絲帶範疇

08-14

絲帶範疇

來自專欄日常的數學和物理問題12 人贊了文章

接著上次的來，這次的主題是 ribbon category。本次遇到了許多翻譯困難，題目是一個，後面還有很多。倒不是說非要翻譯不可，但確實沒有一個好的翻譯（也許真的有，只是我沒去找）。當然了，通常我們的態度都是「不翻譯」。

另，由於已經畢業，本專欄改了個名字——雖然沒什麼意義，本質上還是偶爾寫一下看到的「有趣」的「問題」。

在有了張量積和對偶之後，我們還要引入更多的結構（為什麼？）。首先引入的是辮子結構（braiding），這個沒有太多好說的，之前某次也講到過，這裡不再細說了。這裡要緊的是多了一個東西之後可以證明的等式變多了，證明的方法也變多了。

當然了，還是要說畫圖的重要性，畢竟把映射全部寫出來一是麻煩，二是很多時候幾乎不可能看出證明的思路，但畫圖就是方便而直觀。就我的經驗來看，畫圖找思路證明最重要的就是熟悉一些「基本圖形」和「基本操作」。比如上一篇說到對偶，最重要的「基本圖形」就是產生和湮滅映射對應的 $igcup$ 和 $igcap$ 形狀，而最重要的「基本操作」就是把兩個相連的彎曲給拉直（對偶的定義）和把彎曲上下移動（張量積的自然性）。

現在有了 braiding 之後也是類似的。不過，從畫圖的角度來看，braiding 的定義幾乎等於沒用，只有它的自然性（即它是個自然變換）才是最重要的。從我的經驗來看，如果能看出 Yang-Baxter 等式就是自然性的直接推論，那就差不多了。

那麼當又有對偶又有 braiding 的時候如何呢？

一、一些引理

在證明中有一些經常使用的命題，或者說，「基本圖形和操作」。根據我的經驗，這裡列出一些，基本上也是圖形證明的理論基礎。不能說我歸納完全了，如果有必要，未來會慢慢增加、精簡。

第一條：首先注意到 braiding 的一個重要性質 $c_{mathbf 1 , W} = mathrm{id}_W = c_{W , mathbf 1}$ 。當然了，這裡還是省略了所有的約束，或者假定這個範疇是 strict 的。於是有 $mathrm{id}_W otimes d_V = c_{W , mathbf 1} circ (mathrm{id}_W otimes d_V) = (d_V otimes mathrm{id}_W) circ c_{W , V^* otimes V}$ 。同樣的道理，亦有 $mathrm{id}_W otimes d_V = (d_V otimes mathrm{id}_W) circ c_{V^* otimes V , W}^{-1}$ 。從畫圖來看，也就是可以把一根線放到一個彎曲的上方或者下方，產生兩個（同樣類型的）辮子。當然，在看得很熟悉之後會覺得「這僅僅是 braiding 的自然性而已嘛」，事實確實如此。

把湮滅換成產生，以及更換張量積的次序，能得到更多的等式，但都是類似的。

此外，容易看到 $d_V$ 在這裡根本沒起作用，換言之任意對象到 $mathbf 1$ 的映射放在這裡都是對的——雖然通常是 $d_V$ 或者 $d_V$ 複合某個映射。

第二條：用第一條立馬得到有用的推論，即 $(mathrm{id}_W otimes d_V) circ (c_{V^* , W} otimes mathrm{id}_V) = (d_V otimes mathrm{id}_W) circ c_{V^* otimes V , W}^{-1} circ (c_{V^* , W} otimes mathrm{id}_V) = (d_V otimes mathrm{id}_W) circ (mathrm{id}_{V^*} otimes c_{V , W}^{-1})$ 。從畫圖來看，即一條線穿過一個彎曲的某一邊等於穿過另一邊。

把湮滅換成產生，以及把 $c_{ullet , ullet}$ 和 $c^{-1}_{ullet , ullet}$ 互換，就能得到更多的等式，但都是類似的。

作為實踐，可以考慮如下簡單而又有趣的命題：

Proposition. 在同時有 braiding 和對偶的時候，有

(1) $c_{V^*, W} = (d_V otimes mathrm{id}_W otimes mathrm{id}_{V^*}) circ (mathrm{id}_{V^*} otimes c_{V , W}^{-1} otimes mathrm{id}_{V^*}) circ (mathrm{id}_{V^*} otimes mathrm{id}_W otimes b_V)$

