【信號與系統】對「時不變性」判定的一點註記

08-18

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例題：判定系統 $y(t)=T[x(t)]=x(2t)$ 的時不變性

解：時不變性的定義是，當輸入延遲時間 $t_0$ 時，輸出也相應延遲時間 $t_0$ 。因為 $T[x(t-t_0)]=x(2t-t_0)$ ， $y(t-t_0)=x(2t-2t_0)$ ， $T[x(t-t_0)] e y(t-t_0)$ ，所以時變。

一些人對上述判定過程存在誤解，認為因為 $T[x(t)]=x(2t)$ ，所以 $T[x(t-t_0)]=x(2(t-t_0))=x(2t-2t_0)$ 。

這種誤解的根源在於沒有按順序考慮信號的變換過程。首先，系統輸入都是從 $x(t)$ 開始的。變換符號「 $T$ 」的作用是對信號的幅值、頻率和相位進行變換，因此它對 $x(t)$ 進行的一切變換都是針對自變數 $t$ 進行的。而 $T[x(t-t_0)]$ 的含義是，輸入信號 $x(t)$ 先延後時間 $t_0$ 變為 $x(t-t_0)$ ，再將 $x(t-t_0)$ 送入系統將頻率增加為2倍，因此輸出應該是 $t$ 的頻率變為2倍，即 $x(2t-t_0)$ 。