數論（2）——Dedekind的理想論

08-16

數論（2）——Dedekind的理想論

來自專欄數論漫談5 人贊了文章

19世紀中期，Kummer在研究費馬大定理的過程中（數論（3）——Kummer與費馬大定理），對分圓域做了系統的理論工作，在這個基礎上，Dedekind把他們的思想加以代數化，建立了一般代數數域上的基礎概念和結果. 他用抽象代數化的方式講述數論，重新講述Gauss和Kummer的理論，避免大量的具體計算.

Dedekind

1871年，Dedekind在為狄利克雷《數論講義》一書所寫的附錄中首次講述理想論. 他的理論和他在1872年用「戴德金分割」方法定義實數一樣，不被當時人所理解. 但是，Lipschitz於1876年寫信支持Dedekind把他的理論寫成著作，於是就有了Dedekind於1877年所寫的《代數整數論》一書.

歷史故事講完，我們將介紹Dedekind對代數數論的主要貢獻，它也是經典的代數數論內容.

初等數論主要活動場所是有理數域 $mathbb{Q}$ 和它的整數環 $mathbb{Z}$ . 但正如我們已經在數論（1）——費馬的夢想看到的那樣，在研究每個具體的丟番圖方程時，通常需要考慮域 $mathbb{Q}$ 的有限次擴張 $K$ ，我們把這樣的域 $K$ 稱為代數數域（簡稱數域），這是代數數論的基本研究對象.

數域的整數環

Dedekind把通常的整數概念推廣到任意的代數數域中：

定義：數域 $K$ 中的元素 $alpha$ 稱為代數整數，如果存在首一整係數多項式 $f(x)$ 使得 $f(alpha)=0$ . 我們 $K$ 中所有代數整數組成的集合記為 $mathcal{O}_{K}$ .

Dedekind的第一個結果是：

命題1： $mathcal{O}_{K}$ 是整環，稱之為代數整數環.

這相當於要證明： $alpha,etain mathcal{O}_{K}implies alpha pm eta,alphaeta in mathcal{O}_{K}$ . 由定義證明此事並不容易. 1850年，愛森斯坦才用對稱函數的方法通過複雜的計算證明了此事.（具體證明參加文獻1的P26） Dedekind希望用純代數的方法代替計算，於是他發明了模的概念，並證明了

命題2： $alpha in K$ 是代數整數 $iff mathbb{Z}[alpha]$ 是有限生成 $mathbb{Z}$ -模

有了命題2，我們就可以輕易證明命題1如下：

設 $alpha,etain mathcal{O}_{K}$ ，則 $mathbb{Z}[alpha],mathbb{Z}[eta]$ 都是生成 $mathbb{Z}$ -模 $implies mathbb{Z}[alpha,eta]$ 是生成 $mathbb{Z}$ -模 . 這可推知 $mathbb{Z}[alpha,eta]$ 中的任意元素 $a$ 都是代數整數，這是因為 $mathbb{Z}[alpha,eta,a]=mathbb{Z}[alpha,eta]$ 是生成 $mathbb{Z}$ -模 . 而 $alpha pm eta,alphaeta in mathbb{Z}[alpha,eta]$ ，得證.

當然，命題1和命題2對更一般的環擴張也成立，這是經典的交換代數內容. 我們先看幾個例子吧.

例1：取 $K=mathbb{Q}$ ，則 $mathcal{O}_{K}=mathbb{Z}$ .

例2：每個二次數域（即 $mathbb{Q}$ 的二次擴域）均可唯一地表示成 $K=mathbb{Q}(sqrt{d})$ ，其中 $d$ 為無平方因子的整數. 當 $d>0$ 時叫做實二次域，當 $d<0$ 叫做虛二次域. 二次域 $K=mathbb{Q}(sqrt{d})$ 的代數整數環為

證明：我們先證明任意二次數域 $K$ 都可以表示成這樣的形式. 事實上，任取 $alpha in K-mathbb{Q}$ ，則 $1,alpha$ 是 $mathbb{Q}$ -線性無關，而 $1,alpha,alpha^{2}$ 是 $mathbb{Q}$ -線性相關的（因維數為 $2$ ），故存在 $a eq 0,b,cin mathbb{Z}$ 使得 $aalpha^{2}+balpha +c=0$ ，於是 $alpha=dfrac{-bpm sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ ，再取 $d$ 為 $b^{2}-4ac$ 的無平方因子部分即可.

