交換群、域和有序域

08-14

交換群、域和有序域

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這篇文章是我下面Live的前序內容，也就是你在live前最好看一次這篇文章，不明白的同學請提意見，我會酌情修改。

數學分析第一步：搞懂實數?

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這個live會由淺入深地介紹實數地構造方法和唯一性，以及各種實數地性質。我希望對各個層次的人都有幫助，不管是初學者還是複習實數的人。

為了讓聽live的人有所準備，我寫了這個這篇文章。內容上會以科普性質為主，聽我的Live前請務必弄懂這篇文章的概念。(已經知道這些概念的人可以略過這個內容)。

在數學中，我們都是會從具體走向抽象，抽象本身的好處是可以得到普遍之法，讓人可以透過現象到本質，讓理論的具體應用變得容易。比如，切一個方形蛋糕，一邊切2刀，另一邊是2刀。小孩子都知道最後是9個。但是小孩子也許需要在紙張上模擬，然後數方塊。但是抽象來看就是3乘以3罷了。我們用日常生活中四則運算的時候，我們真正計算的是數字本身。由於對於普通人來說，由於從小接受教育，數字對於普通人已經是「具體」了。但是，對於沒接教育或者很多遠古的人來說，數字不是那麼容易理解的。甚至連0都理解不了，他們無法理解用一個「存在」的符合代表「什麼都不存在」。事實上，我還在知乎上被問「0為什麼能表示什麼都不存在」。到了高中畢業的時候，你大概已經知道有整數、理數、實數，加法和乘法。那麼，是否有一種綜合他們的抽象呢？

一、交換群

我們首先看幾個例子：

例子一、設 $mathbb{Z}$ 是整數構成的集合，我們用 $+$ 表示通常意義上的加法和乘法。我們知道，它滿足下面的性質：

交換律： $x+y=y+x quad forall x,yinmathbb{Z}$ ,

結合律： $(x+y)+z=x+(y+z) quad forall x,y,zinmathbb{Z}$

有單位元： $x+0=xquad forall xinmathbb{Z}$

可逆性：對於任意 $x$ , $-x+x=0$ .

例子二、設 $p$ 是一個正整數， $mathbb{F}_p:={0,1,2,cdots,p-1}$ ，我們定義的一個「加法」 $dot{+}$ :

我們定義 $xdot{+}y$ 為 $x+y$ 除以 $p$ 後的餘數。於是， $xdot{+}yin mathbb{F}_p$ .

交換律： $xdot{+}y=ydot{+}x quad forall x,yin mathbb{F}_p$ ,

結合律： $(xdot{+}y)dot{+}z=xdot{+}(ydot{+}z) quad forall x,y,zin mathbb{F}_p$

有單位元： $xdot{+}0=xquad forall xin mathbb{F}_p$

可逆性：對於任意 $xin mathbb{F}_p$ , $(p-x)dot{+}x=0$ .

例子三、設 $mathbb{Q}^*$ 是非零的有理數構成的集合，對於一般的乘法，我們有

交換律： $x imes y=y imes x quad forall x,yinmathbb{Q}^*$ ,

結合律： $(x imes y) imes z=x imes (y imes z) quad forall x,y,zinmathbb{Q}^*$

有單位元： $x imes 1=xquad forall xinmathbb{Q}^*$

可逆性：對於任意 $x$ ,我們存在 $x^{-1}in mathbb{Q}^*$ 使得 $x^{-1} imes x=1$ .

在上面三個例子中，我們有一個集合 $G$ ，和一個「運算」 $oplus$ , 這個運算就是一個從 $G imes G$ 到 $G$ 的映射（ $xoplus y=f(x,y)$ ）。這個映射具有對稱性，滿足結合律。存在一個單位元 $e$ ，使得

$f(e,x)=x$ 。對於任意 $xin G$ ,存在 $yin G$ 使得 $f(x,y)=e$ .

