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13.2（1）一致收斂函數列的解析性質

08-16

13.2（1）一致收斂函數列的解析性質

來自專欄數學分析教學筆記21 人贊了文章

講了一周的一致收斂，現在講講一致收斂有什麼「用」。

我們將論證，一致收斂的函數列的極限函數的連續性、可積性和可微性，即所謂「解析性質」。

定理13.8 設函數列 ${f_n(x)}$ 在 $(a,x_0)cup(x_0,b)$ 上一致收斂於 $f(x)$ ,且對每個 $n$ , $lim_{x ightarrow x_0}f_n(x)=a_n,$ 則 $lim_{n ightarrow infty}a_n$ 和 $lim_{x ightarrow x_0}f(x)$ 均存在且相等。

證明由一致收斂性， $forall epsilon>0, exists N>0, forall n>N, forall p,$ 對一切 $xin (a,x_0)cup (x_0,b)$ ,有

$|f_{n+p}(x)-f_n(x)|<epsilon$ ，令 $x ightarrow x_0,$ 則

$|a_{n+p}-a_n|leq epsilon$ ，由柯西準則， $lim_{n ightarrow infty}a_n$ 存在，記為 $A$ .

由一致收斂及數列極限定義， $forall epsilon>0, exists N>0, forall n>N,$ 比如取 $n=N+1$ ，有

$|f_{N+1}(x)-f(x)|<epsilon/3, |a_{N+1}-A|<epsilon/3,$

臨門一腳來了！

再由 $lim_{x ightarrow x_0}f_{N+1}(x)=a_{N+1}Rightarrow exists delta>0, 0<|x-x_0|<delta,$ 有 $|f_{N+1}(x)-a_{N+1}|<epsilon/3,$

綜上

$|f(x)-A|leq |f(x)-f_{N+1}(x)|+|f_{N+1}(x)-a_{N+1}|+|a_{N+1}-A|<epsilon,$

這就是函數極限的定義 $lim_{x ightarrow x_0}f(x)=A.$ $Box$

這個定理指出，在一致收斂的條件下，求極限的順序可以交換，即

$lim_{x ightarrow x_0}lim_{n ightarrow infty}f_n(x) = lim_{n ightarrow infty}lim_{x ightarrow x_0}f_n(x)$ .

定理13.9（連續性） 若函數列 ${f_n(x)}$ 在區間 $I$ 上一致收斂，且每一項都連續，則其極限函數在 $I$ 上也連續。

證明因為是初學，我們再寫一下極限順序的交換式。

$lim_{x ightarrow x_0}f(x)=lim_{x ightarrow x_0}lim_{n ightarrow infty}f_n(x) = lim_{n ightarrow infty}lim_{x ightarrow x_0}f_n(x)=lim_{n ightarrow infty}f_n(x_0)=f(x_0).$ $Box$

定理13.9其實也給出了判斷函數列不一致收斂的一個判別法。

因為連續性是函數的局部性質，我們有下面重要的推論。

推論若函數列 ${f_n(x)}$ 在區間 $I$ 上內閉一致收斂於 $f(x)$ ，則 $f(x)$ 在 $I$ 上連續。

例 ${x^n}$ 在(-1,1)內閉一致收斂於0，因此極限函數是連續的。

下面可積性的證明是簡單的，只需要用到數列極限的定義。

定理13.10（可積性） 若函數列 ${f_n}$ 在 $[a,b]$ 上一致收斂，且每一項都連續，則

$int_a^b lim_{n ightarrow infty}f_n(x)mathrm dx=lim_{n ightarrowinfty}int_a^bf_n(x)mathrm dx.$

最後我們看看可微性。

定理13.11（可微性） 若函數列 ${f_n}$ 為定義在 $[a,b]$ 上，若 $x_0in[a,b]$ 為其收斂點， ${f_n}$ 的每一項都有連續的導數， ${f_n}$ 在 $[a,b]$ 上一致收斂，則

$frac{mathrm d}{mathrm dx}left(lim_{n ightarrowinfty }f_n(x) ight)=lim_{n ightarrowinfty}frac{mathrm d}{mathrm dx}f_n(x).$

證明請大家記住下面這個式子。

$f_n(x)=f_n(x_0)+int_{x_0}^xf_n(t)mathrm dt.$

令 $n ightarrow infty$ , 則左邊極限必存在，記為f(x)，並記 $f_n(x) ightrightarrows g(x)$ ，則 $g(x)$ 連續，且

$f(x)=f(x_0)+int_{x_0}^x g(t)mathrm dt Rightarrow f(x)=g(x)$ ，這就是結論。 $Box$

同樣，由於可微性仍然是函數的局部性質，我們仍有

推論設函數列 ${f_n}$ 定義在區間 $I$ 上收斂於 $f$ ，若 $x_0$ 是其收斂點，且 $f_n$ 在 $I$ 上連續，且內閉一致收斂，則 $f$ 在 $I$ 上可導，且 $f(x)=lim_{n ightarrow infty}f_n(x).$

注意教材P42頁的推論之意實為「將一致收斂」減弱為「內閉一致收斂」，其他條件不變。

最後看兩個典型的反例。

例1 （難得偷懶截張圖，分段函數第一行應該為 $2nalpha_n x$ ，大家注意！）

$alpha_n$ 如圖

我們知道

（1） $f_n(x)$ 為連續函數列，極限函數為 $f(x)=0. sup |f_n(x)-f(x)|=alpha_n.$

（2） $f_n(x) ightrightarrows 0$ 的充分必要條件是 $alpha_n ightarrow 0 (n ightarrow infty).$

（3） $int_0^1 f_n(x)mathrm dx=frac{alpha_n}{2n} ightarrow 0$ 的充分必要條件是 $lim_{n ightarrowinfty}frac{alpha_n}{2n}=0$ 。

由（1,2,3）知一致收斂性是極限運算與積分運算可以交換順序的充分，但不必要條件。 $Box$

例2 函數列 $f_n(x)=frac{1}{2n}ln (1+n^2x^2),$

$f_n(x)=frac{nx}{1+n^2x^2},$

在 $xin [0,1]$ 上都收斂於0. 但是

（1） $f_n(x)$ 不一致收斂於0（自己證明，我取 $x_n=1/n$ ，大家隨意）

（2） $f_n(x)$ 在(0,1]上內閉一致收斂於0，因為求導運算和求極限還是可以交換順序的。

結論：一致收斂是極限運算和求導運算可以交換的充分條件，但不是必要條件。

疑問：什麼時候上面的某些條件可以變成充要條件呢？

關鍵詞：dini定理

有興趣的同學可以參考一下其他相關教材，適當的時候我也會拿出來給予簡單的講解。

以學習目的計，我們的重點應該是放在函數項級數上，當然函數列與函數項級數的關係，就猶如數列和數項級數的關係一樣，二者的收斂本質上是等價的，但級數的方法繁多，技巧性強，所以我們還是會單獨拿出來，敘述和函數列完全相仿的性質，學習一些內涵更多的題目。

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