韋依猜想的上同調解釋

08-16

韋依猜想的上同調解釋

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設 $X$ 是 $mathbb{F}_{q}$ 上的 $d$ 維光滑射影簇，約定 $ar{X}=X imes ar{mathbb{F}}_{q}$ .

在1936年，Hasse發現可以把 $X(mathbb{F}_{q^{n}})$ 的計數問題轉化成純幾何的問題：

在射影簇 $ar{X}$ 上，我們可以定義Frobenius自同態 $F_{X},F_{X}^{2},F_{X}^{3},cdots$ . 射影簇 $X$ 上 $mathbb{F}_{q^{n}}$ -點集 $X(mathbb{F}_{q^{n}})$ 恰好是自同態 $F_{X}^{n}:ar{X} o ar{X}$ 的不動點集！

而關於不動點集的計算，回顧經典的

（Lefschetz不動點定理）對於復代數簇 $X$ ，自同態 $f:X o X$ 誘導 $H^{i}(X,mathbb{Q}):=H^{i}(X,mathbb{Z})otimes mathbb{Q}$ 的 $mathbb{Q}$ -線性自同態 $f^{ast}:H^{i}(X,mathbb{Q}) o H^{i}(X,mathbb{Q})$ . 假定 $f$ 的圖 $Gamma_{f}$ 和恆同映射的圖 $Delta$ 橫截相交，我們定義不動點為這些交點在 $X$ 上的投影. 則不動點的個數 $N=sum_{igeq 0}(-1)^{i} ext{Tr}(f^{ast}|H^{i}(X,mathbb{Q})).$

所以我們期望對於有限域上的 $X$ 定義「正確」的上同調論，使得Lefschetz不動點定理的類比成立。

韋依上同調

這種「正確的」上同調就是韋依上同調：

給定域 $k$ （任意特徵）和 $K$ （特徵為 $0$ ），記 $k$ 上光滑射影簇的範疇 $mathcal{V}(k)$ ，分次 $K$ 代數的範疇為 $GrVect(K)$ . 定義韋依上同調函子為反變函子 $H^{ast}:mathcal{V}(k) o GrVect(K)$ ，對所有 $d$ 維射影簇 $X$ ，滿足如下公理：

（有限公理） $H^{i}(X)$ 都是有限維 $K$ -線性空間；
（消沒公理） $H^{i}(X)=0$ ，除非 $0leq ileq 2d$ ；
（定向公理） $H^{2d}(X)=K$ ；
（龐加萊對偶）存在非退化配對 $H^{i}(X)otimes H^{2d-i}(X) o H^{2d}(X)=K$ ;
（Kunneth公式）有典範同構 $H^{ast}(X)otimes H^{ast}(Y) o H^{ast}(X imes Y)$ ；上述5條公理是一般上同調論的共性，我們希望韋依上同調還能給出代數幾何特有的
（閉鏈映射）記 $C_{rat}^{i}(X)$ 為 $X$ 中余維數為 $i$ 的代數閉鏈的有理等價類所張成的 $K$ -線性空間. 要求存在閉鏈映射 $cl_{X}:C_{rat}^{i}(X) o H^{2i}(X)$ 滿足函子性，與Kunneth公式相容，並在 $X$ 退化為單點時給出嵌入 $mathbb{Q}hookrightarrow K$ .
（弱Lefschetz定理）
（強Lefschetz定理）

4種經典的韋依上同調

設 $X$ 是一個域 $k$ 上的光滑射影簇. 令 $ar{X}=X imes k^{sep}$ ，這裡 $k^{sep}$ 是 $k$ 的可分閉包.

（Betti（奇異）上同調）如果存在嵌入 $khookrightarrow mathbb{C}$ ，則定義 $X$ 的Betti（奇異）上同調為 $H_{B}^{i}(X,mathbb{Q}):=H^{i}(X(mathbb{C}),mathbb{Q})$
（代數德拉姆上同調）如果 $Char(k)=0$ ，則定義 $X$ 的德拉姆上同調為 $H_{dR}^{i}(X,k):=mathbb{H}^{i}(Omega_{X/k}^{ullet})$
（l-進平展上同調）與Betti上同調構成提升/約化的關係.
（晶體上同調）代數德拉姆上同調的「模 $p$ 約化」，以Witt向量為係數.

