還記得被證明題支配的恐怖嗎？

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作者：Marianne Freiberger

翻譯：Nothing

審校：yangfz

證明就是用邏輯的方法得出一個毫無爭議的正確的結論。你有沒有想過為什麼數學家們如此瘋狂的推崇證明？

推理的兩種方式

在日常生活中，當我們的行為並不完全不合理的時候，我們經常使用兩種類型的推理方法。一種叫歸納法，它指的是從我們日常所見總結出普遍規律。例如，如果你見過的綿羊都是白色的，你也許會得出綿羊都是白色的結論。這種方式的推理非常有用，科學家就是利用這種方式根據他們的觀測結果來構建他們的理論，但是這種方式不是萬無一失的。因為你不能保證看遍了宇宙中的所有綿羊。你也不能完全確定世界上的某個角落沒有藏著一隻黑色的綿羊。所以你不能保證你做出的推論一定是正確的。如果你使用歸納法，那你就必須在發現新的證據後隨時修改你的推論，這正是科學家經常做的事。

另一種推理方式叫做演繹法。這種方法建立在一個普遍正確的定理上，然後你可以根據特定的條件得出結論。例如，如果你知道所有的綿羊都喜歡吃草，而且你知道站在你面前的物體就是綿羊，那麼你可以知道它一定喜歡吃草。這種推理是非常嚴密的。只有在你的前提出錯時它才可能出錯，上面的例子里就是說所有綿羊都吃草的說法是錯的，或者你面前站著的不是綿羊。但是如果這兩件事都是對的，那你的推論就一定是對的，無論在什麼地方，什麼時間。

公理

數學中滿是證明，例如勾股定理，它在任何時間任何地點都是正確的。這就是為什麼數學依賴於演繹推理。一個數學的證明是從一個一直正確的論述推理得出另外一個結論。例如，如果你知道了三角形中兩個內角的大小，那麼通過平面中三角形內角和為180度的定理可以推出第三個角的大小。

早在古希臘時期，人們已經認識到演繹推理在數學中的重要性。亞歷山大的歐幾里得，幾何學之父，提出一組公理，他認為這些公理是不證自明的。包括三角形內角和是180度。所有其他的幾何定理，包括勾股定理，都應該從這些公理中通過演繹推理得出。歐幾里得著名的數學著作《幾何原本》就是這樣寫成的。這是歷史上最成功的書之一——有人說它的版本比聖經還要多。

當然，你仍然需要非常小心的使用演繹推理，因為推理錯誤會時不時出現。為了保證你的結論是正確的，你需要保證你的假設是正確的並且保證可以正確的使用它們。例如，上面的證明僅僅利用了如何操控公式的假設，但是它的結論是1=2，你能指出其中的錯誤嗎？

我們需要證明嗎？

為什麼數學家堅持證明每一件事？在日常生活中，我們不可能像數學家一樣嚴謹。如果一件兇殺案的證據指向特定的犯罪嫌疑人，我們樂意去證明他們有罪並說他們的罪過已經被證實。但是，我們並不能完全確定他是有罪的。就像任何一個無辜的罪犯告訴你的那樣，他們總有那麼一絲可能性是沒有犯罪的。

數學或許是唯一可以實現完全證明的領域，這也是為什麼數學家如此熱衷於證明。當然，如果我們不去堅持證明，錯誤有可能混入那些不易察覺的領域。一個著名的例子就是上面我們提到的三角形。歐幾里得的公理之一是說三角形內角和是180度——他認為這是如此的顯然，我們只需要去接受它就可以了。但是，之後的數學家認為他們可以做到更好。他們認為自己可以從歐幾里得的其他公理中導出了這個公理。在這條路上，我們不是相信它而是證明了它（假設其他的公理都是對的）。

