【CFT01】度規初步

08-14

【CFT01】度規初步

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本學期參加了一個共形場論的研討班，為了變成一個合格的名詞黨所以做一些相關的讀書筆記。本文主要介紹了微分流形以及度規張量的概念，以及舉了一些常見的例子，用以為後續的討論的共形場論提供數學基礎。本系列主要參考Paul Ginsparg的應用共形場論教材[1]，本文還參考了梁燦彬的廣相教材[2]。

我們先複習微分流形的概念。直觀上，我們研究一個光滑的空間，其任意小鄰域都和歐氏空間類似。數學上，一個 $C^infty$ 微分流形是一個（ $n$ 維的）拓撲空間，其滿足：

其是Hausdorff空間，即任意兩點可被它們的鄰域分離；
存在 $m$ 維局部坐標鄰域（在拓撲上是開集），即對任意給定流形上的點 $x$ ，存在其的一個鄰域 $U$ 和一個映射 $varphi: U ightarrow U$ （這裡 $U$ 是 $mathbb R^n$ 上的一個開集），使得 $varphi$ 是同胚（連續雙射且反函數連續），另外有序對族 ${(U_alpha,varphi_alpha)}$ 被稱為該流形的圖冊（atlas）, $alpha$ 被稱為索引；
其圖冊的轉移映射（transition map）是光滑的，如圖所示， $U_alpha$ 和 $U_eta$ 是兩個有重疊部分的開集，它們分別同胚於 $mathbb R^n$ 上的開集，而重疊部分在 $mathbb R^n$ 上的兩個像之間的映射 $varphi_{alphaeta}$ （或其逆映射 $varphi_{etaalpha}$ ）叫轉移映射。

最簡單的微分流形就是 $mathbb R^m$ 本身，黎曼球面 $mathbb S^2$ 也是常見的微分流形。直觀上一個微分流形可以嵌入到一個更高維的歐幾里得空間中，而對於流形上的一點 $x$ ，在其上和流形相切的歐幾里得子空間即其切空間（tangent space）。

然而基於更高維平直空間嵌入的定義方式並不是最好的定義切空間的方式。為了定義流形上的切空間，我們先觀察 $mathbb R^n$ 上的向量，其具有長度、方向，但這些概念很難在流形上推廣。注意到若 $mathbf v$ 是一個向量，則對於任意函數 $f:mathbb R^n ightarrow mathbb R$ ，讓其在一點 $x$ 上沿 $mathbf v$ 方向上求導，其導函數值等於某個實數。故 $mathbf v$ 是 $mathbb R^n$ 上所有光滑函數的集合到實數的映射，且其服從線性和萊布尼茲率。

【切空間】稱 $f:M ightarrow mathbb R$ 是流形 $M$ 上的一個 $C^infty(M)$ 函數，若對於每組 ${U,varphi}$ 都有 $fcircvarphi^{-1}: varphi(U) ightarrow mathbb R$ 是光滑的。對於 $xin M$ ，稱映射 $partial:C^infty(M) ightarrow mathbb R$ 為 $x$ 上的導數，若其滿足萊布尼茲率即 $partial(fg)=partial(f)g+fpartial(g)$ 。如果再者我們定義導數的加法和數乘滿足線性，即 $(lambda partial_1+partial_2)(f)=lambda partial_1(f)+partial_2(f)$ ，我們則有一個由所有導數組成的線性空間 $T_xM$ ，稱 $x$ 處的切空間。

對於一個光滑流形 $M$ 上一點 $x$ ，其鄰域上有映射 $varphi=(x^1,cdots,x^n):U ightarrow mathbb R^n$ ，其中 $(x^1,cdots,x^n)$ 是一組 $mathbb R^n$ 的基底，則可以對應地在切空間 $T_xM$ 上定義一組基底 $(partial_{x^1},cdots,partial_{x^n})$ 滿足

$partial_{x^i}(f)Big|_{x}:=(partial_{i}(fcircvarphi^{-1}))(varphi(x)),forall fin C^infty(M)$ 即對對應的 $mathbb R^n$ 上的光滑函數在第 $i$ 個分量（即方向 $x^i$ 上）求導，那麼對於任意的切向量我們可以找到一組線性組合滿足 $v=sum_iv_ipartial_{x^i}$ 。

為了研究微分流形的距離結構，我們需要研究其線元素（或稱第一基本形）。直觀的理解是流形上一點附近的一段微小的長度（的平方），即歐幾里得平面上的 $Delta s^2=Delta x^2+Delta y^2$ 。我們可以考慮將每個方向上的微元放縮一個倍數，比如 $Delta s^2=Delta x^2+1/2Delta y^2$ ，即在 $y$ 軸上的距離變化比 $x$ 軸上的距離變化「更短」，這類似於一個圓柱面。於是，對於非歐的流形上的推廣，我們希望將線元素定義為 $mathrm dx^2_i$ 的線性組合，「儘可能不」出現交叉項 $mathrm dxmathrm dy$ ，又或者考慮變換坐標系對其的影響等。