接著我們求二次域的整數. 設 $alpha= a+bsqrt{d}in K~~(a,bin mathbb{Q})$ ，它的極小多項式為 $x^{2}-2ax+a^{2}-b^{2}d$ . 因此 $alpha= a+bsqrt{d}in mathcal{O}_{K}iff 2a,a^{2}-b^{2}din mathbb{Z}$ .

現設 $alpha= a+bsqrt{d}in mathcal{O}_{K}$ ，則 $2a,a^{2}-b^{2}din mathbb{Z}implies (2a)^{2}-d(2b)^{2}=4(a^{2}-b^{2}d)in mathbb{Z}implies d(2b)^{2}in mathbb{Z}$

我們斷言 $2bin mathbb{Z}$ ，否則 $(2b)^{2}$ 作為有理數，它的分母含平凡因子，而 $d$ 無平凡因子，與 $d(2b)^{2}in mathbb{Z}$ 矛盾. 於是可設 $a=frac{u}{2},b=frac{v}{2},~u,vin mathbb{Z}$ . 則上式化為 $u^{2}-dv^{2}in 4mathbb{Z}$ .

因此，若 $v$ 為偶數，則 $u$ 為偶， $a,b$ 均為整數；若 $v$ 為奇數，則 $v^{2}equiv1 ext{ mod }4$ ，由上式可知 $u$ 為奇數而 $dequiv1 ext{ mod }4$ . 這也就是說，

當 $dequiv 2,3 ext{ mod }4$ ，

$alpha= a+bsqrt{d}in mathcal{O}_{K}iff a,bin mathbb{Z}$

此時， $mathcal{O}_{K}=mathbb{Z}[sqrt{d}]$ ；

當 $dequiv 1 ext{ mod }4$ ，

$alpha= a+bsqrt{d}=dfrac{u+vsqrt{d}}{2}in mathcal{O}_{K}iff uequiv v ext{ mod }2,~u,vin mathbb{Z}$

此時 $mathcal{O}_{K}={dfrac{u+vsqrt{d}}{2}~|~uequiv v ext{ mod }2,~u,vin mathbb{Z}}=mathbb{Z}[dfrac{1+sqrt{d}}{2}]$ .

例3：對整數 $ngeq 2$ ，分圓域 $K=mathbb{Q}(zeta_{n})(zeta_{n}=e^{frac{2pi i}{n}})$ 的代數整數環 $mathcal{O}_{K}=mathbb{Z}[zeta_{n}]$ .

證明：參見 數論（3）——Kummer與費馬大定理.

命題3：數域 $K$ 的整數環 $mathcal{O}_{K}$ 作為群是秩為 $n=[K:mathbb{Q}]$ 的自由阿貝爾群. 它的一組基稱為 $mathcal{O}_{K}$ （或 $K$ ）的一組整基.

命題3表明數域的整基總是存在的，但並不是唯一的：例如考慮二次域 $K=mathbb{Q}(sqrt{d})$ ，當 $dequiv 2,3 ext{ mod }4$ 時， ${1,sqrt{d}}$ 是 $K$ 的一組整基；當 $dequiv 1 ext{ mod }4$ ， ${1,dfrac{1+sqrt{d}}{2}}$ 是 $K$ 的一組整基. 另外一方面，如果我們令

在任何情況下，直接驗證可知 ${1,dfrac{D+sqrt{D}}{2}}$ 也是 $K=mathbb{Q}(sqrt{d})$ 的一組整基.

