【高等數學】二重積分化累次積分方法

08-17

【高等數學】二重積分化累次積分方法

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一、二重積分的理解

二重積分的一般表示如下：

$I = iintlimits_D f(x,y) mathrm{d} sigma$

它最佳的理解方式是——平面薄片的質量，即平面薄片佔據平面區域 $D$ , 在點 $(x,y)$ 處的面密度為 $f(x,y)$ ，整個平面薄片的總質量就是將 $f(x, y)$ 累積遍整個平面區域 $D$ .

當然，二重積分也是一個「分割、近似、求和、取極限」的過程，將該過程壓縮成一步到位，就是「二重積分」運算：

$limlimits_{lambda o 0} sumlimits_{i=1}^n f(xi_i, eta_i) Delta sigma_i riangleq iintlimits_D f(x,y) mathrm{d} sigma$

注1： $lambda$ 取所有 $Delta sigma_i$ 直徑的最大值，該極限比一般極限要複雜的多（多了對任意分割）；

注2：經過該過程，二重積分已經是一個精確值（不均勻平面薄片的精確質量）了；

注3：既然是任意分割，在直角坐標系下，按水平豎直分割，則微元面積 $mathrm{d} sigma = mathrm{d} x mathrm{d} y$ :

所以，二重積分也寫為：

$iintlimits_D f(x,y) mathrm{d} sigma = iintlimits_D f(x,y) mathrm{d} x mathrm{d} y$

二、計算二重積分的基本原理

直角坐標下的二重積分

二重積分是 $f(x, y)$ 在區域 $D$ 上累積而得，而且與累積路徑無關（二重積分定義保證），也就是說怎麼累積遍下圖中的小原點都是可以的：

那就選擇一種規則的累積法：先豎著累積「小細帶」，對每個 $x$ ，把所有的 $y$ 累積起來，記為

$A(x) = int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) mathrm{d} y$

再把所有「小細帶」橫著累積起來，得到

$I = int_a^b A(x)mathrm{d}x$

於是，

$egin{eqnarray*} I = iintlimits_D f(x,y) mathrm{d} sigma &=& int_a^b Big[ int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) mathrm{d} y Big] mathrm{d} x \ &xrightarrow{換個寫法}& int_a^b mathrm{d} x int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) mathrm{d} y end{eqnarray*}$

當然換個方向考慮（先橫著累積，再豎著累積）也是可以的，就得到：

$egin{eqnarray*} I = iintlimits_D f(x,y) mathrm{d} sigma &=& int_c^d Big[ int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y) mathrm{d} x Big] mathrm{d} y \ &xrightarrow{換個寫法}& int_c^d mathrm{d} y int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y) mathrm{d} x end{eqnarray*}$

綜上，二重積分轉化為累次積分，是將不方便直接計算的二重積分轉化成方便計算的做兩次定積分。

2. 極坐標下的二重積分

注意，影響上述計算的只有被積函數和積分區域的表達式。那麼，若積分區域或被積函數在直角坐標系下，仍不方便計算呢？比如帶 $x^2+y^2$ 項。那就再轉化為極坐標系下就方便計算了。

比如，這樣一個區域：

用直角坐標 $x, y$ 表示很困難，但換成極坐標則是非常簡單的「矩形」：

$heta in [alpha,eta], quad ho in [a,b]$

所以，在極坐標系下，既然積分區域可以任意分割，那就按原點射線、圓環方向分割。此時，微元面積 $mathrm{d} sigma$ 怎麼計算？

注意到，微元 $mathrm{d} sigma$ 很小，則圓弧邊可近似看成直線，該面積可近似按「長×寬」來算：

$m{d} sigma approx ho m{d} heta cdot m{d} ho$

其中， $ho m{d} heta$ 就是那段弧長，這裡雖然是 $approx$ ，但二重積分過程（分割、取極限）就能變成 $=$ .

因此，就有了二重積分化極坐標公式：

$iintlimits_D f(x,y) mathrm{d} sigma = iintlimits_{D} f( ho cos heta, ho sin heta) cdot ho m{d} ho m{d} heta$

其中， $D$ 是 $D$ 的極坐標表示。

注：實際上從直角坐標繫到極坐標系的轉化，是做了一種變換：

$left{ ! egin{array}{l} x = ho cos heta \ y = ho sin heta end{array} ight.$

則

$iintlimits_D f(x,y) mathrm{d} sigma = iintlimits_{D} f( ho cos heta, ho sin heta) cdot frac{partial(x,y)}{partial( ho, heta)} cdot m{d} ho m{d} heta$

其中，該變換的雅可比行列式恰好等於 $ho$ 而已：

$frac{partial (x,y)}{partial ( ho , heta )} = egin{vmatrix} frac{partial x}{partial ho} & frac{partial x}{partial heta} \ frac{partial y}{partial ho} & frac{partial y}{partial heta} end{vmatrix} = ho$

