ARCH & GARCH入門

08-16

ARCH & GARCH入門

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首先開始ARCH(1)，模型如下：

$y_{t}=x_{t}^{} heta +varepsilon _{t},x_{t}^{}是y_{t}的回歸集合，x_{t}^{} heta是y_{t}的條件均值$

$varepsilon _{t}=sigma _{t}z_{t}$

$sigma _{t}^{2}=omega +alpha varepsilon _{t-1}^{2}$ 這是條件方差，下面會證明

$z_{t}sim iid~N(0,1)$

$omega>0,alpha geqslant 0$ $

ARCH(p)即 $sigma _{t}^{2}=omega +alpha _{1}varepsilon _{t-1}^{2}+...+alpha _{p}varepsilon _{t-p}^{2}$ ，從t-1到t-p。

我們將從三部分來理解ARCH(1)：

第一部分：

$z_{t}sim iid~N(0,1)$ ：標準正態衝擊

$varepsilon _{t}=sigma _{t}z_{t}$ ：對衝擊 $z_{t}$ 放大 $sigma _{t}$ 倍

$E(varepsilon _{t}^{2}|I_{t-1})=E(sigma _{t}^{2}z_{t}^{2}|I_{t-1})=sigma _{t}^{2}E(z_{t}^{2}|I_{t-1})=sigma _{t}^{2}，其中I_{t-1}=left { y_{1}x_{1},y_{2}x_{2},...,y_{t-1}x_{t-1} ight }=left { varepsilon _{1},varepsilon _{2},...varepsilon _{t-1} ight }$ 此就為條件方差

因此， $varepsilon _{t}$ 的條件分布： $varepsilon _{t}|I_{t-1}sim N(0,sigma _{t}^{2})$

第二部分：將 $varepsilon _{t}^{2}$ 分解

$varepsilon _{t}^{2}=E(varepsilon _{t}^{2}|I_{t-1})+v_{t}=sigma _{t}^{2}+v_{t},其中E(v_{t}|I_{t-1})=0$

重寫表達式：

$sigma _{t}^{2}=omega+alpha varepsilon _{t-1}^{2}$

$varepsilon _{t}^{2}-v_{t}=omega +alpha varepsilon _{t-1}^{2}$

$varepsilon _{t}^{2}=omega +alpha varepsilon _{t-1}^{2}+v_{t}sim AR(1)，對於varepsilon _{t}的平方$

第三部分：

約束： $0leqslant alpha < 1$ ，考慮到四階矩約束會更強

無條件方差由AR(1)可得： $sigma ^{2}=E(varepsilon _{t}^{2})=frac{omega }{1-alpha }$

由上可以看出： $sigma ^{2}=E(varepsilon _{t}^{2})=frac{omega }{1-alpha }$ 是條件異方差，無條件同方差。

$varepsilon _{t-1}$ 越大， $E(varepsilon _{t}^{2}|I_{t-1})$ 越大；同樣 $varepsilon _{t-1}$ 越小， $E(varepsilon _{t}^{2}|I_{t-1})$ 越小，即波動聚集效應。

如下圖：紅色是 $varepsilon _{t}$ ，藍色是條件方差，綠色為無條件方差

GARCH(1,1)，模型如下：

$y_{t}=x_{t}^{} heta +varepsilon _{t}$

$varepsilon _{t}=sigma _{t}z_{t}$

$sigma _{t}^{2}=omega +alpha varepsilon _{t-1}^{2}+eta sigma _{t-1}^{2}$

$z_{t}sim iid~N(0,1)$

$omega>0,alpha geqslant 0,eta geqslant 0$

我們將從四部分來理解GARCH(1,1)：

第一部分：

$z_{t}sim iid~N(0,1)$

$varepsilon _{t}=sigma _{t}z_{t}$ ：對衝擊 $z_{t}$ 放大 $sigma _{t}$ 倍

因此， $varepsilon _{t}$ 的條件分布： $varepsilon _{t}|I_{t-1}sim N(0,sigma _{t}^{2})$

第二部分：將 $varepsilon _{t}^{2}$ 分解

$varepsilon _{t}^{2}=E(varepsilon _{t}^{2}|I_{t-1})+v_{t}=sigma _{t}^{2}+v_{t}$

很容易證明 $v_{t}$ 是鞅差序列，即： $E（v_{t})=0,cov(v_{t},v_{t-1})=0~for~all~j$ 。但是{ $v_{t}$ }通常不是iid序列。

重寫表達式：

$sigma _{t}^{2}=omega +alpha varepsilon _{t-1}^{2}+eta sigma _{t-1}^{2}$

$varepsilon _{t}^{2}-v_{t}=omega +alpha varepsilon _{t-1}^{2}+eta sigma _{t-1}^{2}$

$varepsilon _{t}^{2}-v_{t}=omega +alpha varepsilon _{t-1}^{2}+eta (varepsilon _{t-1}^{2}+v_{t-1}$

$varepsilon _{t}^{2}=omega +(alpha+eta) varepsilon _{t-1}^{2}+v_{t}-etaomega_{t-1}sim ARMA(1,1)，對於varepsilon _{t}的平方$

第三部分：

約束： $0leqslant alpha+eta < 1$ ，考慮到四階矩約束會更強

無條件方差由AR(1)可得： $sigma ^{2}=E(varepsilon _{t}^{2})=frac{omega }{1-alpha-eta }$

第四部分：

$sigma _{t}^{2}=omega +alpha varepsilon _{t-1}^{2}+eta sigma _{t-1}^{2}$

$=omega +alpha varepsilon _{t-1}^{2}+eta (omega +alpha varepsilon _{t-2}^{2}+eta sigma _{t-2}^{2})$

$=(1+eta)omega +alpha varepsilon _{t-1}^{2}+alphaetavarepsilon _{t-2}^{2}+eta^{2} sigma _{t-2}^{2})$

...

$=(1+eta+eta^{2}+...)omega +alpha sum_{i=1}^{infty }eta ^{i-1}varepsilon _{t-1}^{2}$

由上可以看出： $sigma _{t}^{2}$ 對 $varepsilon _{t}^{2}$ 有無限的記憶，因此，所有的 $varepsilon _{t}^{2}$ 都是重要的。但是平穩性，係數會逐漸的衰減，這也是GARCH模型相對於ARCH模型好的原因。

參考：

https://www.youtube.com/watch?v=t8Bj0MkB5so

https://www.youtube.com/watch?v=wNzvJ3wsBPg