綜合起來，我們有：

定義：設 $G$ 是一個集合， $oplus:G imes G o G$ 是一個二元運算。假設下面四個條件成立，我們稱 $(G,oplus)$ 是一個交換群。

交換律： $xoplus y=yoplus x quad forall x,yin G$ ,

結合律： $(xoplus y)oplus z=xoplus (yoplus z) quad forall x,y,zin G$

有單位元：存在一個元素 $e$ 使得 $xoplus e=xquad forall xin G$ ，我們稱之為單位元。

可逆性：對於任意 $x$ ,我們存在 $yin G$ 使得 $xoplus y=e$ ，這個元素叫逆元。

顯然，上面三個例子都是交換群。交換群中的單位元是唯一的，設 $e,e$ 是兩個單位元，根據兩者都是單位元，我們可得 $eoplus e=equad eoplus e=e$ .根據交換律，我們有 $e=eoplus e=e oplus e=e$ 。所以它們是一樣的。

注意，我們在說群的時候是把「集合」 $G$ 和「運算」 $oplus$ 放在一起講的, 你絕對不能脫離運算談群，你得指定那個運算（除非是顯然的）。

例子四、我們上面的例子中元素都是「數」構成的，但是群可以由任意元素構成，重點是你得指定運算，那些運算符合「條件」即可。設集合

$G={正,負}$

我們發現它有兩個元素構成，一個叫「正」，一個叫「負」，我們定義一個二元運算

$oxplus:G imes G o G$

如下

$正oxplus正=正$ $負oxplus 正=正oxplus 負=負$ $負oxplus 負=正$ 。（這就是我們的定義，別問為什麼）

我們可以發現這個運算滿足交互率，而且「正」是 $G$ 中的單位元（其他元素計算和它計算後不變）。「正」的逆元素是「正」，「負」的逆元素也是「負」。於是， $(G,oxplus)$ 構成一個交換群。

這個「群」有什麼啟示。

群中的元素不一定是一般的數，可以是很一般的元素。
群上「運算」不一定需要是傳統的數的四則運算，而可以是相當「任意」的東西。

那麼這個群沒啥意義嗎？不是的，它其實其實正負數相乘後的結果。正正得正，負負得正。

好，我們現在考慮群 $(mathbb{F}_2,dot{+})$ ，你可以發現在這個群中

$1dot{+}1=0 quad 0dot{+}1=0dot{+}1=1quad 0dot{+}0=0$ .

是不是和上面的 $(G,oxplus)$ 很像？

如果我們構造映射 $F:Gmapsto mathbb{F}_2$ 使得

$F(正)=0$ ， $F(負)=1$ 。

不難發現

$F(xoxplus y)=F(x)dot{+} F(y)quad forall x,yin G$

也就是說 $(G,oxplus )$ 和 $(mathbb{F}_2,dot{+})$ 這兩個群是同樣的結構，它們本質上一回事。也就是說，我們可以把正看成0，負是1， $oxplus$ 是 $dot{+}$ 。也就是說，要研究 $(G,oxplus )$ 只要研究 $(mathbb{F}_2,dot{+})$ 就好了。

二、域的定義和基本性質

現在，我們定義這個文章的主角：域。它的定義方式有很多種，可以通過「交換環」或者「除環」的方式定義。這裡，我們通過一個較為簡單的方式定義。

定義(Artin)： 設集合 $F$ 上有兩個二元運算，它們「叫做」加法 $+$ 和乘法 $imes$ 。如果下面三個條件成立， $（F,+, imes）$ 叫做域。

1, $F$ 相對於二元運算 $+$ 是一個交換群，我們稱呼群 $(F,+)$ 中的單位元叫零元素，寫作0.

2, $F$ 對於乘法是可交換的，並且 $F-{0}$ ,(也就是 $F$ 去掉零元素)，相對於二元運算 $imes$ 構成一個交換群，我們稱呼交換群 $(F-{0}, imes)$ 中的單位元叫一元素，寫作1.

3,兩個二元運算滿足分配律，也就是對於任意 $x,y,zin F$ ,

$z imes (x+y)=z imes x+z imes y$

首先，一個域中的加法和乘法不是「真正」的加法和乘法，只是一種方便區分的叫法罷了。

第二，在域上，我們可以自然的定義減法和除法，對於任意 $ain F$ , 我們可以用 $-a$ 表示 $a$ 在群 $(F,+)$ 中的逆元，那麼我們定義減法 $b-a:=b+(-a)$ 。類似的，對於任意 $ain F-{0}$ , 我們用 $a^{-1}$ 表示 $a$ 群 $(F-{0}, imes)$ 中的逆元，我們定義除法 $b/a:=b imes a^{-1}$ .

