Lagrange 陀螺

08-14

Lagrange 陀螺

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陀螺的運動是一類有趣的剛體運動，歷史上人類對它的研究極大地推動了航海技術的發展。題圖是玻爾和泡利在看陀螺旋轉，本文是筆者心血來潮的抄書筆記。

重力場下剛體的定點運動大多是不可解的，此類運動具有三個自由度，通常用 Euler 角表示，並且構成 $SO(3)$ 上的局部坐標。並且該系統顯然有兩個首次積分，即總機械能 $E=T+U$ 和豎直方向的角動量分量 $M_z$ .

我們稱軸對稱的陀螺為 Lagrange 陀螺，顯然它的重心落在對稱軸上，並且該系統是完全可解的。

由 Noether 定理可知，對於軸對稱的剛體，其關於對稱軸的角動量也是首次積分。我們引入如下圖所示的記號：

${e_x,e_ u,e_z}$ 是建在水平面上的右手直角系， ${e_1,e_2,e_3}$ 是陀螺的慣性主軸方向的單位向量，並且顯然 $e_3$ 就是陀螺的對稱軸， $e_N=e_z imes e_3$ ，並且由對稱性，在主軸方向上的轉動慣量 $I_1=I_2 eq I_3$ .

$heta$ 是 $e_z$ 和 $e_3$ 的夾角 (繞 $e_N$ 軸轉動的角度)， $varphi$ 是 $e_x$ 和 $e_N$ 的夾角 (繞 $e_z$ 軸轉動的角度)， $psi$ 是 $e_1$ 和 $e_N$ 的夾角 (繞 $e_3$ 軸轉動的角度)。

由定義，系統的角速度向量 $omega=dot{ heta}e_N+dot{varphi}e_z+dot{psi}e_3$ ，我們總能選取合適的初值，使得 $varphi=psi=0$ ，從而 $e_1=e_x=e_N$ , 此時 $e_z,e_2,e_3$ 共面，寫出 $e_z=cos heta e_3+sin heta e_2$ ，最終有 $omega=dot{ heta}e_1+(dot{varphi}sin heta)e_2+(dot{psi}+dot{varphi}cos heta)e_3$ .

我們可以寫出系統動能 $T=frac{I_1}{2}(dot{ heta}^2+dot{varphi}^2sin^2 heta)+frac{I_3}{2}(dot{psi}+dot{varphi}cos heta)^2$ ;
設陀螺的重心離觸地點距離為 $l$ ，系統勢能為 $U=mglcos heta$ .

可以看出 $varphi$ 和 $psi$ 是循環坐標，對應著兩個首次積分 $M_z$ 和 $M_3$ ，帶入 Lagrange 方程，有

$left{ egin{aligned} &M_z=frac{partial (T-U)}{partial dot{varphi}}=(I_1sin^2 heta+I_3cos^2 heta)dot{varphi}+I_3cos hetadot{psi},\ &M_3=frac{partial (T-U)}{partial dot{psi}}=I_3cos hetadot{varphi}+I_3dot{psi}.\ end{aligned} ight.$

據此可以解得 $dotvarphi$ 和 $dotpsi$ ，再帶入系統能量表達式

$E=T+U=frac{I_1}{2}dot heta^2+frac{(M_z-M_3cos heta)^2}{2I_1sin^2 heta}+frac{M_3^2}{2I_3}+mglcos heta.$

記 $E=E-frac{M_3^2}{2I_3}$ ，它也是一個守恆量，並且記 $cos heta=u,$ 我們引入的一個重要的量是所謂的有效勢能

$U_{eff}=frac{(M_z-M_3cos heta)^2}{2I_1sin^2 heta}+mglcos heta.$

以及 $M_z/I_1=a, M_3/I_1=b, 2E/I_1=alpha, 2mgl/I_1=eta$ 皆為常數，由第三式得到 $dot{u}^2=(alpha-eta u)(1-u^2)-(a-bu)^2$ ，記等式右端為 $f(u)$ ，該等式左端要求 $f(u)geq 0 for some u.$ 此外簡單計算可得 $f(pm1)=-(amp b)^2<0$ ，我們可以大致做出 $f(u)$ 的圖像：