數學家們和這個證明鬥爭了幾百年。在19世紀它甚至成為數學家心中的困惑，因此數學家Farkas Bolyai警告自己的兒子János離它遠點。

但是János Bolyai不聽父親的勸阻堅持證明下去但並沒有證明出三角形內角和是180度。因為這個結論並不總是正確的。它僅在你把三角形畫在平面上時成立。如果你把三角形畫在一個球體上，或者橘子上，三角形內角和將大於180度。證明三角形內角和的嘗試促使數學家偶然發現另外一個非常奇怪的面，叫做雙曲面，在這種平面上，三角形內角和小於180度。

雙曲面很難可視化，但是它和甘藍葉很像，越靠近邊緣越皺。雖然我們平時不會遇到這樣的曲面，但是它非常重要。愛因斯坦的狹義相對論就是靠雙曲幾何學建立起來的。在狹義相對論之外建立起來的廣義相對論，沒有它就沒有現代的衛星導航設備和GPS。

證明一定要由人來完成嗎？

數學家經常為他們的工作只需要大腦、鉛筆和紙而感到驕傲。但是近幾十年情況有所改變：計算機開始進入數學領域並且引起很多的爭論。這些爭論並不包括使用計算機計算一些奇怪的積分。數學家利用這些工具使他們的生活更加簡單一點，就像其他人做的那樣。真正引起爭論的是依賴於計算機的證明。

計算機可以有兩種可能的方式來實現。在計算機輔助計算中，計算機被用來實現靠一個人不可能在有限時間內完成的超多步數的操作。證明的邏輯仍然是人提出的，但是如果沒有一個人檢查計算機的運算過程，那麼你無法完全確定這樣的證明中有沒有包含錯誤，所以一些人認為這樣的證明是無效的。

近些年，計算機學家發明出了自動化的定理證明器（ATPs）——計算機程序可以利用一些基本假設和邏輯規則得出一些結果，因此也是證明了它。截至目前，ATPs仍然需要大量人的輔助，但是可以想到它在將來會變得更加強大。它們是否可以代替人類仍然有待觀察，因此它也是被爭論的最多的一個話題。

數學的極限

數學是否真的可以做到每一個定理都可以被毫無爭議的證實或證偽？不幸的是並不能完全做到。二十世紀早期，人們努力地將所有的數學建立在堅實的基礎之上，以保證每一個正確的定理可以從幾個基本公理中導出。這並不是一項簡單的工作。羅素和Whitehead的一個著名的嘗試使得數學變得異常艱難：證明1+1=2，利用他們選擇的幾個公理並花費了好幾百頁紙去完成證明。但他們的證明系統依然包含漏洞。他們無法實現沒有包含任何矛盾的證明。

幾年之後，一個叫哥德爾的奧地利年輕數學家對他們的夢想實施了致命打擊。假設你已經選擇了一組可以成為數學的基礎的公理。如果這組公理不能支持你定義自然數和它們之間的算術，那麼這就不是一組好的公理。現在我們假設你選擇的定理足夠好。讓我們再假設你利用你的公理構建起整個數學體系，你一個接一個的證明定理，並且沒有遭遇矛盾：利用你的公理建立起的體系不包含矛盾。哥德爾證明的是在你建立起的體系中總有一些定理你無法證明它是對的也無法證明它是錯的：總有不可判定的定理存在。

這是一個非常驚人的結果：這意味著無論你選擇什麼樣的公理，你建立起的數學體系總是不完備的。這就是為什麼哥德爾的成果被稱為不完備定理。數學家已經構造出用已被接受的公理無法驗證的定理。

儘管不幸，哥德爾的結論並不能成為你不相信你的稅單而撕掉它的理由。人們日常生活中用到的數學，那些用來計算稅費或者建造機場費用到的數學是無可爭辯的。數學家目前發現的不可判定的定理還沒有進入這些領域。如果哪一天這種定理干擾到了我們的技術和計算，數學家就要回到科學家使用的方法中去：根據他們對發生在他們周圍的事物的觀察判斷什麼是對什麼是錯。

原文鏈接：

https://plus.maths.org/content/brief-introduction-proofs