5位數重排求差黑洞數剖析
重排求差5位黑洞數的剖析
鄔金華
在重排求差操作中，凡對經典4位黑洞數感興趣的人莫不會聯想到5位黑洞數。實踐中已經發現，5位數不像4位數，它不存在單一的黑洞數，而是只存在由幾個數構成的循環黑洞數。隨意用幾個5位數作重排求差操作找出某個循環黑洞數也許並不困難，但除非用窮舉法（包括計算機編程）計算所有99990個5位數，否則仍需要用數學方法論證該循環黑洞數是否唯一和應用條件。本文就是對這個問題所作的探討。在下面的敘述中，最大數採用大寫字母ABCDE的形式表示，最大數減最小數的差採用小寫字母mnspk的形式表示。
1、基本算式和數間關係
按最大數ABCDE的中間3個數字是否相同可將所有5位數的最大數分為2種類型。
類型1：BCD不同時相等
將最大數減最小數求差的算式寫成豎式，能清楚看到各數構成數字之間的關係
有意思的是，這時的差只是在相似類型的4位數的差數中間插進了「9」。因為相似類型的4位數的差數只有45個，所以本類型的5位數的差數也只有45個，它們都是在4位數差數中間插進9的結果。為便於查閱，現將本類型的所有45個差數羅列如下：
10989
2098521978
309873197732967
40986419764296643956
5098551975529655395554945
609846197462964639546494465934
70983 71973 72963 73953 74943 7593376923
8098281972829628395284942859328692287912
909819197192961939519494195931969219791198901
類型2：B = C = D，或最大數具有ABBBC 或 AAAAB、ABBBB的形式
同樣將最大數減最小數求差的算式寫成豎式，也能清楚看到各數構成數字之間的關係
同樣地，這時的差只是在相似類型的4位數的差數中間插進了「9」。因為相似類型的4位數的差數只有9個，所以本類型的差數也只有9個，它們是
099991999829997399964999559994699937999289991
可見無論哪種類型，或者說任何一個5位數重排求差的結果都是在4位數的差數中間插進「9」的那些數，一共有54個。
2、由差mnspk逆推最大數ABCDE
所謂逆推就是重排求差的逆運算，即由差數mnspk反求相減時的最大數ABCDE。由於5位數差數與4位數差數具有承襲關係，故這裡的逆推條件與4位數相似。
類型1 的逆推：差數mnspk必須滿足
m > n
m+k = 10
n+p = 8
s = 9
由基本關係式，可得逆推本類型ABCDE的計算公式：
A = m+α（α=0、1、2……9-m）
B = n+1+β（β=α、α+1、α+2……α+m-n-1）
C = β、β+1、β+2，……β+n+1
D =β
E =α
以mnspk=85932為例，此時m=8，n=5，α β的取值規則是，先使α從0開始一直取到9-m時為止（A、E由此而定）；對應每個α值，β可能可取多個值，即從α的取值開始一直取到α+m-n-1、或使B=A時為止（B、C由此而定）。將算式和α β的取值列成數表可以看得更清楚。注意，對應每組ABDE，C在BD之間（B≥C≥D，不同時取等號）可有一系列取值
A = m+α=8+α=8 8 8 9 99
B=n+1+β=β+6=6 7 8 7 89
C =β、β+1、β+2，……β+6
D =β=0 1 2 1 23
E =α=0 0 0 1 11
由於中間多了數字C，所以5位數的逆推結果要比4位數多，可有（10-m）（m-n）（n+2）個，本例共有42個。可將逆推結果寫成正規數的形式
86000861008620086300864008650086600
87110872108731087410875108761087710
88220883208842088520886208872088820
97111972119731197411975119761197711
98221983219842198521986219872198821
99331984319853198631987319883199931
它們都是最大數的形式，用它們減相應的最小數的結果都是85932，每個數實際都代表了一組構成數字相同、僅排列次序不同的數，所以能用重排求差得到85932的一般5位數的個數遠遠超過42個。
由逆推公式可以看出，該公式與4位數的逆推公式基本相同，只是在4位數逆推結果中間插進了一個數字，此數字最大可與B相同，最小可與D相同。仍以差數85932為例，見下圖：
類型2的逆推：差數mnspk必須滿足
m < 9
