動力系統中的度量

08-18

動力系統中的度量

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其實很早以前就有想寫這類文章的想法，而當本人了解到動力系統與微分幾何的深刻聯繫後這種慾望愈發地強烈，如今終於將它整理出來。本文的重點在於討論動力系統理論中引入度量的兩種方式，第一種方式與經典的幾何學上的度量是直接對應的，而第二種方法將是Hamilton力學的自然推廣。眾所周知，度量的概念是一個幾何學概念，而當我們將力學系統的所有可能的狀態組成的集合看做一個空間，即相空間時，所有的方程和不變數將會有其對應的幾何意義。

一、動力系統的定義

我們首先要回顧一下動力系統的定義。

設有一個系統L，它在時刻 $t$ 的一個狀態可以由 $overrightarrow{x}(t)$ 來表示，它在時刻 $t+Delta t$ 的狀態可以單值地由下式來確定：

$overrightarrow{x}(t+Delta t)=hat{T}(overrightarrow{x}(t),t,Delta t)$

這裡 $hat{T}$ 是運算元，它可以是微分運算元、積分運算元、矩陣運算元等等，且可以是線性的和非線性的。如果 $hat{T}$ 不依賴於時間 $t$ ，則上述動力系統L稱為是自治的，否則為非自治的。有時我們把非自治運算元 $hat{T}$ 中的時間 $t$ 併入描述狀態的量 $overrightarrow{x}(t)$ 中，這時非自治動力系統就可以看做自治動力系統，從而動力系統可以統一記為：

$overrightarrow{x}(t+Delta t)=hat{T}(overrightarrow{x}(t),Delta t)$

動力系統L的狀態 $overrightarrow{x}(t_0)$ 可以看做是相空間的點，而隨時間 $t$ 變化的狀態點的集合構成了相軌道（空間中的曲線）。由於運算元 $hat{T}$ 的單值性，通過相空間的每一個點有且只有一個相軌道。

動力系統的性質由時間變數 $t$ 、運算元 $hat{T}$ 和狀態變數 $overrightarrow{x}(t)$ 的不同情況來決定。時間的增量可以是連續的或是固定的，對應的動力系統的狀態可以是隨時間變化的實（復）變函數，也可以是離散函數。對於後一種情況，我們可以把系統的狀態記為 $overrightarrow{x}_k(k=1,2,3...)$ ，這時動力系統可以記為：

$overrightarrow{x}_{k+1}=hat{T}_k(overrightarrow{x}_k)$

我們將其稱為級聯動力系統。

而對於 $Delta t$ 可以連續變化的情形，假設狀態 $overrightarrow{x}(t)$ 隨時間 $t$ 是充分光滑的，則可以將動力系統的通式改寫為 $overrightarrow{x}(t)$ 對 $Delta t$ 的微商形式：

$frac{doverrightarrow{x}(t)}{dt}=hat{F}(overrightarrow{x})$

同樣地，這裡 $hat{F}$ 是運算元。上式便是連續動力系統的微分形式，而之前的式子則是廣義動力系統的積分形式。在更多的實際問題中，特別是力學中的動力系統模型，經常是以微分形式提出的，稱為微分動力系統。

對於有限維的微分動力系統，設它的維數為 $n$ ，則上述式子就是一個含有 $n$ 個方程的微分方程組，它的右端是一個向量場。進一步地，它是一個局部坐標系的切向量場，為了求解它，還要給出它的初值條件，這時我們可以說，在局部坐標系下，切向量場與一個自治微分方程組的初值問題建立了一一對應的關係，而對應的動力系統的解就是過點 $overrightarrow{x}(0)$ 的積分曲線，另外，它誘導了一個局部微分同胚，也是從 $overrightarrow{x}(0)$ 到 $overrightarrow{x}(t)$ 的一個單參坐標變換（Lie變換群）： $overrightarrow{x}(t+Delta t)=phi(overrightarrow{x}(0), t)$