但是由整基可構造一個重要的不變數：設 $sigma_{1},cdots,sigma_{n}$ 是 $K$ 到 $mathbb{C}$ 的 $n$ 個嵌入，設 ${alpha_{1},cdots,alpha_{n}}$ 是 $mathcal{O}_{K}$ 的一組整基，則

$det((sigma_{i}alpha_{j}))^{2}=det(T(alpha_{i}alpha_{j}))in mathbb{Z}$

是 $K$ 的不變數（指的是與整基的選取方式無關），叫做域 $K$ 的判別式，記為 $d_{K}$ .

例如考慮二次域 $K=mathbb{Q}(sqrt{d})$ 以及它的一組整基 ${1,dfrac{D+sqrt{D}}{2}}$ ，於是判別式為

然而在一般情形下，尋求某個數域 $K$ 的整基和計算判別式 $d_{K}$ 並不是一件容易的事情哦.

Dedekind整環

代數整數環不一定是UFD！例如考慮二次域 $K=mathbb{Q}(sqrt{-5}),~ mathcal{O}_{K}=mathbb{Z}[sqrt{-5}]$ ，有理整數 $21$ 有兩種素元分解

$21=3cdot 7=(1+2sqrt{5})cdot (1-2sqrt{5})$

這裡 $3$ 是不可約元是因為：假設 $3=alpha eta$ ， $alpha, eta$ 非單位，則 $N(alpha)N(eta )=9 implies N(alpha)=pm 3$ 但是方程 $N(alpha)=N(x+ysqrt{-5})=x^{2}+5y^{2}=pm 3$ 在 $mathbb{Z}$ 無解. 同理可證 $7,1pm 2sqrt{-5}$ 不可約. 另外一方面，因為 $dfrac{1pm 2sqrt{-5}}{3}, dfrac{1pm 2sqrt{-5}}{7} otin mathcal{O}_{K}$ ，所以它們均不相伴.

那我們該怎麼辦呢？Kummer說，我們必須把 $K$ 的整數嵌入到更大的「理想數」整環中使得唯一分解為「理想數」的性質在其中成立！例如在

$21=3cdot 7=(1+2sqrt{5})cdot (1-2sqrt{5})$

的例中，右邊的因子滿足：存在素理想 $mathfrak{p}_{1},mathfrak{p}_{2},mathfrak{p}_{3},mathfrak{p}_{4}$ 使得

$(3)=mathfrak{p}_{1}mathfrak{p}_{2},~(7)=mathfrak{p}_{3}mathfrak{p}_{4},~1+2 sqrt{-5}=mathfrak{p}_{1}mathfrak{p}_{3},~1-2sqrt{-5}=mathfrak{p}_{2}mathfrak{p}_{4}$

這就解決了不唯一問題！因為

$(21)=(mathfrak{p}_{1}mathfrak{p}_{2})(mathfrak{p}_{3}mathfrak{p}_{4})= (mathfrak{p}_{1}mathfrak{p}_{3})(mathfrak{p}_{2}mathfrak{p}_{4}).$

命題4：設 $K$ 是數域，則它的代數整數環 $mathcal{O}_{K}$ 是諾特整閉的，且每個非零素理想都是極大理想.

這就引出了Dedekind環的概念，而代數整數環 $mathcal{O}_{K}$ 就是它的模型：

定義：一個諾特整閉整環叫做Dedekind整環，若它的每個非零素數理想都是極大的.

Dedekind整環滿足素理想唯一分解性質：

命題5：Dedekind整環 $R$ 每個非零非單位理想 $mathfrak{a}$ 可分解為素理想之積

$mathfrak{a}=mathfrak{p}_{1}^{e_{1}}cdots mathfrak{p}_{n}^{e_{n}}$

其中 $e_{i}geq 1,mathfrak{p}_{1},cdots,mathfrak{p}_{n}$ 是 $R$ 的不同素理想. 且若不考慮因子的次序，分解是唯一的.

