韋依猜想（總）

08-14

韋依猜想（總）

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Zeta函數——故事的小黃花
韋依猜想
Frobenius自同態
韋依猜想的上同調解釋
平展上同調——碧海潮生
Motive——Grothendieck的夢想
Deligne對黎曼假設的證明

Zeta函數——故事的小黃花

一：Zeta函數

黎曼Zeta函數 $zeta$ 是定義在 $Re(s)>1$ 上的全純函數：
$zeta(s):=sum_{n=1}^{infty}dfrac{1}{n^{s}}=1+dfrac{1}{2^{s}}+dfrac{1}{3^{s}}+cdots$

它具有如下基本性質：

$zeta(s)$ 可解析延拓為整個複平面上的亞純函數，它僅在 $s=1$ 處有單極點.
（函數方程）考慮 $zeta(s)$ 的完備 $hat{zeta}(s):=pi^{-s/2}Gamma(s/2)zeta(s)$ ，這裡 $Gamma$ 為Gamma函數。則 $hat{zeta}(s)$ 滿足函數方程 $hat{zeta}(s)=hat{zeta}(1-s)$ .
每個負偶數都是 $zeta(s)$ 的零點，這些零點稱為 $zeta(s)$ 的平凡零點.
（黎曼假設） $zeta(s)$ 的非平凡零點全在直線 $Re(s)=dfrac{1}{2}$ 上！
對 $sin mathbb{C}$ 滿足 $Re(s)>1$ ，由整數環的素數因子分解唯一性和幾何級數公式可得Euler積公式：

$zeta(s)=sum_{n=1}^{infty}n^{-s}=prod_{p: ext{素數}}(1-p^{-s})^{-1}=prod_{mathfrak{m}: ext{極大理想}}(1-(|mathbb{Z}/mathfrak{m}|^{-s})) ^{-1}=prod_{P:Specmathbb{Z}的閉點}(1-|kappa(P)|^{-s})^{-1}.$

數學的聖杯：Riemann假設

Dedekind Zeta函數

設 $K$ 是數域，定義數域 $K$ 的Dedekind $zeta$ 為
$zeta_{K}(s)=sum_{mathfrak{a}}N(mathfrak{a})^{-s}=prod_{mathfrak{p}}(1-N(mathfrak{p})^{-s})^{-1}$
這裡 $mathfrak{a}$ 取遍 $mathcal{O}_{K}$ 的非零理想， $mathfrak{p}$ 取遍 $mathcal{O}_{K}$ 的極大理想（非零的素理想）， $N(mathfrak{a}):=|mathcal{O}_{K}/mathfrak{a}|$ .

Hecke給出了 $zeta_{K}(s)$ 在整個複平面的解析延拓，延拓後的亞純函數 $zeta_{K}(s)$ 僅在 $s=1$ 處有單極點。類似地，我們也有函數方程和黎曼假設.

概形的Zeta函數

設 $X$ 是一個有限型概形over $mathbb{Z}$ ，定義 $X$ 的Zeta函數為
$zeta_{X}(s)=prod_{P:X~的閉點} dfrac{1}{1-N(P)^{-s}},$
這裡 $N(P)=|kappa(P)|$ 表示 $X$ 在點 $P$ 處的剩餘類域 $kappa(P)$ 中的元素個數.

注意到 $zeta(s)=zeta_{Specmathbb{Z}}(s)$ 和 $zeta_{K}(s)=zeta_{Spec mathcal{O}_{K}}(s)$ .

設 $X$ 是一個有限型概形over $mathbb{F}_{q}$ ，以 $N_{n}$ 記 $|X(mathbb{F}_{q^{n}})|$ ，定義
$Z_{X}(T):=expleft( sum_{ngeq 1}N_{n}dfrac{T^{n}}{n} ight)=1+sum_{ngeq 1}N_{n}dfrac{T^{n}}{n}+dfrac{1}{2!}(sum_{ngeq 1}N_{n}dfrac{T^{n}}{n})^{2}+cdotsin mathbb{Q}[[T]] .$
等價地： $Z_{X}(T)$ 是一個滿足如下方程的冪級數 $in mathbb{Q}[[T]]$

$Z_{X}(0)=1,qquad dfrac{d log Z_{X}(T)}{dT}=sum_{ngeq 1}N_{n}T^{n-1}.$

上述兩個定義有如下關係：

設 $X$ 是一個有限型概形over $mathbb{F}_{q}$ ，則 $X$ 也是一個有限型概形over $mathbb{Z}$ ，且我們有 $zeta_{X}(s)=Z_{X}(q^{-s}).$
由於這個關係，我們也把 $Z_{X}(T)$ 稱為 $X$ 的Zeta函數.

證明：事實上，我們可以通過如下態射把 $X$ 看成over $mathbb{Z}$ 上的概形：

$X o ext{Spec }mathbb{F}_{q} o ext{Spec }mathbb{Z}$ ，

其中第二個態射由環同態 $mathbb{Z} o mathbb{Z}/pmathbb{Z}hookrightarrow mathbb{F}_{q}$ 誘導.

設 $x$ 是 $X$ 的閉點，記 $ext{deg }x:=[kappa(x):mathbb{F}_{q}]$ ，我們將證明 $Z_{X}(T)=prod_{x}dfrac{1}{1-T^{ ext{deg }x}}$ ，這裡 $x$ 取遍 $X$ 的所有閉點. 我們知道 $X(mathbb{F}_{q^{n}})$ 的每個點是一個態射 $ext{Spec }mathbb{F}_{q^{n}} o X$ ，假設這個態射的像是 $x$ ，則它對應一個 $mathbb{F}_{q}$ -同態 $kappa(x) o mathbb{F}_{q^{n}}$ . 記 $N_{n}(x)$ 為所有不同 $mathbb{F}_{q}$ -同態 $kappa(x) o mathbb{F}_{q^{n}}$ 的個數. 則由有限域的Galois理論可知

另一方面，回顧 $log(frac{1}{1-s})=sum_{ngeq 1}frac{s^{n}}{n}$ ，故

$logdfrac{1}{1-T^{ ext{deg }x}}=sum_{ngeq 1}dfrac{T^{ncdot ext{deg }x}}{n}.$

注意到

$logdfrac{1}{1-T^{ ext{deg }x}}=sum_{ngeq 1}dfrac{T^{ncdot ext{deg }x}}{n}=sum_{n}N_{n}(x)dfrac{T^{n}}{n}$

