一些p-adic分析（二）

08-18

一些p-adic分析（二）

來自專欄數學閑談21 人贊了文章

4. $2pi i$ （中）——p-adic對數與分圓擴張

我們在這裡貼上Tate關於在 $mathbb{C}_p$ 中不存在 $2pi i$ 的證明。

我們首先建立p-adic對數。

lemma.對 $forall xin mathbb{C}_p,v_p(x)>0$ ，p-adic級數
$log_p(1+x)=Sigmafrac{(-1)^{n-1}}{n}x^n$
收斂且滿足 $log_p(1+x+y+xy)=log_p(1+x)+log_p(1+y)$

這個證明就是直接計算賦值。有趣的是p-adic對數有很強的可延拓性，即成為乘法群到加法群的同態。

prop.對每個 $mathscr{L}inmathbb{C}_p$ ，存在唯一一個同態 $log_mathscr{L} :mathbb{C}_p^ imes ightarrow mathbb{C}_p$ ，使得

(1). $log_mathscr{L}(p)=mathscr{L}$
(2). $log_mathscr{L}(x)=log_p(x),forall v_p(x-1)>0$

pf.對每個有理數 $r$ ，我們取一個合適的 $p^r$ ，使得 $p^r p^s=p^{r+s}$ 。（想想看為什麼可以取？）

對 $forall xinmathbb{C}_p$ ，令 $x=p^{v_p(x)}y , yinmathscr{O}_p^ imes$ ，則存在 $n, s.t.y^nequiv1 mod mathscr{m}_p$

我們令 $log_mathscr{L}(x)=v_p(x)cdot mathscr{L} +n^{-1}log_py^n$ 即可。

以下我們任意固定一個這種延拓，記為 $log$ ，且由唯一性，它與連續Galois變換可交換。

類似也可以定義p-adic指數，但延拓性並不好。

下面來考慮分圓擴張，我們記 $F_n=mathbb{Q}_p(zeta_{p^n}), F_{infty}=cup F_n$ ，在其上定義Tate規範化跡映射

$R:F_{infty} ightarrowmathbb{Q}_p\x ightarrowfrac{1}{[F_n:mathbb{Q}_p]} Tr_{F_n/mathbb{Q}_p}(x)$

同時注意到分圓特徵標在 $Gal(F_{infty}/mathbb{Q}_p)$ 上給出到 $mathbb{Z}_p^ imes$ 的同構，也即 $F_{infty}$ 對應的Galois群是 $kerchi$ 。

可以驗證 $R(mathscr{O}_{F_n})subseteqmathbb{Z}_p, v_p(R(x))geq v_p(x)-1$ ，這表明 $R$ ，是一致連續的，因此可連續開拓到 $F_{infty}$ ，的閉包上。

5. $2pi i$ （下）——Tate的證明

Th.對每個整數 $k$ 以及 $K, [K:mathbb{Q}_p]<infty,$
$egin{eqnarray} mathbb{C}_p(k)^{G_K}:={x:sigma(x)=chi(sigma)^kx,forall sigmain G_K}&=& left{ egin{array}{lll} K, k=0. \ 0, otherwise. end{array} ight. end{eqnarray}$

pf.第一個情況就是A-S-T定理（見上一篇）。對第二個情況，若 $exists xinmathbb{C}_p(k)^{G_K}, x e 0$ ，設y為其對數，則由定義 $sigma(y)=y+klogchi(sigma) forallsigmain G_K$ 。由A-S-T， $yin Fix(kerchi)=overline{F_{infty}}$ 。因此 $R(sigma(y))=R(y)+klogchi(sigma)$ 。但 $R(sigma(y))=R(y)$ ，矛盾。