從而我們發現，動力系統的積分形式和微分形式是等價的。

一個單參坐標變換是把相空間的點沿相軌道變換到另一個點，因此進一步我們有：

定義1：設動力系統定義在 $n$ 維流形M上，如果有一個M的子流形V，使得當 $overrightarrow{x}(0)$ 在V上時， $overrightarrow{x}(t)$ 也總在V上，稱V為動力系統的不變流形。

動力系統的狀態還可以分為連續的和離散的兩類，對於離散的情況， $overrightarrow{x}(t)=(x_1,x_2,...,x_n)$ ；對於連續的情況， $overrightarrow{x}(t)$ 是一或多個連續變數的函數，即 $overrightarrow{x}(t)=overrightarrow{x}(xi,eta,...,t)$ .對於離散狀態變數，動力系統對應的是常微分方程，同時也是多體問題；對於連續狀態變數，動力系統對應的是偏微分方程，並且往往是場的相關問題，這種系統被稱為無限維動力系統。

二、第一種度量方法

在分析力學中，含有n個自由度的系統的狀態可以由n個廣義坐標 $(q_1,q_2,...,q_n)$ 來描述，這組參數的一個值稱為一個點，所有這些點的集合在通常的拓撲結構下構成一個n維流形，而 $(q_1,q_2,...,q_n)$ 就是該流形的一組局部坐標。在流形的切空間中，任意向量為 $(dot{q}_1,dot{q}_2,...,dot{q}_n)$ ，系統的質量矩陣定義為：

$m_{ij}=frac{partial^2 T}{partial dot{q}^ipartial dot{q}^j}$

可以發現，如果動能T是光滑的，質量矩陣對於指標i，j就是對稱的，因此我們可以將其看做是度量矩陣 $g_{ij}$ ：

$T=frac{1}{2}g_{ij}(q,dot{q})dot{q}^idot{q}^j$

事實上，具有n維自由度的動力系統的狀態可以由廣義坐標、廣義速度以及其上的度量完全表述，至於廣義加速度 $ddot{q}$ 則可以由鏈式法則 $ddot{q}=frac{d dot{q}}{dt}=frac{ddot{q}}{dq}cdotfrac{d q}{dt}=frac{ddot{q}}{dq}cdotdot{q}$ 得到，因此系統的狀態是定義在以 $(q,dot{q})$ 為坐標的叢流形之上的。而對應於廣義位移 $overrightarrow{q}$ ，廣義力 $overrightarrow{Q}$ 可以看做是流形上的餘切向量，在局部坐標系中有形式 $Q_i$ 。當系統是完整約束的保守系統時， $g_{ij}(q,dot{q})Rightarrow g_{ij}(q)$ ，即我們引入的度量是廣義速度的二次型，從而第一類Lagrange方程為：

$frac{d}{dt}(frac{partial T}{partialdot{q}^i})-frac{partial T}{partial q^i}=Q_i$

既然度量矩陣 $g_{ij}$ 與廣義坐標有關，用Christoffel符號表示上述方程得

$ddot{q}^i+Gamma^i_{jk}dot{q}^jdot{q}^k=g^{ij}Q_j$

我們再來回顧一下幾何上度量的定義：

設M是一個n維光滑微分流形，其上一參數曲線段 $c=c(t)$ 是一映射 $c:[a,b] ightarrow M,tin [a,b]$ .在M的局部坐標系 ${x^i}$ 下，它可以表示為 $x^i=x^i(t)$ ，c的切向量 $dot{c}$ 可表示為 $dot{x}^i=frac{d x^i}{dt}$ .為了測量c的長度，我們必須在M上給定一個度量 $ds$ ，也稱為線（弧）素。在Riemann情形下，線素為坐標微元的二次型，類似於勾股定理：