第三，對於任意 $xin F$ , $0 imes x=x imes 0=0$ 。

根據交換性，我們只需要證明 $x imes 0=0$ 即可。實際上，根據分配律和 $1+0=1$ ，我們發現

$x imes 1=x imes (1+0)=x imes 1+x imes 0$ ，兩邊減去 $x$ 即可發現 $x imes 0=0$ .

第四（ $F$ 上的乘法結合律）：根據定義，我們知道結合律在 $F-{0}$ 上的成立的，那麼在 $F$ 它成立嗎？我們只需要證明當 $a,b,c$ 中某個為0的時候，

$a imes (b imes c)=(a imes b) imes c$

成立。根據上面的結果三，上面等式兩端都是0。

第五（消去律成立）：如果 $a eq 0$ , 那麼 $a imes b=a imes cimplies b=c$ . 兩邊呈上 $a^{-1}$ ,於是我們有

$a^{-1} imes a imes b=a^{-1} imes a imes c$ .

利用第四點中得到結合律，我們發現

$b=(a^{-1} imes a) imes b=(a^{-1} imes a) imes c=c$ .

三、域的例子

數域的平凡例子包括

1.有理數 $(mathbb{Q},+ imes)$ 和一般的加法和乘法構成的域。

2.實數 $(mathbb{R},+ imes)$ 和一般的加法和乘法構成的域。

3. 複數 $(mathbb{C},+ imes)$ 和一般複數上的加法和乘法構成的域

一個比較有趣的例子 $mathbb{F}_p:={0,1,2,cdots,p-1}$ ，我們在上面定義「取餘數」的加法和乘法，

也就是說 $xdot{+}y$ 和 $xdot{ imes}y$ 分別是 $x+y$ 以及 $x imes y$ 後除 $p$ 的餘數。

我們上面已經證明過關於加法 $dot{+}$ ， $mathbb{F}_p$ 是一個交換群。

另一方面，按照定義，我們知道交換律 $xdot{ imes}y=ydot{ imes}x$ 成立，我們得證明

$( mathbb{F}_p-{0},dot{ imes})$ 確實能構成一個交換群，首先 $1$ 是其中的單位元。結合律也是顯然成立的，難點在於對於任意 $xin mathbb{F}_p-{0}$ , 是否存在一個元素 $y$ 使得 $xy$ 除以 $p$ 的餘數為1. 這裡我們需要利用一下費爾馬小定理：

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%B0%8F%E5%AE%9A%E7%90%86?

zh.wikipedia.org

利用它我們知道，對於 $x^{p-1}$ 除以 $p$ 的餘數為1。所以，我們只需要找 $x^{p-2}$ 在 $mathbb{F}_p$ 中的餘數即可，確切的說， $pmid x^{p-2}-y$ 。因此，我們有 $pmid x^{p-1}-xy$ 。因為 $x^{p-1}$ 除以 $p$ 的餘數為1，所以 $xy$ 除以 $p$ 的餘數為1.