接著兩邊取遍 $X$ 的閉點和取指數 $exp$ 可得

$Z_{X}(T)=prod_{x}dfrac{1}{1-T^{ ext{deg }x}}.$

又注意到 $q^{ ext{deg }x}=N(x)$ ，故 $zeta_{X}(s)=Z_{X}(q^{-s}).$

舉個栗子，取 $X=mathbb{P}_{mathbb{F}_{q}}^{d}$ ，則直接計算可得

$|X(mathbb{F}_{q^{n}})|=1+q^{n}+q^{2n}+cdots q^{dn},$

$Z_{X}(T)=dfrac{1}{(1-T)(1-qT)cdots (1-q^{d}T)}.$

韋依猜想

二：韋依猜想

韋依猜想的驚人之處在於，它給出了代數幾何與拓撲之間的聯繫，它隱含著的洞察力所激發的巨大期望就是拓撲空間的上同調方法可以適用於簇與概形。這個期望在很大程度上由Grothendieck及其合作者的工作實現了。

1949年，由於受到黎曼關於Zeta函數的工作的啟發，韋依研究了定義於有限域 $mathbb{F}_{q}$ 上的代數簇 $X$ 的Zeta函數 $Z_{X}(T)$ 和 $zeta_{X}(s)$ ，以計算 $X$ 在 $mathbb{F}_{q^{n}}$ 域上的有理點的個數 $|X(mathbb{F}_{q^{n}})|$ 。在曲線和阿貝爾簇兩種情況下，韋依證明了 $Z_{X}(T)$ 滿足性質：

$Z_{X}(T)$ 是有理函數.
滿足函數方程.
零點有某種特定的形式. 這是經典黎曼假設的類比.

韋依猜想是問，對於一般射影非奇異代數簇上的Zeta函數，這些性質是否還成立. 這些猜想揭示了有限域上定義的代數簇的算術和復代數簇的拓撲之間的一個深刻聯繫。

韋依

韋依猜想為何重要？

我心目中的英雄，證明黎曼假設的男人——Pierre Deligne是這樣說的：

There were some previous theorems of Weil about curves in the one-dimensional situation. There are many analogies between algebraic curves over finite fields and the rational numbers. Over the rational numbers, the central question is the Riemann hypothesis. Weil had proved the analogue of the Riemann hypothesis for curves over finite fields, and he had looked at some higher-dimensional situations as well. This was at the time where one started to understand the cohomology of simple algebraic varieties, like the Grassmannians. He saw that some point-counting for objects over finite fields reflected what happened over the complex numbers and the shape of the related space over the complex numbers.
As Weil looked at it, there are two stories hidden in the Weil conjectures. First, why should there be a relation between apparently combinatorial questions and geometric questions over the complex numbers. Second, what is the analogue of the Riemann hypothesis? Two kinds of applications came out of these analogies. The first started with Weil himself: estimates for some arithmetical functions. For me, they are not the most important. Grothendieck』s construction of a formalism explaining why there should be a relation between the story over the complex numbers, where one can use topology, and the combinatorial story, is more important.
Secondly, algebraic varieties over finite fields admit a canonical endomorphism, the Frobenius. It can be viewed as a symmetry, and this symmetry makes the whole situation very rigid. Then one can transpose this information back into the geometric world over the complex numbers, it yields constraints on what will happen in classical algebraic geometry, and this is used in applications to representation theory and the theory of automorphic forms. It was not obvious at first that there would be such applications, but for me they are the reason why the Weil conjecture is important.

證明黎曼假設的男人——Pierre Deligne

韋依猜想的陳述

設 $overline{mathbb{Q}}$ 是 $mathbb{Q}$ 的代數閉包， $overline{mathbb{Z}}$ 是 $mathbb{Z}$ 在 $overline{mathbb{Q}}$ 的整閉包.

（韋依猜想）設 $X$ 是 $mathbb{F}_{q}$ 上的 $d$ 維光滑射影簇，則

（有理性）Zeta函數 $Z_{X}(T)$ 是一個有理函數，即 $Z_{X}(T)in mathbb{Q}(T)$ . 更精確地， $Z_{X}(T)$ 可寫成如下有限交錯積的形式： $Z_{X}(T)=prod_{i=0}^{2d}P_{i}(T)^{(-1)^{i+1}}=dfrac{P_{1}(T)P_{3}(T)cdots P_{2d-1}(T)}{P_{0}(T)P_{2}(T)cdots P_{2d}(T)},$ 其中 $P_{0}(T)=1-T$ 和 $P_{2d}(T)=1-q^{d}T$ ，而對於 $1leq ileq 2d-1$ ， $P_{i}(T)in 1+Tmathbb{Z}[T]$ 是整係數多項式，並且 $P_{i}(T)$ 在 $mathbb{C}[T]$ 中可分解為 $prod_{j=1}^{b_{i}}(1-alpha_{ij}T)$ ， $alpha_{ij}in overline{mathbb{Z}}$ .
（函數方程和龐加萊對偶）Zeta函數 $Z_{X}(T)$ 滿足如下函數方程： $Z_{X}(dfrac{1}{q^{d}T})= varepsilon q^{dchi/2}T^{chi}Z_{X}(T),$ 其中 $varepsilon=pm1$ 和 $chi$ 是 $X$ 的歐拉示性數. 等價地，如果令 $hat{Z}_{X}(T):=Z_{X}(T)T^{chi /2}$ 和 $hat{zeta}_{X}(s)=hat{Z}_{X}(q^{-s})$ ，則 $hat{Z}_{X}(dfrac{1}{q^{d}T})=varepsilon hat{Z}_{X}(T)$ 和 $varepsilonhat{zeta}(s)= hat{zeta}(d-s)$ .
（黎曼假設）對所有的 $i,j$ 有 $|alpha_{ij}|=q^{i/2}$ .
（Betti數）若 $X$ 是定義於某代數整數環 $Rsubset mathbb{C}$ 上的光滑射影簇 $Y$ 的「模 $p$ 約化」，則對 $i=0,cdots,2d$ ， $P_{i}(T)$ 的次數 $b_{i}$ 為 $Y(mathbb{C})$ 的Betti數.