$ds=g_{ij}(x)dx^idx^j$

曲線段c的長度 $L_g(c)$ 是

$L_g(c)=int_{a}^{b} sqrt{g_{ij}(x(t))dot{x}^idot{x}^j}cdot dt$

一般地，我們可以不受二次型的限制而取被積函數為定義在切叢TM上的2n個變數的非負函數 $F(c(t),dot{c}(t))$ ，從而c的長度 $L_F(c)$ 是

$L_g(c)=int_{a}^{b} F(c(t),dot{c}(t))cdot dt$

定義2：設M是一個n維光滑流形， $F:TM ightarrow [0,+infty )$ 是其切叢上的非負函數。如果F滿足如下條件：

（1）正齊性： $F(x,lambda y)=lambda F(x,y),forall lambda >0;$

（2）光滑性：在帶孔切叢 $TM$ ${0}$ 上 $F(x,y)$ 是 $C^infty$ 函數；

（3）正則性：對於任意非零向量 $y e 0$ ， $g_{ij}(x,y)=frac{1}{2}frac{partial F^2}{partial y^ipartial y^j}(x,y)=frac{1}{2}[F^2]_{y^iy^j}$ 構成正定的矩陣，則稱F為M上的一個Finsler度量， $g=g_{ij}(x,y)dx^iotimes dx^j$ 稱為基本二次型，或基本張量。具備Finsler度量的微分流形（M,F）稱為Finsler流形，或Finsler空間。

聯繫到之前我們引入的度量矩陣，可以發現動能 $T=frac{1}{2}F^2(q,dot{q})$ ，進一步地，對於非完整約束的系統，我們可以用Finsler度量來刻畫它。

在幾何理論中，設G是流形M的一個噴射， $dot{gamma }=dot{gamma }(t)$ 是 $TM_0$ 上的一條曲線，在局部坐標系下有

$dot{x}^i(t)=y^i(t),dot{y}^i(t)+2G^i(x(t),y(t))=0$

用 $pi:TM_0 ightarrow M$ 表示自然投影，設 $sigma (t)=pi (gamma (t))$ 是 $gamma (t)$ 在 $pi$ 下的投影。由此， $sigma (t)$ 的局部坐標 $sigma^i (t)$ 滿足

$ddot{sigma }^i(t)+2G^i(sigma^i(t),dot{sigma }^i(t))=0$ ，其中 $dot{sigma }(t)=dot{sigma }^i(t)frac{partial}{partial x^i}$ .

流形M上的每一個Finsler度量F都誘導了一個噴射G，它的係數 $G^i$ 被稱為測地係數：

$G^i=frac{1}{4}g^{ij}{[F^2]_{y^jy^k}y^k-[F^2]_{x^j}}$

又由形式Christoffel符號： $G^i=frac{1}{2}gamma ^i_{jk}y^jy^k=frac{1}{2}Gamma ^i_{jk}y^jy^k$ ，得到無論是Riemann流形還是Finsler流形，測地線方程為

$ddot{sigma }^i(t)+Gamma ^i_{jk}(sigma^i(t),dot{sigma }^i(t))dot{sigma }^j(t)dot{sigma }^k(t)=0$

而這和第一類Lagrange方程的齊次形式相同，這說明系統在廣義坐標下走的是測地線。

三、第二種度量方法

我們知道函數 $f(y^1,y^2,...,y^m)$ 的梯度函數可表示為

$( abla f)^i=g^{ij}frac{partial f}{partial y^j}$

由梯度向量場產生的曲線滿足方程 $dot{y}^i=( abla f)^i$ ，這些方程的積分曲線稱為f的梯度曲線或流線。記相空間中的坐標為 $(x^1,...,x^n,p_1,...,p_n)=(y^1,...,y^{2n})$ ，引入辛形式：

$Omega =Sigma _{i=1}^{n}dx^iwedge dp_i=Sigma _{i,j=1}^{n}g_{ij}dx^iwedge dp^j$

這裡 $g_{ij}=left( egin{matrix}0&I_n\-I_n&0end{matrix} ight)$ ， $I_n$ 為單位陣，Hamilton方程具有十分簡單的形式 $dot{y}^i=( abla H)^i$ ，展開則有： $dot{x}^i=frac{partial H}{partial p_i};p_i=-frac{partial H}{partial x^i}$ .

