左側， 通過使Wd = -W020，使得得到的OPD曲線是水平為零。

現在將使用這種散焦方法來找出當出射光瞳波陣面受到球面像差影響時最小彌散斑的軸向位置。

11.6 像差平衡：球差和離焦

如果系統沒有像差，則最佳像面將是近軸像面；由於存在像差，則最佳像面無法和近軸像面重合。 由於像差原因，理想點像已不再可能存在。 退而求其次，可以尋找一個由像差引起的點像具有最小橫向擴展的位置，如圖7.6中所示的最小彌散斑。

一般研究近軸像面的成像區域時，都會引入離焦（defocus）。 可以通過移動物點來實現焦點偏移，但無特殊聲明的情況下，離焦通常指固定物點的像點移動。

現在從數學上進行球差和離焦的處理，以便得到最小彌散斑的位置。

根據方程曲線，當滿足下麵條件時，為最小彌散斑：

例如：令W040=10λ，這樣，當Wd=-15λ。

公式11.17變為

每一項的值如圖11.6所示，並且W也表示在其中。

軸上最小彌散斑的束腰位置與近軸像面的關係為：

11.7 基本公式

圖11.7給出子午平面內散焦曲線和邊緣光線的交互區域。描述焦散曲線軸上位置和半徑的是一對方程：

依據光軸推導的描述邊緣光線的半徑的公式如下所示:

在彌散斑最小的位置，滿足εc=εm。

將式11.20的εc代入到公式11.21中，得到：

上式消掉W040，整理公式後，有：

因式分解，得到：

上式的根為ρ=0或ρ=-0.5.。後面的值表示的MB平面。將此根代入到公式11.20，得到：

11.8 W040與SA3之間的關係

從7.5節中可知，出瞳處的像差和像面處的像差存在明確的關係。

公式7.7給出了這種關係。

由於此公式的重要性，下面給出此公式的啟發式推導過程。

假設折射率為1. 在圖11.8a中，瞳孔/焦平面系統旋轉90°。 在b中，W（y）被繪製為瞳孔位置的函數。 a和b之間的基本區別在於b中參考球已被展平，從而消除了實際波前的參考曲率。

現在看圖11.9， 它有從圖11.8a和b中借用的元素， 底部是b，頂部是a。 它們之間的間隔距離是曲率半徑R（注意圖11.9被誇大顯示，因為W0 << R。）。 T是橫向光線像差（TRA）。

W()曲線上任選一點，設為A，進行如下三步操作：

1.找到點A的切線；

2.找到點A的法線；

3. 做一條過點A的輔助線，次輔助線同時垂直於出瞳面和像面。

可以得到如下推導結果：

1. AE<<AB，所以AB實際上等於R，注意W是一微米為單位而R以毫米或厘米為單位。

2. ∠BAC = ∠ADE，從平面幾何得到此結論 (以角θ表示);

3.點A的切線斜率，dW/dy =tanθ =-T/R.

因此有：

下面對上式進行歸一化光瞳處理。假設W是ρ的函數，進而也是y的函數。

根據此假設，推導得：

其中，

上式對y求偏導得：

帶入11.27，有：

上式帶入11.26式，有

除了n，上式公式7.7一樣。公式11.31推導過程中實在子午面內，故適用於旋轉對稱系統的像差；對於非旋轉對稱的像差，T將會分解為Tx和Ty兩部分。

11.9 球差舉例

圖7.19中，球差的表達式為：W=W040ρ4，代入到公式11.31中，得到：

上式中，

如果物在無窮遠，

此方程的一個圖像曲線在圖7.6d中給出。

11.10 薄透鏡形式的推導

以11.2節的公式11.4作為推導起點，使用如下公式：

公式11.33可以通過直接代入透鏡表面的光焦度得到，而公式11.34可以通過圖11.10得到。

從下面公式開始：

其中：

同樣地：

上面代入起始公式，可以得到公式11.34：

據此，可以得到u1和u2的表達式，包含Y和系統光焦度φ。

代入方程11.34，有：

求解11.38式，得到：

下一步求解公式11.4中的曲率表達式，包含形狀因子和光焦度。

起始點為一個薄透鏡系統，有如下的光焦度關係：

將上式表達為φ1的表達式，同時將11.33的公式表達為φ2的表示式，有：

其中：

上式代入到11.41中，有：

已知如下關係：

結合11.44和11.45，有：

將式11.39和11.46代入到11.4中，有：

為可以應用在11.4中，對11.47進行整理：

令

有

現在再推導另一組用於11.4的公式，寫出之前的PRTE1公式，並重新整理得到：

公式11.4中有因子

所以，整理11.50式，得到：

整理後得到：

代入公式11.39和11.46的u1和C1

令

公式11.49和公式11.53代入11.4中：

對上式進行因式分解、合併同類項、消減等處理，

其中

將11.56和11.57代入到11.55的第三項，併合同同類項：

使用11.55的第二項乘以11.58的同類項：

將式11.59~11.62代入到公式11.55：

整理後有：

其中

波前系統的表達式為：

公式11.64即為從賽德爾球差球差中推導出的薄透鏡公式。

11.11課後作業

第10章計算了第1章課後作業中給出透鏡的球差W040，本章中，計算此透鏡的最小彌散斑的軸上位置和最小彌散圓的半徑：

翻譯：王慶豐

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