註記：黎曼假設（3）是說 $zeta_{X}(s)$ 的極點在直線 $Re(s)=0,1,2,cdots,d$ 上，零點在直線 $Re(s)=frac{1}{2},frac{3}{2},cdots,frac{2d-1}{2}$ 上. 特別地，設 $X$ 是一條光滑的代數曲線，則 $zeta_{X}(s)=Z_{X}(q^{-s})$ 的零點滿足 $Re(s)=dfrac{1}{2}$ . 這就是稱（3）是「黎曼假設」的原因.

假設韋依猜想成立，我們將可以計算 $X$ 在 $mathbb{F}_{q^{n}}$ 域上的有理點的個數 $|X(mathbb{F}_{q^{n}})|$ ：

（推論）設 $X$ 是 $mathbb{F}_{q}$ 上的 $d$ 維光滑射影簇，則

$|X(mathbb{F}_{q^{n}})|= sum_{j=1}^{b_{0}}alpha_{0j}^{n}-sum_{j=1}^{b_{1}}alpha_{1j}^{n}+ sum_{j=1}^{b_{2}}alpha_{2j}^{n}-cdots +sum_{j=1}^{b_{2d}}alpha_{2d,j}^{n},$

其中

$b_{0}=1,~b_{2d}=1,~alpha_{01}=1,~alpha_{2d,1}=q^{d}.$
對 $i=0,cdots,2d$ ， $b_{i}in mathbb{N}$ 滿足 $b_{2d-i}=b_{i}$ .事實上，這裡的 $b_{i}$ 是 $ell$ -進上同調群的Betti數.
對任意的 $i,j$ 有 $alpha_{ij}in overline{mathbb{Z}}$ 滿足 $alpha_{2d-i,j}=q^{d}/alpha_{i,j}$ .
（黎曼假設）對所有的 $i,j$ 有 $|alpha_{ij}|=q^{i/2}$ .

例1：考慮 $d$ -維射影空間 $X=mathbb{P}_{mathbb{F}_{q}}^{d}$ .

直接計算可得

$|X(mathbb{F}_{q^{n}})|=1+q^{n}+q^{2n}+cdots q^{dn}$

$Z_{X}(T)=dfrac{1}{(1-T)(1-qT)cdots (1-q^{d}T)}$

$zeta_{X}(s)=Z_{X}(q^{-s})= dfrac{1}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})cdots (1-q^{d-s})}$

$chi=d+1,qquad varepsilon=(-1)^{d}$

$Z_{X}(dfrac{1}{q^{d}T})=dfrac{1}{(1-frac{1}{q^{d}T})(1-frac{1}{q^{d-1}T})cdots (1-frac{1}{T})} =(-1)^d q^{d(d+1)/2}T^{d+1}Z_{X}(T)$

例2：考慮有限域 $mathbb{F}_{q}$ 上的虧格為 $g$ 的曲線 $X$ .

由Riemann-Roch定理可知

$Z_{X}(T)=dfrac{P(T)}{(1-T)(1-qT)}$

其中

$P(T)=1+c_{1}T+cdots +c_{2g}T^{2g}in mathbb{Z}[T]$ .

更近一步， $Z_{X}(T)$ 滿足函數方程

$Z_{X}(dfrac{1}{qT})=q^{1-g}cdot T^{2-2g}cdot Z_{X}(T).$

設 $P(T)=prod_{i=1}^{2g}(1-lambda_{i}T)$ ，可以證明 $X$ 的 $ell$ -進Betti數為

$b_{0}=1,qquad b_{1}=2g,qquad b_{2}=1.$

韋依猜想告訴我們 $|lambda_{j}|=q^{1/2} ~( j=1,cdots,2g)$ 和 $lambda_{g+i}=q/lambda_{i}$ （對 $i=1,cdots,g$ ），使得對所有 $ngeq 1$ 有

$|X(mathbb{F}_{q^{n}})|=1-(lambda_{1}^{n}+cdots +lambda_{2g}^{n})+q^{n}.$

這推知（Hasse-Weil bound）

$| |X(mathbb{F}_{q^{n}})|-q^{n}-1 | leq 2g(q^{n})^{1/2}.$

算術 $longleftrightarrow$ 拓撲

Frobenius

三：Frobenius自同態

設 $R$ 是特徵為素數 $p$ 的交換環（例如整環的非零特徵總是素數）. Frobenius自同態 $F_{R}$ 定義為

$F(a)=a^{p},qquad forall ain R$

直接驗證可知這是一個環同態. 它具有如下基本性質：

設 $varphi:R o S$ 是兩個特徵為素數 $p$ 的交換環，則 $varphicirc F_{R}=F_{S}circ varphi$ .
如果環 $R$ 沒有冪零元，則 $F_{R}$ 是單射. 特別地，若 $R$ 是整環，則 $F_{R}$ 是單射.
即使 $R$ 是一個域， $F_{R}$ 也不一定是滿射. 回顧一個域 $k$ 稱為perfect，如果 $ext{Char}(k)=0$ 或 $ext{Char}(k)=p>0$ 且 $F_{k}$ 是一個自同構. 例如有限域都是perfect域.

有限域的「對稱」

我們回顧有限域是長什麼樣子的

任意特徵 $p>0$ 的有限域 $k$ 都是 $mathbb{F}_{p}:=mathbb{Z}/pmathbb{Z}$ 的有限擴張 $mathbb{F}_{q}$ ，這裡 $q=p^{[k:mathbb{F}_{p}]}=|k|$ . 它恰好是 $X^{q}-X$ 的分裂域，是 $mathbb{F}_{p}$ 的Galois擴張，並且在同構意義下是唯一確定的.

對任意的交換 $mathbb{F}_{q}$ -代數，定義其Frobenius自同態

$Fr_{q}:A o A,qquad xmapsto x^{q} .$

直接驗證可知 $Fr_q$ 確實是環同態. 又由於 $forall xin mathbb{F}_{q},x^{q}=x$ ，故 $Fr_{q}$ 是 $mathbb{F}_{q}$ -線性的. 對任意的交換 $mathbb{F}_{q}$ -代數同態 $varphi :A o B$ ，我們也有 $varphi circ Fr_{q}(A)=Fr_{q}(B)circ varphi$ .