數與理想的差距

我們知道在一個整環中，一個非零元素是素元當且僅當它生成的主理想是素理想. 所以一個自然的問題是：

Question：素數與素理想差多遠？也就是說，Dedekind整環什麼時候是PID？或者說，如何刻畫Dedekind整環與PID差距？

最簡單直接的想法是：考慮代數整數環 $mathcal{O}_{K}$ 全體非零理想組成的集合，它們關於理想的乘法形成一個含幺交換半群，而命題5是說這是一個以素理想為基底的自由交換半群. 但是半群不好操作，我們期望把這個自由交換半群擴大為一個交換群. 這就引出了分式理想的概念.

定義：設 $K$ 是數域，稱 $K$ 的子集合 $mathfrak{a}$ 是分式理想，如果它滿足如下等價條件：存在非零整數 $cin mathcal{O}_{K}$ 使得 $cmathfrak{a}$ 是 $mathcal{O}_{K}$ 的非零理想 $iff mathfrak{a}$ 是 $K$ 的非零有限生成 $mathcal{O}_{K}$ -子模. 每個非零元 $ain K^{ast}$ 定義了一個分式理想 $amathcal{O}_{K}$ ，稱之為主分式理想. 為區分起見，把 $mathcal{O}_{K}$ 的理想稱為整理想.

$K$ 的兩個分式理想 $mathfrak{a},mathfrak{b}$ 的積定義為形如 $sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i},a_{i}in mathfrak{a},b_{i}in mathfrak{b}$ 的所有元，它仍是分式理想；所有分式理想關於積形成阿貝爾群，記為 $I_{K}$ ：單位元是 $mathcal{O}_{K}$ ,分式理想 $mathfrak{a}$ 的逆是 $mathfrak{a}^{-1}={xin K~|~xmathfrak{a}subset mathcal{O}_{K}}$

由命題5可推知：

推論1：每個分式理想 $mathfrak{a}$ 可唯一分解表示為

$mathfrak{a}=prod_{mathfrak{p}}mathfrak{p}^{e_{mathfrak{p}}}$

其中 $mathfrak{p}$ 取遍 $mathcal{O}_{K}$ 的所有非零素理想， $e_{mathfrak{p}}in mathbb{Z}$ 除有限個外都為 $0$ .

證明：只需要注意到每個分式理想都是兩個整理想的商.

定義：所有分式主理想 $(a)=amathcal{O}_{K},ain K^{ast}$ 作成分式理想群 $I_{K}$ 的子群，記為 $P_{K}$ . 稱商群 $Cl_{K}:=I_{K}/P_{K}$ 為 $K$ 的理想類群（簡稱類群）. 我們把類群的階數 $h(K)$ 稱為 $K$ 的理想類數.

由定義我們得到一條正合列

$1 o mathcal{O}_{K}^{ imes} o K^{ast} o I_{K} o Cl_{K} o 1$

其中 $mathcal{O}_{K}^{ imes}$ 表示 $mathcal{O}_{K}$ 全體單位組成的單位群，中間的箭頭由 $amapsto (a)=amathcal{O}_{K}$ 給出.

命題6：設 $K$ 是代數數域，則以下陳述等價：

$mathcal{O}_{K}$ 是UFD.
$mathcal{O}_{K}$ 是PID.
$Cl_{K}=1iff h(K)=1$ .

因此單位群 $mathcal{O}_{K}^{ imes}$ 和類群 $Cl_{K}$ 刻畫了群同態 $K^{ast} o I_{K},~amapsto (a)=amathcal{O}_{K}$ 離同構有多遠，刻畫了數與理想的差距！類群 $Cl_{K}$ 刻畫了 $mathcal{O}_{K}$ 離UFD有多遠！

關於理想類群和單位群有兩個基本定理：

命題7：數域的理想類群是有限阿貝爾群.

證明：對不起，工具不夠，後面建立工具再證.

