一些p-adic分析（一）

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最近回顧了一些Colmez以前的講義，有關p-adic abel積分，今天上一些有關p-adic分析的準備。

一·從p-adic域到萬有p-adic域（universal p-adic field，破真翻譯的）

我們知道複數域可以由有理數對阿基米德度量取（度量）完備化再取（代數）完備化得到。於是我們自然會考慮將阿基米德度量換為p-adic度量，得到 。但可惜的是，這個域並不是一個完備的度量空間，主要是因為它對 的擴張是無限的。於是我們需要再取一次完備化，我們把這個域稱為萬有p-adic域，記為 。

Theorem. 是代數閉的

這個定理的證明並不困難，就是利用多項式係數逼近可以推出根逼近。實在想不明白可以參考GTM198相關部分。

二·連續自同構和Galois對應。

因為 是通過取一個完備化得到的，因此它的所有連續自同構都由 延拓而來。因此一個自然的問題是 的閉子群穩定了 的哪些元素。我們有

Theorem（Ax-Sen-Tate).對 的閉子群H，

Pf.(very sketch)

令 ,對 ，定義 。

由Galois理論 。

我們承認一個技術性引理：

Lemma.存在一個正數c，使得對 .

於是對所有 ，存在 ,

對所有 ，取引理中的 ，則它們逼近x。

三· （上）

有了這兩個準備我們看似可以在 上做分析了。但注意到，在複分析中 充當了一個非常重要的角色，所以我們希望在 上找一個類似的數。

考慮 的Galois特徵標 。形式上，我們有

因此對Galois變換 ,我們有

這就是我們要的條件，那麼這它存在嗎，很可惜，Tate證明了這種數只有0。