現在我們回顧有限域的Galois理論：

設 $E/F$ 是特徵為 $p>0$ 的有限域的擴張，且 $|F|=q$ . 則 $E/F$ 是Galois擴張，群 $Gal(E/F)$ 是由 $Fr_q$ 生成的 $n=[E:F]$ 階循環群. 更近一步地，對每個 $d|n$ 都存在唯一的中間域 $E_dsimeq mathbb{F}_{q^{n/d}}$ 使得 $[E:E_{d}]=d$ ，且 $d_{1}|d_{2}iff E_{d_{1}}supset E_{d_{2}}$ .

概形的Frobenius自同態

設 $p$ 是一個素數. 令 $q=p^{n}$ 和 $k=mathbb{F}_{q}$ . 考慮環同態 $varphi:k[x_{1},cdots,x_{n}] o k[x_{1},cdots,x_{n}],~x_{i}=x_{i}^{p},~forall i$

令 $F:mathbb{A}_{k}^{n} o mathbb{A}_{k}^{n}$ 是相應 $varphi$ 的態射. 則

$F^{n}$ 是集合之間的恆等映射，但不是概形之間的恆等態射.
$F$ 是一個雙射，但不是概形之間的同構.

定義：固定一個素數 $p>0$ . 考慮over $mathbb{F}_{p}$ 上的概形 $X$ . 我們定義絕對Frobenius態射 為一個自同態 $F_X:X o X$ 使得對每個仿射開子集 $ext{Spec }Asubset X$ ， $F$ 對應環態射 $A o A,~amapsto a^{p},~forall ain A$ .

絕對Frobenius態射有如下基本性質：

設 $f:X o Y$ 是兩個over $mathbb{F}_{p}$ 上的概形的態射. 則 $fcirc F_{X}=F_{Y}circ f$ .
對任意 $xin X$ 我們有 $F_{X}(x)=x$ .

設 $S$ 是一個over $mathbb{F}_{p}$ 上的概形和 $X$ 是一個 $S$ -概形. 令 $X^{(p)}:=X imes_{S}S$

其中 $F_{X/S}:X o X^{(p)}$ 稱為相對Frobenius態射 .

可以證明圖中 $F_{X/S}$ 和 $alpha$ 都是同構.

讓我們看看仿射的情形相對Frobenius態射在說什麼：

設 $S= ext{Spec }A$ 是over $mathbb{F}_{p}$ 上的概形， $X= ext{Spec }A[x_{1},cdots,x_{n}]/I$ . 則 $X^{(p)}= ext{Spec }A[x_{1},cdots,x_{n}]/I^{(p)}$
其中 $I^{(p)}$ 是由形如 $sum_{ uin mathbb{N}^{n}}a^{p}_{ u}x^{ u}$ 滿足 $sum_{ uin mathbb{N}^{n}}a_{ u}x^{ u}in I$ . 另外，相對Frobenius態射 $F_{X/S}:X o X^{(p)}$ 由 $A$ -代數同態 $x_{i}mapsto x_{i}^{p}$ 誘導，而 $alpha$ 把係數映到 $p$ 次冪，變數 $x_i$ 不動.

設 $X$ over $mathbb{F}_{q}$ 上的代數簇，則

$X^{(p)}=X,F_{X}=F_{X/mathbb{F}_{q}}$
記 $overline{F}_{X}:X_{ overline{mathbb{F}}_{q}} o X_{ overline{mathbb{F}}_{q}}$ 為 $F_X$ 誘導的態射. 假設 $X= ext{Spec }A[x_{1},cdots,x_{n}]/I$ ，把 $X_{ overline{mathbb{F}}_{q}}$ 看成 $X_{ overline{mathbb{F}}_{q}}={(a_{1},cdots,a_{n})in overline{mathbb{F}}_{q}~|~P(a_{1},cdots,a_{n})=0,~forall Pin I}$ 則 $overline{F}_{X}(a_{1},cdots,a_{n})=(a_{1}^{q},cdots,a_{n}^{q})$
集合 $X(mathbb{F}_{q})$ 恰好是 $overline{F}_{X}:X_{ overline{mathbb{F}}_{q}} o X_{ overline{mathbb{F}}_{q}}$ 的不動點集合. 這是因為：對於 $xin overline{mathbb{F}}_{q}$ ，我們有 $xin mathbb{F}_{q}iff x^{q}=x$
同樣地， $X_{ overline{mathbb{F}}_{q}}$ 在 $overline{F}_{X}$ 的 $n$ 次迭代作用下 $overline{F}_{X}^{n}:X_{ overline{mathbb{F}}_{q}} o X_{ overline{mathbb{F}}_{q}}$ 的不動點集合恰好是集合 $X(mathbb{F}_{q^{n}})$ .
$overline{F}_{X}:X_{ overline{mathbb{F}}_{q}} o X_{ overline{mathbb{F}}_{q}}$ 是次數為 $q^{ ext{dim }X}$ 的有限態射.

韋依猜想的上同調解釋

四：韋依猜想的上同調解釋

設 $X$ 是 $mathbb{F}_{q}$ 上的 $d$ 維光滑射影簇，約定 $ar{X}=X imes ar{mathbb{F}}_{q}$ .