三、二重積分化累次積分的通用方法

根據前文原理：二重積分是在一塊二維的積分區域上，對被積函數做累積；無論採用哪種二重積分化累次積分的方式，關鍵是要把積分區域用兩個積分變數的範圍「精確」的表示出來。

一旦表示出來，順手就能寫成累次積分，二重積分的計算就只剩下計算兩次定積分。

兩個積分變數的積分區域，一定可以用這兩個變數的範圍「精確」表示出來，誰在先誰在後都行，這樣就必有兩種表示法：以直角坐標為例，就是

? 先 $x$ 後 $y$

? 先 $y$ 後 $x$

這兩種表示也保證了，二重積分必能按兩種方式轉化為累次積分。

這兩種表示的規則也很統一和簡單，找到兩個變數的變化範圍即可：

先看變數的範圍是數值範圍是： [最小值，最大值]；

後看變數的範圍是： [小的一側曲線，大的一側曲線]；

若某一側曲線不能統一寫為一個表達式，則對「先看變數」分段處理。

這個規則同樣適用於極坐標，當然極坐標下的變數的「大和小」需要專門學會區分。

極坐標下，積分區域也用直角坐標來畫，從極坐標的角度來看即可。

角度 $heta$ ，從 $0$ 度（ $x$ 軸正向）逆時針到 $2 pi$ ，來看從小到大（用過原點的射線，角的終邊衡量）；

極徑 $ho$ ，代表的是點到原點的距離，所以是從原點（最小極徑 $=0$ ），到外側圓環來看從小到大。具體操作在角度 $heta$ 的兩條射線（終邊）輔助下，從小的一側曲線到大的一側曲線，就是從內圈曲線，到外圈曲線。

以上原理非常簡單，你只需要記住上述原則（已加粗），會正確地區分積分變數的大和小。

四、例題演示

下面用兩道例題，幫你學會該方法。為了清楚，我寫了很啰嗦的解釋，上手之後只寫每步結果就很簡潔了。

例1 計算 $iintlimits_D xy , m{d} sigma$ , 其中 $D$ 為拋物線 $y^2=x$ 與直線 $y=x-2$ 所圍成的區域。

解：(1) 先畫出積分區域 $D$

(2) 「精確」表示區域 $D$

方法一：先 $y$ 後 $x$

「先看變數」 $y$ 是數值範圍：[最小值, 最大值], $y$ 是下邊小上邊大，最小值在 $A$ 點 $(1,-1)$ 處取到，最大值在 $B$ 點 $(4,2)$ 處取到，故 $y in [-1,2]$

看一下所確定的範圍：

可見，從 $y$ 軸方向來看，積分區域 $D$ 落在這兩條橫線中間。

「後看變數」 $x$ 範圍是：[小的一側曲線，大的一側曲線]， $x$ 是左側小右側大，所以是從左側曲線 $widehat{AOB}$ 到右側曲線 $overline{AB}$

左側曲線 $widehat{AOB}$ 的表達式為： $y^2=x xrightarrow{變形} x = y^2$

右側曲線 $overline{AB}$ 的表達式為： $y=x-2 xrightarrow{變形} x = y+2$

於是， $x in [y^2, y+2]$

注意：下方直線 $y=-1$ ，上方直線 $y=2$ , 左側曲線 $x=y^2$ , 右側曲線 $x=y+2$ , 恰好確定積分區域 $D$ , 即所謂的積分區域 $D$ 「精確」表示。

因此，二重積分可化為如下的累次積分：

$iintlimits_D xy , m{d} sigma =int_{-1} ^2 m{d} y int_{y^2}^{y+2} x y m{d} x$

方法二：先 $x$ 後 $y$

「先看變數」 $x$ 是數值範圍：[最小值, 最大值], $x$ 是左邊小右邊大，最小值在原點 $(0,0)$ 處取到，最大值在 $B$ 點 $(4,2)$ 處取到，故 $x in [0,4]$

看一下所確定的範圍：

可見，從 $x$ 軸方向來看，積分區域 $D$ 落在這兩條豎線中間。

「後看變數」 $y$ 範圍是：[小的一側曲線，大的一側曲線]， $y$ 是下方小上方大，所以是從下方曲線 $widehat{OA}+overline{AB}$ 到上方曲線 $widehat{OB}$ 。

顯然，下方曲線 $widehat{OA}+overline{AB}$ 不能統一用一個表達式表示，所以必須對 $x in [0,4]$ 分段，要以 $A$ 點作為分界點，注意到 $A$ 點坐標為 $(1,-1)$ , 故

$x in [0,4] = [0,1] cup [1,4]$

再給圖形增加 $x=1$ 輔助線，積分區域 $D$ 也被分為 $D_1$ 和 $D_2$ :

(i) 對 $D_1$ 區域， $x in [0,1]$ :

$y$ 小的一側曲線為 $widehat{OA}$ , 其表示為 $y^2=x xrightarrow{變形} y = -sqrt{x}$

$y$ 大的一側曲線為 $widehat{OC}$ , 其表示為 $y^2=x xrightarrow{變形} y = sqrt{x}$

故 $y in [- sqrt{x}, sqrt{x}]$ .