定義3：稱具有 $Omega =Sigma _{i=1}^{n}dx^iwedge dp_i$ & $g_{ij}=left( egin{matrix}0&I_n\-I_n&0end{matrix} ight)$ 度量形式的2n維線性向量空間為辛空間，記作 $S^{2n}$ ，其上的線性代數構成辛幾何。

此時對於任意函數 $f(x,p,t)$ 有：

$frac{d f}{dt}=frac{partial f}{partial t}+Sigma _{i=1}^{n}frac{partial f}{partial x^i}frac{partial H}{partial p_i}-frac{partial f}{partial p_i}frac{partial H}{partial x^i}=frac{partial f}{partial t}+( abla f, abla H)$

我們將式中梯度的內積記為所謂的Poisson括弧，即

${ f,g}=( abla f, abla g)=Sigma _{i,j=1}^{2n}g_{ij}frac{partial f}{partial y^i}frac{partial g}{partial y^j}=Sigma _{i=1}^{n}frac{partial f}{partial x^i}frac{partial g}{partial p_i}-frac{partial g}{partial x^i}frac{partial f}{partial p_i}$

這便是Poisson括弧的幾何意義了。同時，我們可以證明關係： $abla {f,g}=-[ abla f, abla g]$ ，其中 $[*,*]$ 為Lie括弧或Lie導數。

設我們在正則坐標中有一個Hamilton函數H，這時任何函數 $f(x,p)$ 沿著Hamilton的導數為： $dot{f}={f,H}$ ，若 ${f,H}=0$ ，這時f稱為Hamilton系統的積分，則Hamilton系統的積分的集合組成Lie代數，且關於相乘的函數是封閉的。

定理1：令Hamilton系統有Hamilton函數 $H(x,p)$ ，滿足Hamilton正則方程，則二次微分形式 $Omega =dx^iwedge dp_i$ 在Hamilton系統上保持 $dot{Omega }=0$ .

證明： $frac{d(dx^i)}{dt}=dleft( frac{partial H}{partial p_i} ight) = frac{partial^2 H}{partial p_ipartial x^j}dx^j+ frac{partial^2 H}{partial p_ipartial p_j}dp_j$

$frac{d(dp_i)}{dt}=-dleft( frac{partial H}{partial x^i} ight) = -frac{partial^2 H}{partial x^ipartial x^j}dx^j- frac{partial^2 H}{partial x^ipartial p_j}dp_j$

由此

$frac{d(dx^iwedge dp_j)}{dt}= frac{partial^2 H}{partial p_ipartial x^j}dx^jwedge dp_i+ frac{partial^2 H}{partial p_ipartial p_j}dp_jwedge dp_i-dx^iwedgefrac{partial^2 H}{partial x^ipartial x^j}dx^j- dx^iwedgefrac{partial^2 H}{partial x^ipartial p_j}dp_j=0$

QED.

推論：相空間（x，p）中的體積在Hamilton系統運動之下保持不變。

證明：因為 $dot{Omega }=0$ ，有 $frac{d}{dt}left( Omega wedge...wedge Omega ight) =0$ ，即相空間中的體積是Hamilton系統運動產生點的變換下的不變數，這便是著名的Liouville定理。QED.

定義4：定義在流形 $M^{2n}$ 中的局部變換 $varphi :S^{2n} ightarrow S^{2n}$ ，如果它保持定義在 $M^{2n}$ 上的辛二次微分形式 $Omega$ 不變，則稱 $varphi$ 為局部正則變換。

換句話說，正則變換是辛空間的運動變換，即保持辛空間度量不變的變換。