所以 $( mathbb{F}_p,dot{+},dot{ imes})$ 是一個域。

還有一個例子是

$mathbb{Q}(sqrt{2})={a+bsqrt{2};a,bin mathbb{Q}}$ ,

上面的運算就是一般的加法和乘法。

就好像群論不限定於「數」一樣，一般的「集合」上也能定義域。

設 $F={A,B,I,O}$ , 我們定義如下加法和乘法，也就是兩個字母的運算結果

就是對應字母橫縱的交叉點的字母。

作為習題，大家可以試試看能不能看出來它 $(F,+,cdot)$ 構成一個域。

四、有序域

我們知道實數和有理數不單單可以四則運算，也可以比較「大小」。在數學上所謂的比大小，本質上就是一個「序結構」。

一個集合 $S$ 上的全序是一個（二元）關係 $prec$ , 它滿足下面兩個條件

1，任意 $x,yin S$ , 下面三個關係

$xprec y quad x=y quad yprec x$

必然有一個成立。

2, 如果 $xprec y$ , $yprec z$ 成立，那麼 $xprec z$ 成立。

我們稱呼 $(S,prec)$ 是全序集。

我們舉一個例子， $S={A,B,C}$ , 我們規定 $Aprec Bprec C$ , 那麼 $(S,prec)$ 構成一個全序集。

反過來，我們規定 $Cprec Bprec A$ ,那麼 $(S,prec)$ 也構成一個全序集。

定義：有序域 $(F, imes,+,prec)$ 是具有全序結構的域，而且我們要求它滿足下面兩個（相容性）條件

如果 $xprec y$ , 那麼 $x+zprec y+z$ 必然成立.

2.如果 $0prec y,, 0prec x$ , 那麼 $0prec xy$ 必然成立.

顯然 $mathbb{Q}$ 和 $mathbb{R}$ 都構成一個有序域。

一個有趣的結果是帶序數域必須有無限個元素，否則我們設 $M$ 是 $(F, imes,+,prec)$ 的最大元素。

根據 $M$ 最大，我們有 $0prec M$ , 因此 $Mprec M+M$ . 這是矛盾，因為 $M+M$ 比最大元素 $M$ 更大。所以，我們上面構造的有限數域 $mathbb{F}_p$ 不可能變成一個有序域。

單純的具有序結構的數域自然未必是「帶序數域」了，比如 $mathbb{F}_p$ ，我們自然可以定義

$0prec 1prec 2preccdots prec p-1$ ,

但是這個全序結構不滿足上面兩個相容性條件。

帶序數域是及其稀少的，比如複數就不可能是一個有序域。

我們用反證法來證明這點，假設存在某個全序結構 $prec$ 使得 $mathbb{C}$ 變成一個有序域。

第一步，我們證明 $-1prec 0$ . 否則的話，我們設 $0prec -1$ , 於是我們有 $0prec (-1)(-1)=1$ . 但是根據 $0prec -1$ ，我們兩邊加一可得 $1prec 0$ . 矛盾。

第二步，我們證明 $iprec 0$ .否則的話，我們有 $0prec i$ , 然後我們可得 $0prec i imes i=-1$ . 這和第一步矛盾，於是可知 $iprec 0$ 。

第三步，我們證明 $-iprec 0$ . 否則的話，我們有 $0prec -i$ , 然後我們可得 $0prec (-i) imes (-i)=-1$ .這和第一步矛盾，於是可知 $-iprec 0$ 。

第四步，我們發現第二步和第三步是矛盾的，因為如果第三步成立，那麼通過 $iprec 0$ 兩邊加上 $-i$ , 那麼 $0prec -i$ , 和第四步矛盾。

綜合以上所知，複數就不可能是一個有序域。

五、總結

群、域和有序域是傳統的乘法、加法和大小關係的推廣，這種定義允許我們在一般的元素集合上定義類似於傳統乘法/加法的運算。我們發現即使只需要一些抽象的定義，也能得到豐富的結果，這種抽象能夠讓我們去忘記膚淺的表象，只是通過抽象化得到了更清晰的結果。

在實際物理學的研究中，很多物理上的行為也被對應為某種群/數域結構。在歷史上，數域一個經典運用就是處理一般5次方程是否存在(基於常數的)通解的問題，還有一個運用就是處理實數問題，這也是我會在Live中仔細論述的內容。

回到實際構造「數」的問題，數學追求一種簡潔美，也就是用盡量少的假設和公理推出盡量多的結論。對於我們常見的數，其實根本公理是皮亞諾公理（和集合論），它允許我們定義「自然數」，然後我們利用自然數構造出恰當的交換群「整數」，本身帶有序結構。在整數的基礎上我們再利用它們構造出一個帶序域有理數，構造實數核心在於找到恰當的「元素」和「運算」，基於「有理數」從而構造出一個「恰當」的有序域。而這個也就是live的核心了。

交換群、域和有序域

一、交換群

二、域的定義和基本性質

三、域的例子

四、有序域

五、 總結

五、總結