15.1（2）以2π為周期的函數的傅里葉級數

08-14

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我們首先假定

$f(x)=frac{a_0}{2}+sum_{n=1}^infty(a_ncos nx+b_n sin nx)$ ，（*）

為了能夠逐項積分，我們進一步假定上式右邊的三角級數一致收斂，

則（1） $f(x)$ 是周期為 $2pi$ 的連續函數；

逐項積分，並且應用三角函數系的正交性，得到

（2） $a_n=frac{1}{pi}int_{-pi}^pi f(x)cos nxmathrm dx, n=0, 1, 2, cdots$

$b_n=frac{1}{pi}int_{-pi}^pi f(x)sin nxmathrm dx, n=1, 2, cdots$

這就是教材的定理15.2.

上述的 $a_n, b_n$ 稱 $f(x)$ 關於三角函數系的傅里葉係數，以傅里葉係數為係數的三角級數

$frac{a_0}{2}+sum_{n=1}^infty(a_ncos nx+b_n sin nx)$

稱為傅里葉級數，記作

$f(x)simfrac{a_0}{2}+sum_{n=1}^infty(a_ncos nx+b_n sin nx)$ .

至此，我們知道，如果（*）式成立，則我們可以由定理15.2計算相應的傅里葉係數。

所以一個問題自然就出現了，什麼時候（*）式中的等號會成立，即什麼時候我們能將上式中的「 $sim$ 」換成「=」呢？

一個小細節，在這個新的過程中，我們甚至並不需要 $f(x)$ 連續，而只需要它可積。

前面我們說冪級數的一個大缺陷是對函數的光滑性要求苛刻，某種意義上，傅里葉級數則完全沒有這個缺陷。

15.1（2） 以2π為周期的函數的傅里葉級數