m+k = 9
n = s = p = 9
這時逆推ABBBC的計算公式為
A = m+1+α（α= 0、1、2……8-m）
B = β（β = α、α+1、α+2，……α+m+1）
C =α
以mnspk=79992為例，此時m=7，α可取0和1兩個值，由此可確定A和C；對應每個α，β取值（也就是B的值）可以是A和C間的所有值，寫成式子和數表：
A = m+1+α = 8+α = 8 88 8 8 8 8 8 8 9 99 9 9 9 9 9 9
B = β=可取0—8可取1—9
C= α =0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 11 1 1 1 1 1 1
數字太多，可有（9-m）（m+2）2 =162個，這裡只寫出幾個，如80000，81110，82220，……，88880，91111，92221，93331，……99991。
與類型1的情況一樣，此時的差數和逆推結果也是在相應4位數中間插入了一個數。見下圖
上述分析結果說明，可以在4位數逆推結果的基礎上，通過插入適當數字的辦法得到5位數的逆推結果，這將使處理5位數問題方便不少。
3、不存在單一黑洞數的證明
假如存在某個單一的5位黑洞數，那麼將它重排後的最大數ABCDE減最小數EDCBA所得的差mnspk應該仍是黑洞數，即mnspk與ABCDE的構成數字完全相同，而這樣相減所得的差只能是上述54個差數中的一個，但用所有54個差數重排求差後，沒有任何一個差數的構成數字與ABCDE相同，這就證明了5位數沒有單一的黑洞數。但5位數卻存在循環黑洞數。
4、循環黑洞數
任選一個構成數字不完全相同的5位數（其它位數的數也一樣），反覆重排求差M+N次後（M≥1,N≥1），如果所得差數與第M次求差結果相同，那麼第M次的求差結果就進入了循環，循環黑洞數由M及以後的N次求差結果構成，共有N+1個循環黑洞數，可稱為N+1次循環。例如，進行了5次重排求差的結果與第3次的結果相同（M=3，N=2），那麼循環黑洞數就由第3次和後面兩次（即第4、5兩次）的結果構成，形成一個3次循環。
構成數字不完全相同的5位數共有99990個，是否要將它們都反覆作重排求差操作才能找出所有的循環黑洞數呢？當然不必要（即使用計算機編程也不必要）。實際上，由於用任意5位數操作所得的差只有54個可能，所以只需對這54個差數作重排求差就行了。不過，這裡並不打算這麼做，而是嘗試以這54個差數為出發點，仍使用逆推方法解決問題。
5、循環黑洞數的逆推
由於循環黑洞數是在反覆求差過程中出現的，而所得的差中均含有「9」這個數字，所以在逆推結果中，只有那些含有9的逆推結果才有可能繼續逆推，而它們是否能繼續逆推，還要看它們的構成數字是否能在重排後滿足作為差數的條件，以差數85932為例，它是4位數8532中間插入了9的結果，那麼逆推也可利用4位數，用插入適當數的辦法得到相應結果，8532逆推含9的結果有3個：9711、9821、9931，這裡只列出9821的情況，見下圖：
觀察所有逆推結果，看看有沒有打散重組後能符合差數條件的數，發現98721可重組成87912符合條件，那麼下次就可用它再次逆推，總而言之，只要遇到符合條件的數就逆推，一直做下去，直到找不到符合條件的數為止。為使觀察更容易，可以不管那個「9」字，只要剩下的4個數字能重排成符合4位數的逆推條件，然後再在中間插入9就是可繼續逆推的數了。方法很簡單，熟練了可以做得很快，但要注意不能有遺漏，這是最後能否得到正確結論的關鍵。檢查有無遺漏的辦法是數數逆推出的所有符合條件的數是否是54個，如果不足54個，那就是有遺漏了。
這裡將所有逆推結果都表示在後面的步進圖中。仿4位數的做法，這裡將循環數本身稱0步數，只作1次重排求差操作就可進入循環的數稱1步數，作2次操作可進入循環的數稱2步數，等等。由該圖可以看到，5位數共有3個循環黑洞，其中2個4次循環，1個2次循環，它們互相獨立，這意味著所有構成數字不全相同的5位數被劃分成了3部分，在重排求差過程中，各部分分別向著3個循環步進。但進入循環3的數很少，絕大多數的數都會進入循環1和2。圖中還顯示，進入循環1和2時，最多的步數是6步，進入循環3時，最多只要2步。但是，如果不看此圖，用任意一個5位數操作，如果進入循環1和2，最多要操作10次才能發現進入了循環，這是因為只有循環一圈之後，這個循環才會被看到。
重排求差5位數步進圖
說明：任選一個5位數，作一次重排求差操作所得的差必在此圖中，
繼續重排求差所得的差必按圖中箭頭所示的路徑依次出現，
最後進入循環。
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