(2) $c_{V , W}^* = c_{V^* , W^*}$

Proof. 可以看到寫起來真的很麻煩，然而我也不知道怎麼畫圖。(1) 的證明很簡單了，就是上面第二條再複合一個產生映射，或者直接用一下第二條再拉直。(2) 的證明也不困難，畫出 $c_{V , W}^*$ 再用一下第二條再拉直即可。

二、自旋

接下來我們要引入自旋（twist），其實也許應該翻譯成「擰」或者「扭曲」什麼的，但是太難聽了，我暫時想不到更好的名字，直接叫「自旋」可能更好，但是與通常說的自旋（spin）並不是一個東西。（話說回來，其實我也搞不清楚通常說的自旋到底是什麼，雖然最近還回答了一個相關的問題）

回到正題，一個 twist 就是一個自然同構 $heta : mathrm{id}_{mathcal C} o mathrm{id}_{mathcal C}$ ，並且滿足 $heta_{V otimes W} = ( heta_V otimes heta_W) circ c_{W , V} circ c_{V , W}$ ，以及 $heta_V^* = heta_{V^*}$ 。

那麼首先還是能立馬發現 $heta_{mathbf 1} = mathrm{id}_{mathbf 1}$ ：把上面定義的 $V$ 和 $W$ 都換成 $mathbf 1$ 就得到 $heta_{mathbf 1} = heta_{mathbf 1}^2$ ，再因為可逆就得到結果了。

那麼，定義一個絲帶範疇（ribbon category）就是一個 braided rigid monoidal category equipped with a twist。

一個問題是：為什麼要考慮這麼一個奇怪的東西？具體的歷史我不清楚，但一個看起來自然的思路是這樣的：有了 brading 和左對偶之後，我們也許會嘗試去考慮右對偶，比如猜想 $(V^* , c_{V , V^*} circ b_V , d_V circ c_{V , V^*})$ 是 $V$ 的一個右對偶；這個想法看起來很有道理，但要具體驗證兩個等式的時候，畫圖會得到兩個奇怪地扭起來的圖形，並不知道是否為恆等映射。這就告訴我們還需要別的東西。（不過似乎我還是沒解釋為啥是這個——當然可以從別的方面來強行解釋）

我們需要一些重要的觀察。首先簡單的計算注意到 $b_V = b_V circ heta_{mathbf 1} = heta_{V otimes V^*} circ b_V = c_{V^* , V} circ c_{V , V^*} circ ( heta_V otimes heta_V^*) circ b_V = c_{V^* , V} circ c_{V , V^*} circ ( heta_V^2 otimes mathrm{id}_{V^*}) circ b_V$ ，然後我們就可以把 $heta_V^2$ 和 $heta_V^{-2}$ 用產生湮滅映射和 braiding 給具體表示出來了。（太長了，不想寫在這裡）

這是個很有趣的事情，因為單獨的 $heta_V$ 和 $heta_V^{-1}$ 似乎是沒辦法這樣表示的，畢竟這是一個外加的結構（之後還會說到這個事情），但不管怎樣平方之後一定是確定的。

等一下！如果這裡有畫圖的話就會發現 $heta_V^{-2}$ 的圖形十分眼熟，它在哪裡出現過呢？上一段我們對右對偶有一個猜想，那麼需要驗證某個奇怪的圖形等於 $mathrm{id}_V$ ，就是它了。

Proposition. 可以驗證 $(V^* , (mathrm{id}_{V^*} otimes heta_V) circ c_{V , V^*} circ b_V , d_V circ c_{V , V^*} circ ( heta_V otimes mathrm{id}_{V^*}))$ 是 $V$ 的一個右對偶。

Proof. 有一個等於 $mathrm{id}_V$ 的等式已經很顯然了，另一個等於 $mathrm{id}_{V^*}$ 的是最困難的部分。把整個圖畫出來，中間的 $heta_V^2$ 換掉之後一共有四個「結」，中間的兩個是 $heta_V^2$ 產生的。現在可以驗證左邊的兩個「結」和右邊的兩個「結」分別抵消，它們的長相是類似的。這個驗證只需要不停使用前面的第一條引理即可（也許還會用到 Yang-Baxter 等式，但從圖形上來看比較簡單）。當然，這種操作多做幾次就會很熟悉了。