在1936年，Hasse發現可以把 $X(mathbb{F}_{q^{n}})$ 的計數問題轉化成純幾何的問題：

在射影簇 $ar{X}$ 上，我們可以定義Frobenius自同態 $F_{X},F_{X}^{2},F_{X}^{3},cdots$ . 射影簇 $X$ 上 $mathbb{F}_{q^{n}}$ -點集 $X(mathbb{F}_{q^{n}})$ 恰好是自同態 $F_{X}^{n}:ar{X} o ar{X}$ 的不動點集！

而關於不動點集的計算，回顧經典的

（Lefschetz不動點定理）對於復代數簇 $X$ ，自同態 $f:X o X$ 誘導 $H^{i}(X,mathbb{Q}):=H^{i}(X,mathbb{Z})otimes mathbb{Q}$ 的 $mathbb{Q}$ -線性自同態 $f^{ast}:H^{i}(X,mathbb{Q}) o H^{i}(X,mathbb{Q})$ . 假定 $f$ 的圖 $Gamma_{f}$ 和恆同映射的圖 $Delta$ 橫截相交，我們定義不動點為這些交點在 $X$ 上的投影. 則不動點的個數 $N=sum_{igeq 0}(-1)^{i} ext{Tr}(f^{ast}|H^{i}(X,mathbb{Q})).$

所以我們期望對於有限域上的 $X$ 定義「正確」的上同調論，使得Lefschetz不動點定理的類比成立。

韋依上同調

這種「正確的」上同調就是韋依上同調：

給定域 $k$ （任意特徵）和 $K$ （特徵為 $0$ ），記 $k$ 上光滑射影簇的範疇 $mathcal{V}(k)$ ，分次 $K$ 代數的範疇為 $GrVect(K)$ . 定義韋依上同調函子為反變函子 $H^{ast}:mathcal{V}(k) o GrVect(K)$ ，對所有 $d$ 維射影簇 $X$ ，滿足如下公理：

（有限公理） $H^{i}(X)$ 都是有限維 $K$ -線性空間；
（消沒公理） $H^{i}(X)=0$ ，除非 $0leq ileq 2d$ ；
（定向公理） $H^{2d}(X)=K$ ；
（龐加萊對偶）存在非退化配對 $H^{i}(X)otimes H^{2d-i}(X) o H^{2d}(X)=K$ ;
（Kunneth公式）有典範同構 $H^{ast}(X)otimes H^{ast}(Y) o H^{ast}(X imes Y)$ ；上述5條公理是一般上同調論的共性，我們希望韋依上同調還能給出代數幾何特有的
（閉鏈映射）記 $C_{rat}^{i}(X)$ 為 $X$ 中余維數為 $i$ 的代數閉鏈的有理等價類所張成的 $K$ -線性空間. 要求存在閉鏈映射 $cl_{X}:C_{rat}^{i}(X) o H^{2i}(X)$ 滿足函子性，與Kunneth公式相容，並在 $X$ 退化為單點時給出嵌入 $mathbb{Q}hookrightarrow K$ .
（弱Lefschetz定理）
（強Lefschetz定理）

4種經典的韋依上同調

設 $X$ 是一個域 $k$ 上的光滑射影簇. 令 $ar{X}=X imes k^{sep}$ ，這裡 $k^{sep}$ 是 $k$ 的可分閉包.

（Betti（奇異）上同調）如果存在嵌入 $khookrightarrow mathbb{C}$ ，則定義 $X$ 的Betti（奇異）上同調為 $H_{B}^{i}(X,mathbb{Q}):=H^{i}(X(mathbb{C}),mathbb{Q})$
（代數德拉姆上同調）如果 $Char(k)=0$ ，則定義 $X$ 的德拉姆上同調為 $H_{dR}^{i}(X,k):=mathbb{H}^{i}(Omega_{X/k}^{ullet})$
（l-進平展上同調）與Betti上同調構成提升/約化的關係.
（晶體上同調）代數德拉姆上同調的「模 $p$ 約化」，以Witt向量為係數.

它們之間有如下關係：

奇異上同調與德拉姆上同調 $H_{B}^{i}(X,mathbb{Q})otimes_{mathbb{Q}}mathbb{C}simeq H_{dR}^{i}(X,k)otimes_{k}mathbb{C}.$
奇異上同調與平展上同調 $H_{B}^{i}(X,mathbb{Q})otimes mathbb{Q}_{ell}simeq H_{et}^{i}(ar{X},mathbb{Q}_{ell}).$

Lefschetz不動點定理

事實上，Lefschetz不動點定理的成立僅僅依賴於韋依上同調公理（1）-（6）.

設 $H^{ast}:mathcal{V}(k) o GrVect(K)$ 是一個韋依上同調， $Xin mathcal{V}(k)$ .

則我們有

（Lefschetz不動點定理）設 $f:X o X$ 是一個自同態. 則不動點的個數為
$N=sum_{igeq 0}(-1)^{i} ext{Tr}(f^{ast}|H^{i}(X)).$

韋依猜想中「有理性」，「函數方程」和「Betti數」的證明

假設存在一個韋依上同調 $H^{ast}:mathcal{V}(mathbb{F}_{q}) o GrVect(K)$ . 我們將證明韋依猜想中「有理性」和「函數方程」.設 $X$ 是 $mathbb{F}_{q}$ 上的 $d$ 維光滑射影簇，約定 $ar{X}=X imes ar{mathbb{F}}_{q}$ .

引理：設 $alpha$ 是有限維線性空間 $V$ 的自同態，則
$log(det(1-alpha T|V))=-sum_{ngeq 1} ext{Tr}(alpha^{n}|V)dfrac{T^{n}}{n} .$

引理：設 $K$ 是一個特徵為 $0$ 的域. 設 $f(T)=sum_{igeq 0}a_{i}T^{i}in K[[T]]$ ，則 $f(T)in K[T]$ 當且僅當存在整數 $m$ 和 $n_{0}$ 使得對所有 $ngeq n_{0}$ Hankel行列式

為 $0$ .

（有理性）Zeta函數 $Z_{X}(T)in mathbb{Q}(T)$ . 更精確地， $Z_{X}(T)$ 可寫成如下有限交錯積的形式： $Z_{X}(T)=prod_{i=0}^{2d}P_{i}(T)^{(-1)^{i+1}}=dfrac{P_{1}(T)P_{3}(T)cdots P_{2d-1}(T)}{P_{0}(T)P_{2}(T)cdots P_{2d}(T)},$ 其中 $P_{0}(T)=1-T$ 和 $P_{2d}(T)=1-q^{d}T$ ，而對於 $1leq ileq 2d-1$ ， $P_{i}(T)=det(1-F_{X}T|H^{i}(X))in 1+Tmathbb{Z}[T]$ 是整係數多項式.

證明：由定義知

$log Z_{X}(T)=sum_{ngeq 1}N_{n}dfrac{T^{n}}{n}$ .