我們的動機是需要構造形如 $mathrm ds^2=sum_i a_imathrm dx_i^2$ 的量，則需定義度規張量（metric tensor，或簡稱度規）來定義上述的 $a_i$ 。形式化的理解度規是對「給定坐標的」 $n$ 維微分流形上，每一點都對應的一個 $n imes n$ 的對稱、滿秩的矩陣，該矩陣可以描述該點附近空間的距離結構。嚴謹的定義如下：

【度規張量】 $M$ 是微分流形， $x$ 是其上的一點，其切空間為 $mathrm T_xM$ 。 $x$ 上的一個度規張量 $g_x:mathrm T_xM imesmathrm T_x M ightarrow mathbb R$ ，將兩個切向量映到實數，且滿足：
1. 雙線性，即 $g(aU+bV,Y)=ag(U,Y)+bg(V,Y)$ 等；
2. 對稱性， $g(X,Y)=g(Y,X)$ ；

3. 非退化性， $forall X e 0, exists Y ext{ s.t. }g(X,Y) e 0$ 。
另外我們還要求 $g_x$ 是光滑變化的，即對於給定鄰域內的光滑向量場 $X$ 和 $Y$ ， $g(X,Y)(x)$ 關於 $x$ 光滑。

注意到有限維線性空間上的雙線性映射都可以由矩陣描述，故度規也可以由矩陣給出表述。

為了方便我們先引入簡化記號 $mathbf acdotmathbf b =a_jb^j=sum_{j=1}^na_jb^j$ ，這裡上標不是指數而是標號。

現在假設我們在切空間上有一組基 $mathbf e=(e_1,cdots ,e_n)$ （ $mathbf e$ 是一個 $n imes n$ 的矩陣），則我們定義 $g_{ij}[mathbf e]=g(e_i,e_j)$ ，其構成一個 $n imes n$ 的矩陣，記為 $G[mathbf e]$ 。假設另外有兩個向量 $v=v^ie_i, w=w^ie_i$ （意為列向量 $(v^1,cdots,v^n)^ op$ 和 $(w^1,cdots,w^n)^ op$ ），由雙線性我們有 $g(v,w)=v^iw^jg_{ij}[mathbf e]$ ，寫成向量和矩陣的形式即 $g(v,w)=v^ op Gw=w^ op Gv$ 。同理對於線性變換 $mathbf e ightarrow mathbf eA$ ，度規的變換為 $G[mathbf e A]=A^ op G[mathbf e]A$ 。注意到由於上述向量都是切向量，即 $mathbf e=left(partial_{x^1},cdots,partial_{x^n} ight)$ ，故線性變換 $A$ 實際上是雅可比矩陣，即 $a_{ij}=partial_{x^i}y^j$ ，寫成矩陣的形式為

$G[x]=left[frac{partial (x)}{partial (x)} ight]^ op G[x]left[frac{partial (x)}{partial (x)} ight]$

另外，由對稱性可知矩陣 $G$ 是對稱的，由非退化性可知 $det G e 0$ 。

度規具有矩陣結構這個性質可以很方便地讓我們研究其上的各種性質，對稱性允許我們對其求特徵值，非退化性保證了特徵值不為0，進而定義度規的符號（signature）：

【符號】（滿秩）矩陣的符號為一個二元組 $(p,q)$ ，分別代表其正負特徵值的個數。

注意到符號具有旋轉不變性，即不取決於基的選擇，故可以定義度規（在一點處）的符號數。另外度規的符號實際上是某種廣義對流形的衡量：

若 $M$ 是單連通的，其度規的符號不取決於點的選擇。

對於單連通的微分流形，若 $g$ 的符號是 $(n,0)$ ，我們稱該流形為黎曼流形，否則稱為偽黎曼流形。一個重要的偽黎曼流形的例子是洛倫茲流形，其符號為 $(p,1)$ 。通常在物理上，我們把 $p$ 看成類空維度， $q$ 看成類時維度，另外如果 $g$ 是退化的，我們把特徵值等於0的維度稱為類光維度。

現在線元素（line element）或者其平方第一基本形（first fundamental form）可以被定義為：

$mathrm ds^2=g_{ij}mathrm dx^imathrm dx^j$

或者用矩陣形式定義：

$mathrm ds^2=(mathrm d x)^ op G[x](mathrm d x)$

這裡 $(mathrm dx)$ 是切空間的一組基。我們總是可以對度規張量求特徵值，使得第一基本形不包含交叉項，即若 $G$ 的特徵值是 ${lambda_i}$ 則 $mathrm ds^2=sum_ilambda_imathrm dx^2_i$ ，即直觀理解將每個方向上的「長度」放縮了一個倍數。則可知對流形上的一條曲線 $ab$ ，對其參數做積分即可求得其長度，即 $L_{ab}=int_{a}^bsqrt{mathrm ds^2}$ 。故此，我們說度規張量描述了流形的距離結構。再者，我們可以用度規定義體積形式（volume form）：