三、球狀結構

換言之 $(V , (mathrm{id}_{V^*} otimes heta_V) circ c_{V , V^*} circ b_V , d_V circ c_{V , V^*} circ ( heta_V otimes mathrm{id}_{V^*}))$ 是 $V^*$ 的一個左對偶，因此能得到一個同構 $a_V : V o V^{**}$ 。這個寫法看起來很熟悉，像是一個 pivotal structure 的樣子，事實上不僅如此，它還是 spherical 的。

Theorem. 上面得到的 $a_V$ 給出了一個 spherical structure，換言之有：

這是一族自然變換，即任意 $f : V o W$ 有 $f^{**} circ a_V = a_W circ f$ 成立；
這是 monoidal functor 之間的自然變換，即有 $a_{V otimes W} = a_V otimes a_W$ 成立；
這是 spherical 的，即有 $mathrm{tr}_a^L(f) = mathrm{tr}_a^R(f)$ 成立。

Proof. 首先得把映射給明確寫（畫）出來。按照上一篇的說法，應有 $a_V = (d_V otimes mathrm{id}_{V^{**}}) circ (c_{V , V^*} otimes mathrm{id}_{V^{**}}) circ ( heta_V otimes b_{V^*})$ ，以及 $a_V^{-1} = (d_{V^*} otimes heta_V) circ (mathrm{id}_{V^{**}} otimes c_{V , V^*}) circ (mathrm{id}_{V^{**}} otimes b_V)$ 。

第一條比較容易，就是把 $f^{**}$ 沿著一條線移動，過一個彎的時候會少一個 $^*$ ，而能夠通過 braiding 和 twist 是它們的自然性保證的。

第二條的想法是把 $a_{V otimes W}$ 畫出來然後想辦法「拆開」。注意到 $heta_{V otimes W}$ 寫開之後會有兩個braiding，把上面一個拿到上面的「結」裡面去就可以強行「拆開」了。

第三條其實很簡單。首先寫（畫）出來 $mathrm{tr}_a^L(f)$ 就是一個「8」字形上面放上 $heta_V circ f$ ，那麼畫出 $mathrm{tr}_a^R(f)$ 也能得到一個「8」字形上面放上 $f circ heta_V$ ，但位置變了。不過，用 braiding 和 twist 的自然性顯然兩者相等。

這裡說起來似乎很簡單，但是一開始不太熟悉的時候可能很難看出來。

四、再看自旋

上面的結果是說：每個 ribbon categoy 都有一個 canonical spherical structure。那麼反過來如何呢，是否每一個 braided rigid category equipped with a spherical structure 都能找到一個 twist？

為此我們先看看在一個 ribbon category 裡面的 twist 是否能被這個 spherical structure 比較好地表示出來。

Proposition. 有 $heta_V = (d_V otimes a_V^{-1}) circ (mathrm{id}_{V^*} otimes c_{V^{**} , V}) circ (b_{V^*} otimes mathrm{id}_V)$ 和 $heta_V = (mathrm{id}_V otimes d_{V^*}) circ (c_{V , V^{**}} otimes mathrm{id}_{V^*}) circ (a_V otimes b_V)$ 成立。相應地，有 $heta_V^{-1} = (d_V otimes a_V^{-1}) circ (mathrm{id}_{V^*} otimes c_{V , V^{**}}^{-1}) circ (b_{V^*} otimes mathrm{id}_V)$ 和 $heta_V^{-1} = (mathrm{id}_V otimes d_{V^*}) circ (c_{V^{**} , V}^{-1} otimes mathrm{id}_{V^*}) circ (a_V otimes b_V)$ 成立。

Proof. 總之就是畫圖了，把裡面的 $a_V$ 和 $a_V^{-1}$ 換成前面寫出來的樣子，拿著兩條基本引理驗證即可。

當然，從畫出來的圖來看，自旋（twists）就是自己強行扭一下，上面的兩個式子對應於「向左邊扭」和「向右邊扭」。如果確實拿一條絲帶（或者紙帶皮帶之類的）來做一下這些操作，會發現確實是（右旋地）扭了一圈。

於是自然會想到，當我只有 spherical structure 時，可以像這樣來定義一個 twist。那麼立馬要面對的問題就是：我肯定是要用上面那個命題中的兩個式子來定義 twist，它們相等嗎？