命題8（狄利克雷單位定理）：數域 $K$ 的單位群是有限生成阿貝爾群. 具體來說，分別以 $r_{1},r_{2}$ 記 $K$ 到 $mathbb{C}$ 的實嵌入和復嵌入對的個數，則

$mathcal{O}_{K}^{ imes}simeq mathbb{Z}^{r_{1}+r_{2}-1}oplus W_{K}$

其中 $W_{K}$ 表示 $K$ 的所有單位根構成的乘法群（這是有限循環群）. 換句話說：存在一組單位 $varepsilon_{1},cdots,varepsilon_{r_{1}+r_{2}-1}$ ，稱為基本單位系，使得其他單位 $varepsilon$ 可唯一寫成 $varepsilon=omegacdot varepsilon_{1}^{a_{1}}varepsilon_{2}^{a_{2}}cdots varepsilon_{r}^{a_{r}}$ ，其中 $omega in W_{K}$ .

證明：對不起，工具不夠，後面建立工具再證.

註記：數域 $K$ 中的乘法有限階元素稱為 $K$ 中單位根. 如果 $alpha^{n}=1$ ，稱之為 $n$ 次單位根；如果 $alpha$ 的階為 $n$ ，稱之為本原單位根. 數域 $K$ 的單位根全體 $W_{K}$ 形成乘法群，稱之為數域 $K$ 的單位根群. 可以證明 $W_{K}$ 為有限群，又由任意域中的有限乘法群都是循環群推知 $W_{K}$ 是有限循環群.（證明細節可參見文獻4定理1.5（P12）的證明）

例4（二次域的單位）：對實二次域 $K=mathbb{Q}(sqrt{d})(d>0),r_{1}=2,r_{2}=0,r=r_{1}+r_{2}-1=1$ . 於是 $K$ 的基本單位系只含一個單位 $varepsilon$ ，而 $W_{K}={pm 1}$ . 所以實二次域的單位為 $pm varepsilon^{a}(ain mathbb{Z})$ .

對虛二次域 $K=mathbb{Q}(sqrt{d})(d<0),r_{1}=0,r_{2}=1,r=r_{1}+r_{2}-1=0 implies mathcal{O}_{K}^{ imes}=W_{K}$ .

當 $d=-1$ 時， $mathcal{O}_{K}^{ imes}=W_{K}={pm 1,pm i}$ ；當 $d=-3$ 時， $mathcal{O}_{K}^{ imes}=W_{K}={pm 1,pm xi_{3},pm xi_{3}^{2}}$ ；其他情形， $mathcal{O}_{K}^{ imes}=W_{K}={pm 1}$ .

例5（分圓域的單位）對分圓域 $K=mathbb{Q}(zeta_{n}) ~(ngeq 3),r_{1}=0,r_{2}=dfrac{varphi(n)}{2},r=r_{1}+r_{2}-1=dfrac{varphi(n)}{2}-1$ . 當 $n$ 很大時， $r$ 是一個很大的正整數，從而它的單位群是一個很大的群，決定它的一組基本單位系至今仍是困難的問題（Kummer當年就遇到過這個難題）. 參見數論（3）——Kummer與費馬大定理

我們來看看狄利克雷單位定理的應用：

例6（Pell方程）當年費馬陳述證明了如下事實：設 $N$ 為自然數，它不是某個自然數的平方，則方程 $x^{2}-Ny^{2}=1$ 具有無限多個自然數解. 具體證明細節參見文獻3命題4.27（P100）.

總結一下，我們的核心問題是決定理想類群 $Cl_{K}$ ，計算類數 $h(K)$ 和決定基本單位系. Dedekind對於計算類數做了第一步貢獻，他定義了域 $K$ 的Zeta函數，在這個基礎上後人給出了類數解析公式.

參考文獻

J.S. Milne. Algebraic Number Theory.
馮克勤. 代數數論簡史.
加藤和也. 數論I——Fermat的夢想和類域論.
馮克勤. 代數數論.