它們之間有如下關係：

奇異上同調與德拉姆上同調 $H_{B}^{i}(X,mathbb{Q})otimes_{mathbb{Q}}mathbb{C}simeq H_{dR}^{i}(X,k)otimes_{k}mathbb{C}.$
奇異上同調與平展上同調 $H_{B}^{i}(X,mathbb{Q})otimes mathbb{Q}_{ell}simeq H_{et}^{i}(ar{X},mathbb{Q}_{ell}).$

Lefschetz不動點定理

事實上，Lefschetz不動點定理的成立僅僅依賴於韋依上同調公理（1）-（6）.

設 $H^{ast}:mathcal{V}(k) o GrVect(K)$ 是一個韋依上同調， $Xin mathcal{V}(k)$ .

則我們有

（Lefschetz不動點定理）設 $f:X o X$ 是一個自同態. 則不動點的個數為

$N=sum_{igeq 0}(-1)^{i} ext{Tr}(f^{ast}|H^{i}(X)).$

韋依猜想中「有理性」，「函數方程」和「Betti數」的證明

假設存在一個韋依上同調 $H^{ast}:mathcal{V}(mathbb{F}_{q}) o GrVect(K)$ . 我們將證明韋依猜想中「有理性」和「函數方程」.設 $X$ 是 $mathbb{F}_{q}$ 上的 $d$ 維光滑射影簇，約定 $ar{X}=X imes ar{mathbb{F}}_{q}$ .

引理：設 $alpha$ 是有限維線性空間 $V$ 的自同態，則
$log(det(1-alpha T|V))=-sum_{ngeq 1} ext{Tr}(alpha^{n}|V)dfrac{T^{n}}{n} .$

引理：設 $K$ 是一個特徵為 $0$ 的域. 設 $f(T)=sum_{igeq 0}a_{i}T^{i}in K[[T]]$ ，則 $f(T)in K[T]$ 當且僅當存在整數 $m$ 和 $n_{0}$ 使得對所有 $ngeq n_{0}$ Hankel行列式

為 $0$ .

（有理性）Zeta函數 $Z_{X}(T)in mathbb{Q}(T)$ . 更精確地， $Z_{X}(T)$ 可寫成如下有限交錯積的形式： $Z_{X}(T)=prod_{i=0}^{2d}P_{i}(T)^{(-1)^{i+1}}=dfrac{P_{1}(T)P_{3}(T)cdots P_{2d-1}(T)}{P_{0}(T)P_{2}(T)cdots P_{2d}(T)},$ 其中 $P_{0}(T)=1-T$ 和 $P_{2d}(T)=1-q^{d}T$ ，而對於 $1leq ileq 2d-1$ ， $P_{i}(T)=det(1-F_{X}T|H^{i}(X))in 1+Tmathbb{Z}[T]$ 是整係數多項式.

證明：由定義知

$log Z_{X}(T)=sum_{ngeq 1}N_{n}dfrac{T^{n}}{n}$ .

因為 $F^{n}_{X}$ 的不動點的重數都是 $1$ ，所以由Lefschetz不動點定理可知

$N_{n}=sum_{igeq 0}(-1)^{i} ext{Tr}(F_{X}^{n}|H^{i}(X))$

則命題可由上述兩個引理給出.

（函數方程和龐加萊對偶）Zeta函數 $Z_{X}(T)$ 滿足如下函數方程： $Z_{X}(dfrac{1}{q^{d}T})= varepsilon q^{dchi/2}T^{chi}Z_{X}(T),$ 其中 $varepsilon=pm1$ 和 $chi$ 是 $X$ 的歐拉示性數.

證明：這可由龐加萊對偶定理推知.

總結一下，我們現在的目標是：

在特徵為 $p$ 的域上構造一個韋依上同調理論，要求滿足（1）-（6），這樣我們就能證明「有理性」，「函數方程」和「Betti數」了！
它還能滿足（7）和（8），尋求更深入的理論，以求證明黎曼假設！

在1960年，Grothendieck定義出係數為 $ell$ -進域 $mathbb{Q}_{ell}$ 的平展上同調，還定義出了晶體上同調，並證明這種上同調滿足韋依上同調的要求。這樣，Grothendieck就證明了韋依猜想的前兩部分。對於韋依猜想的第三部分——黎曼假設，Grothendieck並沒有試圖直接去證明，而是轉向了更為寬闊的視野。首先，Grothendieck提出了Motive理論，然後，在此基礎上形成了他著名的「標準猜想」。這樣，如果能夠證明「標準猜想」，那麼「人們就可以通過用簇的Motive理論替代曲線的雅克比，來將韋依關於曲線情形的韋依猜想的證明擴展到任意維的代數簇的情形」，即可推出黎曼假設。

欲知後事如何，請聽下回分解

失學兒童：平展上同調——碧海潮生?

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