我沒想出來一般的情況（說不定一般不等呢），但是在外加一些線性結構下倒是可以說一說的。

五、一點線性代數

迄今為止我完全沒有討論過這些範疇上的阿貝爾結構或者線性結構，但這裡需要看一看了。本來打算這部分單獨寫一篇的，但是想想沒什麼具體內容，還是算了。

令 $mathbb k$ 是一個代數閉域，通常特徵零（下面似乎用不到；其實在我的實踐中也就是複數域）。我們所處理的範疇都至少是「局部有限（locally finite） $mathbb k$ -線性阿貝爾」範疇（以下簡稱 $mathbb k$ -線性範疇），這一堆名詞解釋起來很麻煩了，我這裡也沒打算具體說，差不多就是一個阿貝爾範疇，但是 $mathrm{Hom}_{mathcal C}(V , W)$ 不僅僅是一個阿貝爾群，還有一個相容的有限維 $mathbb k$ -線性空間結構。（還差一個有限長度的條件）

現在在 monoidal category 上有了張量積，自然會需要這兩個結構的相容條件，不同強度的條件給出不同的範疇。至少，我們需要這個張量積函子是雙線性的，很自然。但這還不夠，繼續附加條件：

要求張量積函子是雙正合（biexact）的，得到多重環範疇（multiring category）；
要求 rigid，即存在左右對偶（此時張量積自動是雙正合的，上次說過有左右伴隨函子），得到多重張量範疇（multitensor category）；
在 multitensor 的基礎上再要求半單（semisimple）和有限（finite）的條件，得到多重融合範疇（multifusion category）。
此外，若在前三者基礎上有 $mathrm{End}_{mathcal C}(mathbf 1) = mathbb k$ ，則去掉「多重」，分別得到環範疇（ring category）、張量範疇（tensor category）和融合範疇（fusion category）。

（感覺真是沒有什麼好的翻譯）

關於 multitensor category 最重要的事實可能就是對偶函子 $(-)^*$ 是正合的，證明我這裡不寫了，雖然並不困難，拿著左右伴隨倒一倒就出來了。

所以很容易得到 $V oplus W$ 的左對偶是 $V^* oplus W^*$ ，產生和湮滅映射是最顯然的那個。如果有映射 $a_i : V_i o V_i^{**}$ ，那麼也容易驗證 $mathrm{tr}^L(a_1 oplus a_2) = mathrm{tr}^L(a_1) + mathrm{tr}^L(a_2)$ 。因此，在 $V_1`= V_2 = V$ 時還有 $mathrm{tr}^L(a_1 + a_2) = mathrm{tr}^L(a_1) + mathrm{tr}^L(a_2)$ ，只需驗證交換圖：

$egin{CD} mathbf 1 @>>> V otimes V^* @>{(a_1 + a_2) otimes mathrm{id}_{V^*}}>> V^{**} otimes V^* @>>> mathbf 1 \ @VVV @VVV @AAA @AAA \ (V otimes V^*) oplus (V otimes V^*) @>>> (V oplus V) otimes V^* @>{(a_1 oplus a_2) otimes mathrm{id}_{V^*}}>> (V^{**} oplus V^{**}) otimes V^* @>>> (V^{**} otimes V^*) oplus (V^{**} otimes V^*) end{CD}$

此外，求跡還是 $mathbb k$ -線性的，即任意 $lambda in mathbb k$ 和 $a : V o V^{**}$ ，有 $mathrm{tr}^L(lambda cdot a) = lambda cdot mathrm{tr}^L(a)$ 。只需注意到 $lambda cdot a = lambda cdot (mathrm{id}_{mathbf 1} otimes a) = (lambda cdot mathrm{id}_{mathbf 1}) otimes a$ ，而易見 $mathrm{tr}^L((lambda cdot mathrm{id}_{mathbf 1}) otimes a) = (lambda cdot mathrm{id}_{mathbf 1}) otimes mathrm{tr}^L(a) = lambda cdot mathrm{tr}^L(a)$ 。

對於 $mathrm{tr}^R$ 是類似的，最後一條換成 $a = a otimes mathrm{id}_{mathbf 1}$ 即可。

順便說一下上次最後說到的 $mathrm{tr}^L(f otimes g) = mathrm{tr}^L(f) cdot mathrm{tr}^L(g)$ 的問題，一般的我還是不知道怎麼證，但如果是 tensor category 就顯然了，因為求了跡之後得到的結果是 $lambda cdot mathrm{id}_{mathbf 1}$ 的樣子，可以跟任意映射「左右交換」，那麼上次說的畫圖兩個圈怎麼分開就解決了。當然，如果有 braiding，就很顯然可以直接換出去。