$omega=sqrt{|det g|},mathrm dx^1wedgecdotswedgemathrm dx^n$

直觀上理解假如我們將基底正交化為 $g$ 的特徵向量方向， $g$ 則變成一個對角陣，則體積形式簡化成 $prod_isqrt{lambda_i}igwedge_imathrm dx^i$ ，這與歐氏空間的體積微元定義相符 $prod_{i}Delta x^i$ ，區別是在每個方向上做了放縮。另外任何體積形式都定義了該空間上的一個波萊爾測度 $mu(U)=int_Uomega$ ，但進一步為了定義波萊爾測度我們不需要流形的連續性和光滑性。

下面我們來討論一些例子：

二維歐幾里德流形。在笛卡爾坐標系下其度規為單位矩陣，對應的線元素為 $mathrm ds^2=mathrm dx^2+mathrm dy^2$ 。若我們把坐標變換成極坐標系，度規 $g=J^ op J=mathrm{diag}(1,r^2)$ 其中 $J$ 是雅可比矩陣，即 $mathrm ds^2=mathrm dr^2+r^2mathrm d heta^2$ 。
四維洛倫茲流形。線元素是 $mathrm ds^2=mathrm dx^2+mathrm dy^2+mathrm dz^2-c^2mathrm dt^2$ ，其中 $c$ 是光速，其有三個類空維度和一個類時維度。若將它轉換成球面坐標我們有 $mathrm ds^2=-c^2mathrm dt^2+mathrm dr^2+r^2mathrm dOmega^2$ 其中 $mathrm dOmega^2=mathrm d heta^2+sin^2 hetamathrm dphi^2$ ，後者是 $mathbb S^2$ 上的一個標準度量。計算並不複雜，我們寫出 $mathbb R^3$ 中球坐標變換公式： $x=rsin hetasinphi, y=rsin hetacosphi, z=rcos heta$ ，然後對其求雅可比矩陣 $J=frac{partial(x,y,z)}{partial(r, heta,phi)}$ ，則 $G=J^ op J$ ，我們用Mathematica輔助計算易得結果 $mathrm ds^2=mathrm dr^2+r^2(mathrm d heta^2+sin^2 hetamathrm dphi^2)$ 。最後需要把空間限制在單位球面上，即對 $delta(r^2-1)$ 做積分得 $mathrm dOmega^2$ 。

JacobianMatrix[f_List?VectorQ, x_List] := Outer[D, f, x] /; Equal @@ (Dimensions /@ {f, x})(*define Jacobian matrix*)cartesian = {r*Sin[t] Cos[p], r*Sin[t] Sin[p], r*Cos[t]};sphere = {r, t, p};J = JacobianMatrix[cartesian, sphere];FullSimplify[MatrixForm[Transpose[J].J]]

我們有3維得歐幾里德空間得（平直）度量，用極坐標表示為 $mathrm ds^2=mathrm dr^2+r^2mathrm dOmega^2$ 。對於 $mathbb S^3$ ，我們將其嵌入 $mathbb R^4$ 並考慮其坐標 $(R,r, heta,phi)$ ，其中後三個分量是一個三維球坐標，描述了子空間 $mathbb R^3$ ，而 $R$ 是該四維向量的長度，則坐標變換如上述的球坐標以及第四個分量 $w=sqrt{1-r^2}$ ，然後把它們縮放 $R$ 倍，則求得該坐標下的度量為 $mathrm{diag}(1,R^2/(1-r^2),r^2R^2,r^2R^2sin^2 heta)$ ，最後對delta函數 $delta(R^2-1)$ 做積分我們有度量 $mathrm ds^2=frac{1}{1-r^2}mathrm dr^2+r^2mathrm dOmega^2$ 。類似地我們考慮三維馬鞍面 $x^2+y^2+z^2-w^2=-1$ ，將其嵌入偽歐幾里得空間 $mathbb R^4$ 中，度量為 $mathrm ds^2=mathrm dx^2+mathrm dy^2+mathrm dz^2-mathrm dw^2$ ，類似地考慮變數代換 $(x,y,z,w) ightarrow(R,r, heta,phi)$ ： $x=Rrsin hetasinphi\ y=Rrsin hetacosphi\ z=Rrcos heta\ w=Rsqrt{1+r^2}$ 並計算其度量 $J^ op GJ=mathrm{diag}(-1,R^2/(1+r^2),r^2R^2,r^2sin^2 heta)$ ，對 $delta(R^2-1)$ 求積分可得度量 $mathrm ds^2=frac{1}{1+r^2}mathrm dr^2+r^2mathrm dOmega^2$ 。我們發現它們可以統一到一個框架下： $mathrm ds^2=frac{1}{1-Kr^2}mathrm dr^2+r^2mathrm dOmega^2$ 其中 $Kin{-1,0,1}$ 。這就是宇宙學上FRW度規（Friedmann-Robertson-Walker metric）的一個組成部分，完整的FRW度規需加上時間維 $mathrm dt$ 以及宇宙標度因子 $R(t)$ : $mathrm ds^2=-c^2mathrm dt^2+R(t)^2left(frac{1}{1-Kr^2}mathrm dr^2+r^2mathrm dOmega^2 ight)$