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計算方法（數值分析）複習大綱（一）

08-16
計算方法（數值分析）複習大綱（一）

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Lagrange插值

區間[a,b]上n+1個互異的節點，插值函數，插值節點，插值條件，

誤差函數稱為插值余項 R(x)=f(x)-p(x)=frac{f^{n+1}(xi)}{(n+1)!}omega(x)

其中 omega(x)=prod_{i=0}^n(x-x_i)quadquad, quadxiin(a,b)

n次插值多項式

n次代數插值問題的解是存在的並且是唯一的

Newton插值

差商的性質

  • 函數f(x)的n階差商 f[x_0, x_1, cdots , x_n] 可以由 f(x_0), f(x_1),cdots , f(x_n) 的線性組合表示。
  • 差商具有對稱性，任意交換兩個節點的次序，其值不變。
  • 若 f[x, x_0, x_1, cdots , x_k] 是x的m次多項式，則 f[x, x_0, x_1, cdots , x_k, x_{k+1}] 是x的m-1次多項式。
  • 若f(x)是n次多項式，則 f[x, x_0, x_1, cdots , x_n] 恆為0。
  • 若f(x)存在k階導數，則 f(x) 的k階差商與其k階導數之間有下列關係： f[x_0, x_1, cdots , x_k]=frac{f^{(k)}(xi)}{k!}

n次插值多項式的係數 a_k=f[x_0, x_1, cdots , x_k]

誤差函數 R_n(x)=f[x_0, x_1, cdots , x_n, x]prod_{i=0}^{n}(x-x_i)

分段線性插值

高次插值的龍格現象

將插值區間分成若干個小的區間，在每個小區間上進行線性插值。然後相互連接，用連接相鄰節點的折線逼近被插函數。曲線連續但不光滑。

誤差估計：

三次樣條插值

分段插值函數在整個區間上具有連續的二階導數

特點：

  • 在每個區間內都是3次多項式；
  • 在小區間端點 x_i 處連續並且： f(x_i)=S(x_i) ;
  • S(x) 在 x_i 點不連續，即不光滑。

三次樣條插值函數的構造方法-顯式方法：

條件：

誤差估計與收斂性：

最佳平方逼近

||f(x)-s(x)||_2^2=int_a^b{ ho(x)[f(x)-s(x)]^2}{ m d}x

其中 ho(x) 為權函數，權函數需滿足：

  • 區間[a,b]上的非負函數；
  • 對於[a,b]上的非負連續函數 g(x) ，若有 int_a^b{ ho(x)g(x){ m d}x=0} ，則必有 g(x)equiv0 ；
  • int_a^b{x^k} ho(x){ m d}x 存在； k=0, 1, 2,cdots ；

內積定義：

(f,g)=int_a^b ho(x)f(x)g(x){ m d}x

由內積定義範數（度量）：

||f(x)||_2=(f,f)^{frac1 2}=(int_a^b ho(x)f^2(x){ m d}x)^{frac 1 2}

最佳平方逼近：

設 f(x)in C[a,b]，Phi =spanlbrace varphi _0, cdots , varphi _n brace ，若存在 s^*(x)in Phi ，滿足

int_a^b{ ho(x)[f(x)-s^*(x)]^2}{ m d}x=minlbrace int_a^b{ ho(x)[f(x)-s(x)]^2}{ m d}x brace

則稱 s^*(x) 為f(x)在 Phi 上的最佳平方逼近函數。

曲線擬合的最小二乘法

實驗數據與擬合曲線的偏差的平方和最小，這就是最小二乘原理。

設實際曲線為 f(x) ，擬合曲線為 varphi (x) ，誤差為 e 。

||e||2=lbrace sum{i=0}^{n}[varphi (x_i)-f(x_i)]^2 brace ^{frac 1 2}

要使 ||e||2^2=sum{i=0}^{n}[varphi (x_i)-f(x_i)]^2 最小。

多項式擬合中的正規方程組由唯一解： A^TAx=A^Tb


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