Theorem. 在一個 semisimple tensor category 裡面，如果 $V$ 是不可約的，且有同構 $a : V o V^{**}$ ，那麼 $mathrm{tr}^L(a) eq 0$ 。

Proof. 按定義，映射 $mathrm{tr}^L(a)$ 是一個 $mathbf 1 o V otimes V^* o mathbf 1$ 的複合映射，而且這兩個映射都非零。如果複合起來是零映射，那麼就有 $V otimes V^* / mathbf 1 o mathbf 1$ 的非零映射，故 $V otimes V^*$ 在不可約對象 $mathbf 1$ 上的重數至少是二（這話是這麼說，但是寫起來還是要寫一堆，可能還是我對 Jordan-Holder 定理不熟悉吧）。又因為 $V otimes V^*$ 是半單（完全可約）的，故 $mathrm{Hom}_{mathcal C}(V , V) = mathrm{Hom}_{mathcal C}(mathbf 1 , V otimes V^*)$ 至少是二維的，但是由舒爾引理它是一維的，矛盾。

一個顯然的推論：此時 $mathrm{tr}^L$ 是一個 $mathbb k$ -線性同構（因 $V$ 和 $mathbf 1$ 都是不可約的）。

六、反過來的定義

假定我現在已經有一個 braided rigid monoidal category equipped with a spherical structure $a_V : V o V^{**}$ ，那麼像上面一樣可以定義 $heta_V : V o V$ 。我們要檢驗 twist 的兩種不同定義是相同的，假定範疇是半單的 $mathbb k$ -線性張量範疇。

如果 $V$ 是不可約的，那麼由前面的推論，只需檢驗兩個 twist 的跡相同的就可以了。由 spherical 的條件，一個取左跡一個取右跡，畫圖都能得到一個 $infty$ 形狀，即相同。

那麼只需要檢驗這兩個定義都是被直和保持的，稍微仔細算一下即可。

好的，接下來就驗證這個定義的 twist 滿足三個條件：

它是個自然變換；
滿足 $heta_{V otimes W} = ( heta_V otimes heta_W) circ c_{W , V} circ c_{V , W}$ ；
滿足 $heta_V^* = heta_{V^*}$ 。

跟之前驗證 $a_V$ 滿足三個條件差不多，第一條同樣是沿著一條線移動 $f$ ，第二條把兩個 braiding 放到左邊去，跟前面的驗證幾乎一樣，第三條就是上面的「兩種 twist 的定義相同」。

最後，再從這個 twist 出發，按照最開始的方式定義 spherical structure，容易驗證就得到原先的那個。（啊，驗證了這麼多次，到最後已經變得很容易了）

於是，我們給出了從 twist 到 spherical 和 spherical 到 twist 的「映射」，並且驗證了它們是互逆的。即，在 semisimple braided tensor category （或者乾脆 braided fusion category）裡面，給出 twist 和給一個 spherical category 是等價的。

一個 braided fusion category equipped with a spherical category，即一個 ribbon fusion category，被定義為 pre-modular category。（這次是真沒法翻譯了）

至於 modular category，則進一步要求 S-matrix 非退化，不過這似乎是另一個故事了。

七、還有什麼

目前已經把之前看的一些最基礎的東西簡單過了一遍，至少有點感覺了，一些基本的內容也算是大致了解了。

但其實還有很多東西這裡完全沒說，比如在有線性結構，特別是半單的情況下還有很多新的等式，但其實光一個線性我都沒搞清楚——譬如說，它怎麼看成有限維向量空間範疇 $mathrm{Vec}$ 的模範疇？感覺又是一個「大家都知道只有我不知道」的東西。雖然我能相出一個構造來，但卻用到了任意直和，大概類似於線性空間張量積的構造，幾乎總是會用到無限維向量空間。

也可以考慮一下 Hopf 代數，reconstruction theorem 建立起代數和範疇的「對應」，於是可以考慮範疇上與代數上附加的結構之間的關係，似乎也是很有趣的話題。不過最近可能不會去仔細看了，要準備開始學點物理了。