因為 $F^{n}_{X}$ 的不動點的重數都是 $1$ ，所以由Lefschetz不動點定理可知

$N_{n}=sum_{igeq 0}(-1)^{i} ext{Tr}(F_{X}^{n}|H^{i}(X))$

則命題可由上述兩個引理給出.

（函數方程和龐加萊對偶）Zeta函數 $Z_{X}(T)$ 滿足如下函數方程： $Z_{X}(dfrac{1}{q^{d}T})= varepsilon q^{dchi/2}T^{chi}Z_{X}(T),$ 其中 $varepsilon=pm1$ 和 $chi$ 是 $X$ 的歐拉示性數.

證明：這可由龐加萊對偶定理推知.

總結一下，我們現在的目標是：

在特徵為 $p$ 的域上構造一個韋依上同調理論，要求滿足（1）-（6），這樣我們就能證明「有理性」，「函數方程」和「Betti數」了！
它還能滿足（7）和（8），尋求更深入的理論，以求證明黎曼假設！

在1960年，Grothendieck定義出係數為 $ell$ -進域 $mathbb{Q}_{ell}$ 的平展上同調，還定義出了晶體上同調，並證明這種上同調滿足韋依上同調的要求。這樣，Grothendieck就證明了韋依猜想的前兩部分。對於韋依猜想的第三部分——黎曼假設，Grothendieck並沒有試圖直接去證明，而是轉向了更為寬闊的視野。首先，Grothendieck提出了Motive理論，然後，在此基礎上形成了他著名的「標準猜想」。這樣，如果能夠證明「標準猜想」，那麼「人們就可以通過用簇的Motive理論替代曲線的雅克比，來將韋依關於曲線情形的韋依猜想的證明擴展到任意維的代數簇的情形」，即可推出黎曼假設。

碧海潮生

五：平展上同調——碧海潮生

構造韋依上同調並不容易。我們來看Serre的一個例子：

考慮橢圓曲線 $C$ 的自同態環 $End(C)$ ， $End(C)otimes_{mathbb{Z}} mathbb{Q}$ 在 $2$ 維線性空間 $H^{1}(C)$ 上有一個自然的作用。對於定義在 $mathbb{F}_{p^{2}}$ 上的超奇異橢圓曲線 $C$ ， $End(C) imes mathbb{Q}$ 是 $mathbb{Q}$ 上的可除四元數代數，因而在 $mathbb{R}$ 上和 $mathbb{Q}_{p}$ 上（從而在 $mathbb{Q}$ 上）不存在 $2$ 維表示。也就是說，韋依上同調的係數必須要在 $mathbb{Q}_{ell},ell eq p$ 中尋找.

平展拓撲

回顧概形上的平展拓撲：

設 $X$ 是一個概形. 以 $Et/X$ 記對象為平展態射 $U o X$ ，態射為 $X$ -態射 $U o V$ （一定是平展態射）的範疇；一個平展覆蓋是指一族 $X$ -態射 $(f_{i}:U_{i} o U)_{iin I}$ 滿足 $U=igcup_{iin I}f(U_{i})$ . 這定義了一個Grothendieck拓撲，稱為 $X$ 的（small） etale site，記為 $X_{et}$ .

$ell$ -進上同調論

回到有限域 $mathbb{F}_{q}$ 上的射影簇 $X$ ，一個自然的想法是 $H^{i}(X_{et},mathbb{Q}_{ell})(ell eq p)$ 能否給出韋依上同調——這被證明是一個失敗的嘗試。另一方面，Grothendieck與其合作者成功地構造了所謂的 $ell$ -進上同調論：

設 $X$ 是一個概形. 對每個 $iin mathbb{N}$ ，定義
$H^{i}(X,mathbb{Z}_{ell}):=varprojlim_{n}H^{i}_{et}(X,mathbb{Z}/ell^{n}mathbb{Z})$
以及定義
$H^{i}(X,mathbb{Q}_{ell}):= H^{i}(X,mathbb{Z}_{ell})otimes_{mathbb{Z}_{ell}}mathbb{Q}_{ell}.$
稱之為 $X$ 的 $ell$ -進上同調群.

可以證明這樣一個以 $mathbb{Q}_{ell}$ 為係數的 $ell$ -進上同調 $H^{ast}(X,mathbb{Q}_{ell})$ 是一個韋依上同調. 我們必須指出， $ell$ -進上同調的構造以及韋依上同調的（1）-（8）的驗證絕不是簡單的.

Motive——Grothendieck的夢想

六：Motive——Grothendieck的夢想

在所有我有幸發現並呈獻給世人的數學事物中，Motive的實在性對我來說依然是最奇妙、最充滿神秘的——它甚至是「幾何」與「算術」在深層次上的同一所在。而Motive的哲學......或許是我作為一個數學家的人生前半期所發現的最強有力的探索工具。
——Grothendieck

為什麼不存在代數的 $mathbb{Q}$ -係數上同調？

我們已經看到，隨著素數 $ell$ 的變動，會給出性質完全不同的域 $mathbb{Q}_{ell}$ 上的上同調，這樣我們就有太多的上同調理論。人們自然會問，是否能類比於代數拓撲中的 $mathbb{Q}$ -係數上同調，以誘導出所有的 $ell$ -進上同調呢？答案是否定的。那為什麼沒有 $mathbb{Q}$ -係數上同調（即從光滑射影簇範疇到分次 $mathbb{Q}$ 代數範疇的反變函子）以誘導出所有的不同 $ell$ -進上同調呢？

第一種解釋（適用於非零特徵的 $k$ ）：設 $E$ 是域 $k$ 上的橢圓曲線，則 $End(E)_{mathbb{Q}}:= End(E)otimes_{mathbb{Z}} mathbb{Q}$ 可能是 $mathbb{Q}$ 上的 $4$ 次可除代數. 這種可除代數能作用於其上的最小的 $mathbb{Q}$ -線性空間是 $4$ 維的. 因此不存在 $mathbb{Q}$ -線性空間 $H^{1}(E,mathbb{Q})$ 使得 $H^{1}(E,mathbb{Q}_{ell})simeq H^{1}(E,mathbb{Q})otimes_{mathbb{Q}}mathbb{Q}_{ell}$ （作為 $End(E)_{mathbb{Q}}$ -模）
第二種解釋（適用於任意特徵的 $k$ ）： 設 $X$ 是特徵 $0$ 的代數閉域 $k$ 上的非奇異射影簇. 當我們取定一個嵌入 $k hookrightarrow mathbb{C}$ ，我們即得到一個複流形 $X(mathbb{C})$ ，熟知 $H_{et}^{i}(X,mathbb{Q}_{ell})simeq H^{i}(X(mathbb{C}),mathbb{Q})otimes mathbb{Q}_{ell}$ 換句話說，每個嵌入 $k hookrightarrow mathbb{C}$ 確實在各個上同調群上定義一個 $mathbb{Q}$ -結構. 然而，不同的嵌入可以給出完全不同的 $mathbb{Q}$ -結構.

