分數量子霍爾效應 2

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為了方便理解後面的計算，我們先介紹Plasma Analogy：以計算態密度算符

的期望為例：

其中

想要直接積分看起來幾乎是不可能的，這也是量子多體問題的困難之處。如果我們將上式寫成

其中

類似熱力學中的量，只要我們把 看做溫度，但並不是真正的溫度，令 ,則：

這可以看做電荷為 的粒子在正點背景中移動的框架下。而等式右側第一項對應兩個電荷為q的粒子之間的相互作用。為了更清晰性的展示這一結果，點電荷的泊松方程

而兩個電荷為q的粒子之間的勢能為 ,這和等式右側第一項形式相同。等式右側第二項可以對應正點背景與帶電q粒子的相互作用。電荷密度為 的正電背景滿足泊松方程：

那麼第二項可以表示為：

比較兩式，相應的背景電荷密度為

而我們假設，每個粒子帶點 ,因此粒子數滿足 ,得到期望值：

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准空穴：對於波函數

波函數在 處為0，也就是說電子密度在該位置為0，這對應在該位置存在一個空穴。這些空穴最大的特點就是攜帶分數電荷，以上面這個波函數為例，假設一個電子攜帶電荷-e，則准空穴攜帶電荷 ,最簡單粗暴的理解方式，就是假設我們在 放置m個空穴，則

Laughlin波函數給出 位置完全的一個電子缺陷。如果m個准空穴對應一個完全的空穴e，則每個准空穴帶電 .同樣對波函數採用上面的過程再操作一遍，有

第二項是多出的一項，可以看做電荷為1的雜質缺陷，該體系中的粒子攜帶-m的電荷量，因此缺陷攜帶單位電荷量對應 電子的電荷量，因此消失的有效電荷為 ，這就是准空穴的電荷。

同樣的有準空穴必然有相應的准粒子，並且攜帶電荷 .准粒子的作用相當於增加體系的電荷密度，從而減小某些電子的相對角動量m。而減小角動量最簡單的方法就是求導：

特別注意，求導只作用在

相比較之下，空穴的波函數要比電子的波函數好處理的多。

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任意子（anyons）

從粒子全同性出發 不難發現波函數的模方在交換全同粒子之後是不變的，即

這就表示他們之間只能相差一個相位

現在假設，我們再對粒子做一次交換，即兩次交換之後

這看起來非常科學，所以 只能等於 1 (費米子)或0 (玻色子)。所以交換兩個粒子只能有兩種可能性，但是在這個討論的過程中有一點是不確定的，連續交換兩個粒子兩次，體系必須回到初始狀態嗎？在3+1維體系中，一對粒子在時空中的路徑可以連續變換使得粒子根本沒有移動，也意味著初末狀態等價的。但是在2+1維情況下，粒子的世界線可以相交並且發生纏繞

就上圖，他不能連續的變形到

這意味著，路徑的拓撲性質可能在交換後保留下來。因此相位 似乎可以取任何值而不僅僅是0,1。而當 這種情況下，交換兩個粒子會產生一個隨機相位

滿足這種交換規律的粒子被稱為任意子。

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辮群（Braid Group）

在三維中，交換任意粒子是採用置換群的群表示，而二維體系需要採用Braid Group的群表示。假設有n個粒子，交換這些粒子時，他們的世界線的圖想就是編製的產物，編製只通過拓撲性質區分，如果兩個編製可以圓環的過渡（世界線不想交），則這兩個編製是等價的。

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最後作為這一小節的結束，簡單介紹分數統計

考慮M個准空穴的波函數

波函數滿足

定義歸一化波函數

其中

貝里聯絡為

又由於

貝里聯絡改寫為

同理，另一部分為

經過一些繁瑣的計算之後，得到

首先先一個準空穴繞一圈路徑C，路徑內無任何任意子。因此聯絡的第二項是主要的，

環路積分之後得到的相位為

其中的 是環路C的磁通，而我們知道

因此准粒子電荷為

這與之前的結果一致。隨後我們計算一個準空穴繞路徑C並且路徑內存在一個準空穴，這時候聯絡的所有項都會貢獻，第二項依然是A-B相，第一項告訴我們統計規律，

在這種情況下，我們計算了一個空穴繞另外一個空穴一圈所得到的相位，而在統計規律中，是通過交換兩個粒子，這相當於轉180度而非360度，而我們知道交換兩個粒子滿足

因此

如果我們把n個准空穴放到一起作為一個粒子，他們滿足的統計規律為 ，這可以通過下面的一個簡單的粒子加以證明，假設我們用m個准空穴，則服從的統計規律為 ，當m為偶數是是玻色子，當m為奇數時是費米子。