(ii) 對 $D_2$ 區域， $x in [1,4]$ :

$y$ 小的一側曲線為 $overline{AB}$ , 其表示為 $y=x-2$

$y$ 大的一側曲線為 $widehat{CB}$ , 其表示為 $y^2=x xrightarrow{變形} y = sqrt{x}$

故 $y in [x-2, sqrt{x}]$ .

因此，二重積分可化為如下累次積分：

$iintlimits_D xy , m{d} sigma =int_0 ^1 m{d} x int_{-sqrt{x}}^{sqrt{x}} x y m{d} y + int_1 ^4 m{d} x int_{x-2}^{sqrt{x}} x y m{d} y$

(3) 計算（略）。

注：實際中不用特意區分，直接「先 $x$ 後 $y$ 」，若不好算（需要分段或求積分困難），再「先 $y$ 後 $x$ 」即可。

例2 在極坐標下交換積分次序：

$I = int_{ - frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}} { m{d}} heta int_0^{2cos heta } f( ho cos heta , ho sin heta ) ho { m{d}} ho$

解：(1) 積分區域為「先 $heta$ 後 $ho$ 」表示：

$heta in ig[ -frac{pi}{4}, frac{pi}{2} ig], quad ho in [0, 2 cos heta]$

(2) 在直角坐標系畫出積分區域 $D$

先處理邊界曲線：

$egin{eqnarray*} ho=2cos heta &xrightarrow{變形}& ho^2=2 ho cos heta \ &xrightarrow{變形}& x^2+y^2 = 2x xrightarrow{變形} （x-1)^2+y^2=1 end{eqnarray*}$

再結合 $heta$ 的範圍，得到積分區域 $D$ ：

(3) 改用「先 $ho$ 後 $heta$ 」表示

$ho$ 最小值是 $0$ （原點），最大值在點 $(2,0)$ 處為 $2$ ，故 $ho in [0,2]$ .

添加 $ho=0$ （原點）和 $ho=2$ 輔助線，並標記若干點：

$heta$ 要從小的一側曲線（負角度一側，是 $overline{OB}+widehat{BA}$ ）, 到大的一側曲線（是 $widehat{OA}$ ）.

顯然， $overline{OB}+widehat{BA}$ 不能統一用一個表達式 $heta = heta_1( ho)$ 表示，所以，必須對 $ho in [0,2]$ 進行分段。要以 $B$ 點對應的 $ho$ 值作為分界點，注意到 $B$ 點坐標為 $(1,-1)$ , 故

$ho in [0,2] = [0, sqrt{2}] cup [sqrt{2}, 2]$

再給圖形加上 $ho = sqrt{2}$ 輔助線，該輔助線也將積分區域 $D$ 分為 $D_1$ 和 $D_2$ ：

(i) 對 $D_1$ 區域， $ho in [0, sqrt{2}]$ ：

$heta$ 小的一側曲線為 $overline{OB}$ , 其表示為： $heta = - frac{pi}{4}$

$heta$ 大的一側曲線為 $widehat{OC}$ , 其表示為： $ho=2 cos heta xrightarrow{變形} heta = arccos frac{ ho}{2}$

故 $heta in ig[- frac{pi}{4}, arccos frac{ ho}{2} ig]$ .

(ii) 對 $D_2$ 區域， $ho in [sqrt{2}, 2]$ ：

$heta$ 小的一側曲線為 $widehat{BA}$ ，其表示為： $ho=2 cos heta xrightarrow{變形} heta = -arccos frac{ ho}{2}$

$heta$ 大的一側曲線為 $widehat{CA}$ ，其表示為： $ho=2 cos heta xrightarrow{變形} heta = arccos frac{ ho}{2}$

故 $heta in ig[- arccos frac{ ho}{2} , arccos frac{ ho}{2} ig]$

因此，原二重積分可化為如下累次積分：

$I = int_0^{sqrt 2 } { m{d}} ho int_{ - frac{pi }{4}}^{arccos frac{ ho }{2}} f( ho cos heta , ho sin heta ) ho { m{d}} heta + int_{sqrt 2 }^2 {{ m{d}} ho } int_{ - arccos frac{ ho }{2}}^{arccos frac{ ho }{2}} f( ho cos heta , ho sin heta ) ho { m{d}} heta$

參考文獻：

《高等數學》，同濟版