因此這樣的 $mathbb{Q}$ -係數上同調並不存在. 可是，儘管 $mathbb{Q}_{ell}$ 是完全不同的世界，它們卻有著明顯構造上的類似. 對於不同的 $ell$ 所產生的定理，形式上是完全一樣的. 所以，應該存在一種不依賴 $ell$ 的東東. 正如Milne所說，既然不存在一種 $mathbb{Q}$ -係數上同調論以誘導出Grothendieck所定義的所有這些不同的上同調理論，但是我們又如何闡釋種種跡象都顯示其似乎存在的這一事實呢？Grothendieck的回答的是Motive理論.

什麼是Motive？

我稱為 $k$ 上的Motive是指像 $k$ 上代數概形的 $ell$ -進上同調群一樣的東西，但卻認為其與 $ell$ 無關，它具有整結構或暫設有 $mathbb{Q}$ 結構，它由代數鏈理論導出.
——Grothendieck

Grothendieck的想法是，應該存在一個萬有上同調理論其取值於由Motive構成的 $mathbb{Q}$ -範疇 $mathcal{M}(k)$ ：記 $k$ 上光滑射影簇的範疇為 $mathcal{V}(k)$

$mathcal{M}(k)$ 應該是像有限維 $mathbb{Q}$ -線性空間範疇那樣的範疇（但並不完全相似）. 特別，態射集 $Hom$ 應該是 $mathbb{Q}$ -線性空間；它應該是一個阿貝爾範疇；它應該是一個 $mathbb{Q}$ 上的Tannaka範疇.
應該存在萬有上同調理論 $X ightsquigarrow hX:mathcal{V}(k)mapsto mathcal{M}(k)$ 特別，每個韋依上同調應該能唯一通過 $X ightsquigarrow hX$ 分解.

在曲線情形的韋依猜想的證明中，韋依的的主要想法是引入曲線的雅克比並將其用作一階上同調的抽象替代。這就是說，本質上曲線的Motive就是曲線的雅克比. 從這種角度看，Grothendieck引入Motive的一個原因就是把Motive看成曲線的雅克比的高維類比.

最後，Deligne關於 What is a motive? 的回答：

A surprising fact about algebraic varieties is that they give rise not to one, but to many cohomology theories. Among them the l-adic theories, one for each prime l different from the characteristic, and in characteristic zero, the algebraic de Rham cohomology. These theories seem to tell the same story, over and over again, each in a different language. The philosophy of motives is that there should exist a universal cohomology theory, with values in a category of motives to be defined, from which all these theories could be derived. For the first cohomology group of a projective non-singular variety, the Picard variety plays the role of a motivic $H^{1}$ : the Picard variety is an abelian variety, and from it the $H^{1}$ in all available cohomology theories can be derived. In this way, abelian varieties (taken up to isogeny) are a prototype for motives.
A key idea of Grothendieck is that one should not try to define what a motive is. Rather, one should try to define the category of motives. It should be an abelian category with finite dimensional rational vector spaces as Hom groups. Crucially, it should admit a tensor product, needed to state a Künneth theorem for the universal cohomology theory, with values in the category of motives.
If only the cohomology of projective non-singular varieties is considered, one speaks of pure motives. Grothendieck proposed a definition of a category of pure motives, and showed that if the category defined had a number of properties, modelled on those of Hodge structures, the Weil conjectures would follow.
For the proposed definition to be viable, one needs the existence of 「enough」algebraic cycles. On this question almost no progress has been made.

代數閉鏈

在討論Motive的構造之前，我們需要解釋一下什麼是代數閉鏈.

定義：設 $X$ 是域 $k$ 上的光滑射影簇. $X$ 上的素鏈（prime cycle）是指 $X$ 的一個不可約閉子簇. $X$ 的余維數為 $r$ 的代數鏈群 $C^{r}(X)$ 是指由余維數為 $r$ 的素鏈生成的自由阿貝爾群. 如果 $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 都是素鏈，則
$ext{codim}(Z_{1}cap Z_{2})leq ext{ codim}(Z_{1})+ ext{codim}(Z_{2})$
當等式成立時，我們稱 $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 是真相交（properly intersect）；兩個代數鏈 $gamma_{1}$ 和 $gamma_{2}$ 稱為真相交，如果 $gamma_{1}$ 的每個素鏈與 $gamma_{2}$ 的每個素鏈真相交. 在這種情形下，定義它們的交積（intersection product） $gamma_{1}cdot gamma_{2}$ 為一個余維數為 $ext{ codim}(Z_{1})+ ext{codim}(Z_{2})$ 的鏈？.

