電荷密度和電流密度的變換與介質中的麥克斯韋方程

08-17

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這個以前寫過，只不過那篇是截圖，這裡重新打一遍，反正也是閑著。從這裡也可以對麥克斯韋方程的美有所體會：只需要對電荷和電流密度做一個變換，就可以將真空中的麥克斯韋方程變為介質中的麥克斯韋方程。

1.電荷守恆定律以及電荷密度、電流密度的變換

電荷守恆定律的數學方程為

$frac{partial ho}{partial t}+ ablacdotoverrightarrow{j}=0$ （1）

其中， $ho$ 和 $overrightarrow{j}$ 表示電荷密度和電流密度。

容易發現，電荷守恆定律（1）是有變換的自由度的，如果我們將電荷密度做變換

$ho ightarrow ho= ho+ ablacdot(-overrightarrow{p})+ abla abla:overleftrightarrow{d}+...$ （2）

同時將電流密度做變換

$overrightarrow{j} ightarrowoverrightarrow{j}=overrightarrow{j}+frac{partialoverrightarrow{p}}{partial t}+ abla imesoverrightarrow{m}- ablacdotfrac{partialoverleftrightarrow{d}}{partial t}+...$ （3）

此時電流守恆定律仍然成立，即新的電流密度 $ho$ 和電荷密度 $overrightarrow{j}$ 仍然滿足

$frac{partial ho}{partial t}+ ablacdotoverrightarrow{j}=0$ （4）

實際上可以證明，（2）式和（3）式正好是介質中的等效電荷密度和等效電流密度，其中（2）和（3）等式右邊的第一項分別為自由電荷密度和自由電流密度，而其他項則依次對應電偶極矩密度、磁偶極矩密度和電四極矩密度...所產生的等效電荷密度和等效電流密度，其中磁偶極矩密度 $overrightarrow{m}$ 產生的等效電荷密度為零。

也就是說，存在電磁介質時，如果用 $ho$ 和 $overrightarrow{j}$ 表示總的電流密度和電荷密度，則

$ho= ho_f+ ablacdot(-overrightarrow{p})+ abla abla:overleftrightarrow{d}+...$ （5）

$overrightarrow{j}=overrightarrow{j_f}+frac{partialoverrightarrow{p}}{partial t}+ abla imesoverrightarrow{m}- ablacdotfrac{partialoverleftrightarrow{d}}{partial t}+...$ （6）

這裡 $ho_f$ 和 $overrightarrow{j_f}$ 分別表示自由電荷密度和自由電流密度。

我們通過對電荷密度和電流密度的變換，就得到了存在介質時的等效電荷密度和等效電流密度。

2.介質中的麥克斯韋方程

真空中的麥克斯韋方程為

$ablacdotoverrightarrow{E}=frac{ ho}{varepsilon_0}$ ， $abla imesoverrightarrow{E}=-frac{partialoverrightarrow{B}}{partial t}$ ， $abla imesoverrightarrow{B}=mu_0overrightarrow{j}+mu_0varepsilon_0frac{partialoverrightarrow{E}}{partial t}$ ， $ablacdotoverrightarrow{B}=0$ （5）

現在，我們把等效電荷密度（4）和等效電流密度（5）代入到麥克斯韋方程中，得到

$ablacdot(varepsilon_0overrightarrow{E}+p- ablacdotoverleftrightarrow{d}-...)= ho_f$ （6-1）

$abla imesoverrightarrow{E}=-frac{partialoverrightarrow{B}}{partial t}$ （6-2）

$abla imes(frac{overrightarrow{B}}{mu_0}-m+...)=overrightarrow{j_f}+frac{partial}{partial t} (varepsilon_0overrightarrow{E}+p- ablacdotoverleftrightarrow{d}-...)$ （6-3）

$ablacdotoverrightarrow{B}=0$ （6-4）

這就是介質中的麥克斯韋方程，只不過一般的事情我們只計算偶極密度的影響。定義電位移矢量和磁場強度分別為

$overrightarrow{D}=varepsilon_0overrightarrow{E}+p- ablacdotoverleftrightarrow{d}-...$ ， $overrightarrow{H}=frac{overrightarrow{B}}{mu_0}-m+...$ （7）

就得到了介質中的麥克斯韋方程的常見形式

$ablacdotoverrightarrow{D}= ho_f$ ， $abla imesoverrightarrow{E}=-frac{partialoverrightarrow{B}}{partial t}$ ， $abla imesoverrightarrow{H}=overrightarrow{j_f}+frac{partialoverrightarrow{D}}{partial t}$ ， $ablacdotoverrightarrow{B}=0$ （8）

3.四維的形式

電荷守恆定律的四維形式為

$partial_ u j^ u=0$ （9）

電流密度可以做變換

$j^ u ightarrow j^ u=j^ u+partial_mu M^{mu u}+...$ ，其中 $M^{mu u}=-M^{ umu}$ （10）

則 $j^ u$ 仍然滿足電荷守恆定律。

根據第1部分的結論，如果我們把 $j^ u$ 當做自由電流密度，則變換後的 $j^ u$ 就是包含介質在內的總的電流密度，而 $partial_mu M^{mu u}+...$ 則是介質產生的等效電流密度。如果我們只計算到偶極矩的影響，並且用 $j^ u$ 表示總的電流密度，用 $j^ u_f$ 表示自由電流密度，則根據（10）可得