例如：

這樣我們得到了部分有定義的映射：

$C^{r} imes C^{s}(X) o C^{r+s}(X),qquad (gamma_{1},gamma_{2})mapsto gamma_{1}cdot gamma_{2}$

為了得到在整個集合上有定義的映射，我們對代數鏈定義如下 $4$ 種等價關係：

稱 $X$ 的兩個代數鏈 $gamma_{1},gamma_{2}in C^{r}(X)$ 是有理等價（rationally equivalent），如果存在 $X imes mathbb{P}^{1}$ 上的代數鏈 $gamma$ 使得 $gamma_{1}$ 是 $gamma$ 在 $0$ 上的纖維、 $gamma_{2}$ 是在 $1$ 上的纖維 . 我們以 $C_{rat}^{r}(X)$ 表示相應的商群. 代數鏈的有理等價類構成環 $C_{rat}^{ast}:=igoplus_{r=0}^{ ext{dim}X}C_{rat}^{r}(X)$ ，它稱為 $X$ 的Chow環.
稱 $X$ 的兩個代數鏈 $gamma_{1},gamma_{2}in C^{r}(X)$ 是數值等價（numerically equivalent），如果對所有代數鏈 $deltain C^{ ext{dim}X-r}(X)$ ，有 $gamma_{1}cdot delta=gamma_{2}cdot delta$ （如果良定義的話）. 我們以 $C_{num}^{r}(X)$ 表示相應的商群. 代數鏈的數值等價類構成環 $C_{num}^{ast}:=igoplus_{r=0}^{ ext{dim}X}C_{num}^{r}(X)$ .
稱 $X$ 的兩個代數鏈 $gamma_{1},gamma_{2}in C^{r}(X)$ 是代數等價（algebraically equivalent），如果存在一個曲線 $T$ 和 $X imes T$ 上的代數鏈 $gamma$ 使得 $gamma_{t_{1}}=gamma_{1},gamma_{t_{2}}=gamma_{2}$ ，對任意 $t_{1},t_{2}in T$ . 我們以 $C_{alg}^{r}(X)$ 表示相應的商群. 代數鏈的代數等價類構成環 $C_{num}^{ast}:=igoplus_{r=0}^{ ext{dim}X}C_{alg}^{r}(X)$ .
取定一個韋依上同調 $H^{ast}$ . 稱 $X$ 的兩個代數鏈 $gamma_{1},gamma_{2}in C^{r}(X)$ 關於 $H^{ast}$ 是同調等價（homologically equivalent），如果 $cl_{X}(gamma_{1})=cl_{X}(gamma_{2})$ . 我們以 $C_{hom}^{r}(X)$ 表示相應的商群. 代數鏈的有理等價類構成環 $C_{num}^{ast}:=igoplus_{r=0}^{ ext{dim}X}C_{hom}^{r}(X)$ .

它們有如下關係：

有理等價 $implies$ 代數等價 $implies$ 同調等價 $implies$ 數值等價

可以證明交積定義了一個雙加性映射：

$C^{r}_{sim} imes C_{sim}^{s}(X) o C^{r+s}_{sim}(X)$

這裡 $sim$ 是有理/代數/同調/數值等價.

Motive的構造

現在我們從 $k$ 上光滑射影簇的範疇為 $mathcal{V}(k)$ 出發，試圖構造Motive範疇 $mathcal{M}(k)$ . 為此，我們試圖直接擴大範疇 $mathcal{V}(k)$ ，我們需要做兩件事：

由於代數簇之間的態射很少，我們應該允許「多值映射」，或者更準確地說，是「對應（correspondence）」.
把它改造成「近似的阿貝爾範疇」.

定義：從 $X$ 到 $Y$ 的 $r$ 次對應（correspondence）群定義為
$Corr^{r}(X,Y):=C^{ ext{dim}X+r}(X imes Y) .$
記 $Corr_{sim}^{r}(X,Y):=Corr^{r}(X,Y)/sim,~~ Corr_{sim}^{r}(X,Y)_{mathbb{Q}}:= Corr_{sim}^{r}(X,Y)otimes_{mathbb{Z}}mathbb{Q}$ ，
這裡 $sim$ 是有理/代數/同調/數值等價.

我們可簡單地將 $mathcal{M}_{sim}(k)$ 定義為這樣的範疇：對 $k$ 上的光滑射影簇 $X$ 有對象 $hX$ ，而態射定義為

$ext{Hom}(hX,hY):=Corr_{sim}^{0}(X,Y)_{mathbb{Q}}$

態射的複合為對應的合成. 然而這不是一個阿貝爾範疇.

現在我們定義 $mathcal{M}_{sim}(k)$ 定義為這樣的範疇：它對象是 $h(X,e)$ ，其中 $X$ 是 $k$ 上的光滑射影簇， $e$ 是環 $Corr_{sim}^{0}(X,X)_{mathbb{Q}}$ 的冪等元，態射是 $ext{Hom}(h(X,e),h(Y,f) ):=fcirc Corr_{sim}^{0}(X,Y)_{mathbb{Q}}circ e$

曲線的Motive

標準猜想——Grothendieck的夢想

我們已經看到Motive的構造是很簡單的. 實際上，Grothendieck探索了Motive的更多的深層結構。對應於被Motive實現的上同調環的分次結構，Grothendieck推想Motive應該隱含著一種類似的分次結構。為此，他提出了一個著名的猜想：

每個Motive都應該有一個直和分解，並且通過這分解的直和項可以實現已給空間的所有階數的上同調.

七：Deligne對黎曼假設的證明

參考文獻：

Milne, J.: Lectures on Etale Cohomology.
Milne, J.: The Riemann Hypothesis over Finite Fields.
Milne, J.: Motives——Grothendiecks Dream.
Deligne, P.: La conjecture de Weil, I, Pub. Math. I.H.E.S 43, 273-307(1974).
Poonen, B.: Rational points on varieties.
Jacob P. Murre, Jan Nagel, Chris A. M.Peters: Lectures on the Theory of Pure Motives.
徐克艦: 格羅登迪克的Motive與塞尚的母題.
Weil猜想漫談

Fight with Infinity?

zx31415.wordpress.com

Weil猜想漫談

Trying to understand Delignes proof of the Weil conjectures

韋依猜想（總）

一：Zeta函數

Dedekind Zeta函數

概形的Zeta函數

二：韋依猜想

韋依猜想為何重要？

韋依猜想的陳述

三：Frobenius自同態

有限域的「對稱」

四：韋依猜想的上同調解釋

韋依上同調

4種經典的韋依上同調

Lefschetz不動點定理

韋依猜想中「有理性」，「函數方程」和「Betti數」的證明

五：平展上同調——碧海潮生

平展拓撲

-進上同調論

六：Motive——Grothendieck的夢想

為什麼不存在代數的 -係數上同調？

什麼是Motive？

代數閉鏈

Motive的構造

曲線的Motive

標準猜想——Grothendieck的夢想

七：Deligne對黎曼假設的證明

$ell$ -進上同調論

為什麼不存在代數的 $mathbb{Q}$ -係數上同調？